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1、预测 非线性第1页，本讲稿共25页对于模型 给定样本以外的解释变量的观测值X0=(1,X10,X20,Xk0)，可以得到被解释变量的预测值：它可以是总体均值E(Y0)或个值Y0的预测。但严格地说，这只是被解释变量的预测值的估计值，而不是预测值。为了进行科学预测，还需求出预测值的置信区间，包括E(Y0)和Y0的置信区间。第2页，本讲稿共25页 一、一、E(Y0)的置信区间的置信区间易知 第3页，本讲稿共25页容易证明 于是，得到(1-)的置信水平下E(Y0)的置信区间：其中，t/2为(1-)的置信水平下的临界值。由于是未知的，因而取随机扰动项的样本估计量 ，构造t统计量第4页，本讲稿共25页 二
2、、二、Y0的置信区间的置信区间如果已经知道实际的预测值Y0，那么预测误差为：容易证明 第5页，本讲稿共25页e0服从正态分布，即 构造t统计量 可得给定(1-)的置信水平下Y0的置信区间置信区间：取随机扰动项的样本估计值 ，可得e0的方差的估计量第6页，本讲稿共25页例例中国居民人均收入-消费支出二元模型例中，通过OLS法得到回归方程：CONSP=120.7+0.2213 GDPP+0.4515 CONSP(-1)求：2001年人均GDP为4033.1元，人均居民消费的预测值的估计值，并求预测值的置信区间。第7页，本讲稿共25页2001年人均GDP：4033.1元，于是人均居民消费的预测值的估
3、计值为 2001=120.7+0.22134033.1+0.45151690.8=1776.8（元）实测值（90年价）=1782.2元，相对误差：-0.31%预测的置信区间：均值及点预测值的置信区间第8页，本讲稿共25页于是均值E(E(2001）的95%的置信区间为:或 （1741.8，1811.7）或 （1711.1,1842.4）同样，易得点预测值 2001的95%的置信区间为第9页，本讲稿共25页3.5 可化为线性的多元非线性可化为线性的多元非线性回归模型回归模型 第10页，本讲稿共25页回顾回顾 线性模型的基本形式是:其特点是可以写成每一个解释变量和一个系数相乘的形式。线性模型的线性包
4、含两重含义：（1）变量的线性 变量以其原型出现在模型之中，而不是以X2或X之类的函数形式出现在模型中。（2）参数的线性 因变量Y是各参数的线性函数。第11页，本讲稿共25页恩格尔曲线(Engle curves)：反映在商品价格和其他因素不变时收入变化引起需求量的变化。第12页，本讲稿共25页菲利普斯曲线（Pillips cuves）：失业率与工资增长率之间的关系U：失业率W/W:工资增长率PC第13页，本讲稿共25页 一、模型的类型与变换一、模型的类型与变换 1、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法 例如，例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线拉弗曲线：抛
5、物线 s=a+b r+c r2+c0 s：税收；r：税率设X1=r，X2=r2，则原方程变换为 s=a+b X1+c X2+c0 第14页，本讲稿共25页例如 此方程的变量和参数都是线性的。第15页，本讲稿共25页2、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法 例如例如，Cobb-Dauglas生产函数：幂函数 Y=AKLvY：产出量，K：投入的资本；L：投入的劳动 方程两边取对数：log Y=log A+log K+log L+log v第16页，本讲稿共25页用柯布和道格拉斯最初使用的数据（美国1899-1922年制造业数据）估计经过线性变换的模型得到如下结
6、果（括号内数字为标准误差）：从上述结果可以看出，产出的资本弹性是0.23，产出的劳动弹性为0.81。第17页，本讲稿共25页3、复杂函数模型与级数展开法、复杂函数模型与级数展开法 方程两边取对数后，得到：(1+2=1)Q:产出量，K：资本投入，L：劳动投入 ：替代参数，1、2：分配参数例如例如，常替代弹性CES生产函数 将式中ln(1K-+2L-)在=0处展开泰勒级数,取关于的线性项，即得到一个线性近似式。如取0阶、1阶、2阶项，可得 第18页，本讲稿共25页并非所有的函数形式都可以线性化 无法线性化模型的一般形式为:其中，f(X1,X2,Xk)为非线性函数。如：注意：第19页，本讲稿共25页
7、思考题：说明下列模型中变量是否呈线性，系数是否呈线性，并将能线性化的模型线性化。（1）（2）（3）第20页，本讲稿共25页 二、非线性回归实例二、非线性回归实例 例例3.5.1 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为 Q:居民对食品的需求量，X：消费者的消费支出总额P1：食品价格指数，P0：居民消费价格总指数。零阶齐次性零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出总额按同一比例变动时，需求量保持不变(*)(*)为了进行比较，将同时估计（为了进行比较，将同时估计（*）式与（）式与（*）式。）式。第21页，本讲稿共25页 根据恩格尔定律恩格尔定律，居民对食品的
8、消费支出与居民的总支出间呈幂函数幂函数的变化关系:首先,确定具体的函数形式对数变换:考虑到零阶齐次性零阶齐次性时时(*)(*)(*)式也可看成是对（*）式施加如下约束而得因此，对对（*）式式进进行行回回归归，就就意意味味着着原原需需求求函函数数满满足零阶齐次性条件足零阶齐次性条件。第22页，本讲稿共25页X：人均消费X1：人均食品消费GP：居民消费价格指数FP：居民食品消费价格指数XC：人均消费（90年价）Q：人均食品消费（90年价）P0：居民消费价格缩减指数（1990=100）P：居民食品消费价格缩减指数（1990=100第23页，本讲稿共25页中中国国城城镇镇居居民民人人均均食食品品消消费费 特征：特征：消费行为在19811995年间表现出较强的一致性1995年之后呈现出另外一种变动特征。建立19811994年中国城镇居民对食品的消费需求模型:(9.03)(25.35)(-2.28)(-7.34)第24页，本讲稿共25页按按零阶齐次性零阶齐次性表达式回归表达式回归:（75.86）(52.66)(-3.62)为了比较，改写该式为：发现与接近。意味着：所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征第25页，本讲稿共25页