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1、专题二 数列求和的方法第1页，本讲稿共35页知识梳理知识梳理第3页，本讲稿共35页一.公式法：等差数列的前n项和公式：等比数列的前n项和公式 第4页，本讲稿共35页 2+4+6+2n=；1+3+5+（2n+1）=；n2+n (n+1)2 第5页，本讲稿共35页二、错位相减法求和二、错位相减法求和:例如例如 是等差数列，是等差数列，是等比数列，求是等比数列，求a1b1a2b2anbn的和的和三、分组求和三、分组求和:把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和再求和四、并项求和四、并项求和:例如求例如求10029929829722
2、212的和的和五、裂项相消法求和五、裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差、正负相消，剩下首尾若把数列的通项拆成两项之差、正负相消，剩下首尾若干项干项第6页，本讲稿共35页 六、倒序相加法：六、倒序相加法：如果一个数列如果一个数列an，与首末两项等距的两项之和等于首与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法法称为倒序相加法.七、归纳猜想法七、归纳猜想法：先通过归纳猜想和的表达式，
3、再使用数学归纳法等先通过归纳猜想和的表达式，再使用数学归纳法等正面证明。正面证明。八、奇偶法八、奇偶法:通过分组，对通过分组，对n分奇偶讨论求和分奇偶讨论求和第7页，本讲稿共35页 十、十、周期转化法周期转化法 如果一个数列具有周期性，那么只要求出如果一个数列具有周期性，那么只要求出了数列在了数列在一个周期内各项的和一个周期内各项的和，就可以利用这，就可以利用这个和与周期的性质对数列的前个和与周期的性质对数列的前n项和进行转化合并项和进行转化合并九、通项分析求和法：九、通项分析求和法：第8页，本讲稿共35页例例1 1：求和：求和：1 10 0看通项，是什么数列，用哪个公式；看通项，是什么数列，
4、用哪个公式；2 20 0注意项数注意项数第9页，本讲稿共35页例2：运用倒序相加法第10页，本讲稿共35页倒序相加法倒序相加法如果一个数列如果一个数列 a an n，与首末两项等距的与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和（都相等，两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），为定值），可采用把正着写和与倒着写可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法的和，这一求和的方法称为倒序相加法.类型类型a1 1+an n=a2 2+an-1n-1=a3 3+an-2n-2=第11页，本讲稿共35页 已知数列已知数列1,3
5、a,5a2，(2n1)an1，(a0)，求其前求其前n项和项和例例3.注意对a的讨论第12页，本讲稿共35页错位相减法：错位相减法：如果一个数列的各项是由一个如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用项乘积组成，此时求和可采用错位相减法错位相减法.既既an nbn n型型等差等差等比等比第15页，本讲稿共35页变式探究1：第16页，本讲稿共35页 1.设数列设数列 满足满足a13a232a33n1an ，aN*.(1)求数列求数列 的通项；的通项；(2)设设bn ，求数列，求数列 的前的前n项和项和Sn.变式探究变式探究2：第17页
6、，本讲稿共35页裂项求和法：裂项求和法：把把数数列列的的通通项项拆拆成成两两项项之之差差，即即数数列列的的每每一一项项都都可可按按此此法法拆拆成成两两项项之之差差，在在求求和和时时一一些些正正负负项项相相互互抵抵消消，于于是是前前n n项项的的和和变变成成首首尾尾若若干干少少数数项项之之和和，这这一一求求和和方方法法称称为为分分裂裂通通项项法法.（见到分式型的要往这种方法联想见到分式型的要往这种方法联想）第20页，本讲稿共35页1特别是对于特别是对于 ，其中，其中 是各项均不为是各项均不为0的等差数列，通常用裂项的等差数列，通常用裂项相消法，即利用相消法，即利用 (其中其中dan1an)第21
7、页，本讲稿共35页常见的拆项公式有：第22页，本讲稿共35页例例4 4：1-21-22 2+3+32 2-4-42 2+(2n-1)+(2n-1)2 2-(2n)-(2n)2 2=？局部重组转化为常见数列局部重组转化为常见数列并项求和并项求和第23页，本讲稿共35页练习：练习：已知已知S Sn n=-1+3-5+7+=-1+3-5+7+(-1)+(-1)n n(2n-1),(2n-1),1)1)求求S S2020,S,S21212)2)求求S Sn nS2020=-1+3+(-5)+7+（-37）+39S2121=-1+3+(-5)+7+（-9）+39+（-41）=20=20=-21第24页，
8、本讲稿共35页（2）S Sn n=-1+3-5+7+=-1+3-5+7+(-1)+(-1)n n(2n-1)(2n-1)第25页，本讲稿共35页练习：求和练习：求和S Sn n=1+(1+2)+(1+2+2=1+(1+2)+(1+2+22 2)+(1+2+2)+(1+2+22 2+2+23 3)+)+(+(1+2+21+2+22 2+2+2n-1n-1)通项分析求和通项分析求和通项通项=2n n-1-1第26页，本讲稿共35页先求通项先求通项再处理通项再处理通项第27页，本讲稿共35页第28页，本讲稿共35页第29页，本讲稿共35页提示：运用周期性质练习：第30页，本讲稿共35页练习：第31页
9、，本讲稿共35页3求数列求数列1,3 ，32 ，3n 的各项的和的各项的和练习：第32页，本讲稿共35页4.在等差数列在等差数列 中，中，a13，d2，Sn是其前是其前n项的和，求：项的和，求：S .练习：第33页，本讲稿共35页1 1要求数列的前要求数列的前n n项和，关键是抽取出其通项和，关键是抽取出其通项来加以分析，根据数列的通项的结构特点去选项来加以分析，根据数列的通项的结构特点去选择适当的方法择适当的方法2 2等价转换思想是解决数列问题的基本思等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决数列问题来解决
10、3 3数列求和是数列的一个重要内容，其实质数列求和是数列的一个重要内容，其实质是将多项式化简，等差、等比数列及可以转化为是将多项式化简，等差、等比数列及可以转化为等差、等比数列的求和问题应掌握，还应掌握一等差、等比数列的求和问题应掌握，还应掌握一些特殊数列的求和些特殊数列的求和第34页，本讲稿共35页4 4解决非等差、等比数列的求和，有两种思路：解决非等差、等比数列的求和，有两种思路：(1)(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成完成(2)(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和相消法、错位相减法、倒序相加法等求和5 5“错位相减错位相减”、“裂项相消裂项相消”等是数列求和最等是数列求和最重要的方法是考试重点考查的内容，应熟练掌握重要的方法是考试重点考查的内容，应熟练掌握第35页，本讲稿共35页