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1、专题专题 1010分段函数的研究分段函数的研究一一,题型选讲题型选讲题型一题型一,含义抽象函数的求值问题含义抽象函数的求值问题含有抽象函数的分段函数,在处理里首先要明确目标,即让自变量向有具体解析式的部分靠拢,其次要理解抽象函数的含义和作用(或者对函数图象的影响)2x，x0例 1,(2019 南京三模)若函数 f(x),则 f(log23)f(x2)，x03【答案】4【解析】因为 1log232,所以 f(log23)f(log232)2log2322log2332.24cosx,x 0例 2：设函数fx,则f x 1 1,x 0【答案】10f的值为_392【解析】思路：由fx解析式可知,只有
2、x 0,才能得到具体的数值,x 0时只能依靠fx fx11向x 0正数进行靠拢.由此可得：107 41 2f f1 f2 f3 f4,而3333321 2f cos f323题型二题型二 与分段函数有关的方程或不等式与分段函数有关的方程或不等式1 1/1414910 32含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段,通过对x进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解.另一种是通过作出分段函数的图象,数形结合,利用图像的特点解不等式log2（3x），例 3,(2019 苏锡常镇调研).已知函数 f(x)2x1，1若 f(a1),则实数 a_2x0，x0，【答案】log231【解析
3、】当 a10,即 a1 时,f(a1)log2(4a),解得 a4 2(舍)；当 a10,即 a1 时,f(a1)212a11,解得 alog23.2解后反思 本题以分段函数为背景,考查指数及对数的基本运算及分类讨论的数学思想 x2 2x，x0，例 4,(2019 苏北四市,苏中三市三调)已知函数f(x)2则不等式f(x)f(x)的解集x 2x，x 0，为【答案】(2，0)U(2，)【解析】：若x 0,则f(x)x22x,f(x)x2 2x,由f(x)f(x)得：x22x x2 2x x 2,故x 2.若x 0,则f(x)x22x,f(x)x2 2x,由f(x)f(x)得：x22x x2 2x
4、 2 x 0,故2 x 0.综上,不等式f(x)f(x)的解集为(2，0)U(2，).题型三题型三,分段函数的值域分段函数的值域分段函数的定义域与值域各段的并集x2，x0，例 5,(2016 苏州期末)函数 f(x)2的值域为_x 1，x0【答案】(,1【解析】思路分析 先画出图像看看2 2/1414分段画出 f(x)的图像即可看出函数的值域为(,1解后反思 能快速画出图像的题,尽量先画图像,对于填空题非常有用例 6,(2018 无锡期末)已知函数 f(x)11xlog22，g(b)0,则实数 b 的取值范围是_【答案】.(2,0)x22x1，x21x，21x，2g(x)x22x2.若存在 a
5、R R,使得 f(a)【解析】思路分析 根据条件可以将问题等价转化为关于函数 yf(a)的值域问题,然后利用分段函数的值域求法和一元二次不等式的解法处理即可由题意,存在 aR R,使得 f(a)g(b),令 h(b)g(b)b22b2.a22a11121122,因为 a1,所以210,从而7f(a)时,f(a)log,因为 a,所以,从而 f(a)2.222224综上,函数 f(a)的值域是(,2)令 h(b)2,即 b22b22,解得2b0.易错警示 此题的关键是问题的等价转化,设 f(a)的值域为集合A,g(b)的值域为集合B,它们的正确关系是 BA,而不是 AB.题型四题型四分段函数的单
6、调性分段函数的单调性分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性,如果单调性相同,则需判断函数是连续的还是断开的,如果函数连续,则单调区间可以合在一起,如果函数不连续,则要根据函数在两段分界点出的函数值(和临界值)的大小确定能否将单调区间并在一起.3 3/1414例 7,已知函数f(x)(a2)x1(x 1),若f(x)在,单调递增,则实数a的取值范围是(x 1)logax_【答案】a2,3【解析】思路：若fx在,单调增,则在R上任取x1 x2,均有fx1 fx2,在任取中就包含x1,x2均在同一段取值的情况,所以可得要想在R上单调增,起码每一段的解析式也应当是单调递增的,由此a 2 0可得：,但
