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1、电动力学二三分离变量法 1第1页，本讲稿共23页基本问题：电场由电势描述基本问题：电场由电势描述电势满足泊松方程电势满足泊松方程+边界条件边界条件只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时，这只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视这体类问题的解才能以解析形式给出，而且视这体情况不同而有不同解法情况不同而有不同解法本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法具体的工作：解泊松方程具体的工作：解泊松方程2第2页，本讲稿共23页在许多实际问题中，静电场是由带在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的电导体决定的例如例如l电容器内部的
2、电场是由作为电极的两个导电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的体板上所带电荷决定的l电子光学系统的静电透镜内部，电场是由电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上的自由电荷决定的分布于电极上的自由电荷决定的这些问题的特点：自由电荷只出现在一这些问题的特点：自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布由电荷分布3第3页，本讲稿共23页选择导体表面作为区域选择导体表面作为区域V V的边界，的边界，VV内部自由电荷密度内部自由电荷密度 0 0，泊，泊松方程化为比较简单的拉普拉斯松方程化为比较简单的拉普拉斯方程方程它的通解可以
3、用分离变量法求出。拉氏方程它的通解可以用分离变量法求出。拉氏方程在球坐标中的通解为在球坐标中的通解为a anmnm,b bnmnm,c cnmnm,d,dnmnm为任意常数为任意常数4第4页，本讲稿共23页若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，这种情形下通解为这种情形下通解为5第5页，本讲稿共23页例例1 1 一个内径和外径分别为一个内径和外径分别为RR2 2和和RR3 3的的导体球壳，带电荷导体球壳，带电荷QQ，同心地包围一个半，同心地包围一个半径为径为RR1 1的导体球（的导体球（RR1 1 RR2 2），使这个），使这个导体球接地。求空间各点的电势和这个
4、导体球接地。求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。导体球的感应电荷。6第6页，本讲稿共23页这问题有球对称性，电势这问题有球对称性，电势 不依赖不依赖于角度于角度 和和。设导体壳外和壳内的。设导体壳外和壳内的电势分别为电势分别为解解7第7页，本讲稿共23页边界条件为：边界条件为：（1 1）内导体接地）内导体接地（2 2）整个导体球壳为等势体）整个导体球壳为等势体（3 3）球壳带总电荷）球壳带总电荷QQ，8第8页，本讲稿共23页将通解代入边界条件将通解代入边界条件9第9页，本讲稿共23页由这些边界条件得由这些边界条件得其中其中利用这些值利用这些值得电势的解得电势的解导体球上的导体球上的感应电荷
5、为感应电荷为10第10页，本讲稿共23页例例2 2 电容率为电容率为 的介质球置于均匀的介质球置于均匀外电场外电场EE0 0中，求电势。中，求电势。11第11页，本讲稿共23页设球半径为设球半径为R0，球外为真，球外为真空（如图）。这问题具有空（如图）。这问题具有轴对称性，对称轴为通过轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场球心沿外电场E0方向的轴方向的轴线，取此轴线为极轴。线，取此轴线为极轴。球内区域的电势球内区域的电势解解球外区域的电势球外区域的电势12第12页，本讲稿共23页边界条件：边界条件：（1 1）无穷远处，）无穷远处，因而因而（2 2）RR0 0处，处，2 2为有限值，因此为有限值，因
6、此（3 3）在介质球面上，有）在介质球面上，有13第13页，本讲稿共23页则有则有比较比较P1的系数得的系数得可解出可解出其他其他Pn项的系数可解出为项的系数可解出为14第14页，本讲稿共23页所有常数已经定出，因此本问题的解为所有常数已经定出，因此本问题的解为在球内总电场作用下，介质的极化强度为在球内总电场作用下，介质的极化强度为 介质球的总电偶极矩为介质球的总电偶极矩为 1表达式中的第二项正是这个电偶极矩所产生的电势表达式中的第二项正是这个电偶极矩所产生的电势 15第15页，本讲稿共23页例例3 3 半径为半径为RR0 0的导体球置于均匀的导体球置于均匀外电场外电场EE0 0中，求电势和导
7、体上的电中，求电势和导体上的电荷面密度。荷面密度。16第16页，本讲稿共23页用导体表面边界用导体表面边界条件，照上例方条件，照上例方法可解出导体球法可解出导体球外电势外电势 导体面上导体面上电荷面密电荷面密度为度为解解17第17页，本讲稿共23页例例4 4 导体尖劈带电势导体尖劈带电势VV，分析，分析它的尖角附近的电场。它的尖角附近的电场。18第18页，本讲稿共23页用柱坐标系用柱坐标系,取取z z轴沿尖边轴沿尖边,柱坐标柱坐标下的拉氏方程为下的拉氏方程为设设 的特解为的特解为解解19第19页，本讲稿共23页把把 的特解叠加为通解形式为的特解叠加为通解形式为则上式分则上式分解为两个解为两个方
8、程方程20第20页，本讲稿共23页在尖劈在尖劈=0=0面上，面上，=VV与与r r无关，因此无关，因此因因r r 0 0时时 有限，得有限，得在尖劈在尖劈=2=2-面面上，上，=VV与与r r无关，无关，必须必须因此因此v v的可能值为的可能值为21第21页，本讲稿共23页考虑这些条件，考虑这些条件，可以重写可以重写为了确定选定常数为了确定选定常数AAn n,还必须用某还必须用某一大曲面包围着电场存在的区域一大曲面包围着电场存在的区域,并并给定这曲面上的边界条件。给定这曲面上的边界条件。22第22页，本讲稿共23页在尖角附近在尖角附近r r 0 0，上式求和式的主要贡上式求和式的主要贡献来自献来自r r的最低次幂项，的最低次幂项，即即n n=1=1项项电场为电场为尖劈两面上尖劈两面上的电荷面密的电荷面密度为度为 很小时很小时,v v1 1趋于趋于1/2,1/2,面电荷密度很面电荷密度很大，趋于大，趋于1/1/r r1/21/223第23页，本讲稿共23页