7、仅仅满足这个条件是不够的.还有一种取值可能为x1,x2不在同一段取值,若也满足a 1x1 x2,均有fx1 fx2,通过作图可发现需要左边函数的最大值不大于右边函数的最小值.代入x 1,有左段右端,即a 21 loga1 0 a 3综上所述可得：a2,3题型五题型五 分段函数的零点问题分段函数的零点问题分段函数的零点,有时需要对新函数如何构建是关键,通常的原则是：一是两个新函数图像是常见初等函数图像,二是一个函数图像是定的,另一个函数图像是动的,三是参数放在直线型中,即定曲线动直线,这样便于解决问题,基于这三点x1，例 8,(2017 苏锡常镇调研)若函数 f(x)lnx，xx1，211，2x
8、1)则函数 y|f(x)|的零点个数为_8【答案】4xlnx2x12lnxlnx【解析】设 g(x)2,则由 g(x)0,可得 x e,所以 g(x)在(1,e)上单调递增,在(e,xx4x311)上单调递减,当 x时,g(x)0,故g(x)在(1,)上的最大值为g(e).在同一平面直角坐标系中2e84 4/14141画出 y|f(x)|与 y 的图像可得,交点有 4 个,即原函数零点有 4 个8易错警示 答案中出现了3 和 5 这两种错误结果,3 的主要原因是弄错了(1,)上的单调性或者忘了处理绝对值,5 的主要原因是没有发现图像趋近于x 轴4例 9,(2019 扬州期末)已知函数 f(x)
9、a3|xa|有且仅有三个零点,并且这三个零点构成等差数列,则实x数 a 的值为_113 3【答案】或162444【解析】解法 1 1由 f(x)a3|xa|0,得 3|xa|a,原函数有三个零点,即可转化为函数 y xxxx，3 与 y|xa|ax2a，xa，xa图像有且仅有三个不同的交点,设三个交点的横坐标为 x1,x2,x3,且x1x20.如图 1 所示,图 1 1)4yx3，由解得 x21,x34.yx，x1x3411又三个零点构成等差数列,则 x2,得 x16,则有3(6)2a,解得 a符合题意266(2)a0,但 a0,则 a满足题意22xx32a，解法 2 2因为 f(x)4x 3
10、，x4xa，xa，4所以由 f(x)x 30 得 x1 或 4.x(1)若1a,即 a1 时,由于函数有三个零点,且成等差数列,所以,另一个零点 x01,故24x0,从而411x06,故632a0,解得 a,满足条件；664(2)若1a,即 a1 时,设函数 f(x)x 32a(xa)的两个零点为 x1,x2(x10,而 a0,令 F(x)f(x)g(x)x22axalnxa，x22（1a）xalnxa，0 xa，xa，a因为当0 xa时,F(x)2(xa)0,所以 F(x)在(0,a)上递减,在(a,)上递增,故 F(x)minF(a)a2aalna,结合 F(x)的图xx1像可得,要使得
11、F(x)有两个零点,只需要 F(a)0,令 h(a)a1lna,则 h(a)1 0,所以 h(a)a1在(0,)上递增,又因为 h(1)0,he0,所以 a1,故实数 a 的取值范围为(1,)解法 2 2x2|xa|(2a1)xalnxx2|xa|2axxalnxx22axa2|xa|xalnxa2(xa)2|xa|xalnxa2令 h(x)(xa)2|xa|,(x)xalnxa2.当 a0 时,n(x)h(x)(x)单调递增,至多有一个零点,不符合题意aax当 a0 时,(x)1 在(0,a)上单调递增,在(a,)上单调递减,故在 xa 处去极大值也就是最xx大值(a),而函数 h(x)(x
12、a)2|xa|对称轴是 xa,在此处取最小值 h(a)只需要(a)h(a)0(如图所示),即 alnaaa20lna1a0,令 m(a)lna1a(a0)7 7/141411m(a)10,m(a)在(0,)单调递增,又 m(1)0,m()0 故所以 a1,故实数 a 的取值范围为(1,ae)x（3x），0 x3，例 11,(2018 南京,盐城一模)设函数 f(x)是偶函数,当 x0 时,f(x)若函数 y3 1，x3，xf(x)m 有四个不同的零点,则实数 m 的取值范围是_91，【答案】.4【解析】先画出 x0 时的函数图像,再利用偶函数的对称性得到 x0，个不同解,则实数 k 的取值构成
13、的集合为_1【答案】e3(e,1)思路分析 作函数 yf(x)和 ykx2 的图像,考察两函数图像的公共点,两函数图像的公共点的【解析】个数等价于方程 f(x)kx2 解的个数作函数 yf(x)和 ykx2 的图像,如图所示,两图像除了(0,2)还应有 3 个公共点,当 k0 时,直线应与曲lnx021lnx0211线 yf(x)(x1)相切,设切点(x0,lnx0),则切线斜率为 k,又 k,则,解得 x0e3,此时 k3,x0 x0 x0 x0e当 k0 时,当 ykx2 与曲线 yx2相切于点(0,2)时,函数 yf(x)和 ykx2 的图像只有三个公共点,不x1符合题意,此时 k1,当
14、1k0 时,函数 yf(x)和 ykx2 的图像只有三个公共点,不符合题意,当直线 y1kx2 与 yf(x)(0 x1)相切时,两图像只有三个公共点,设切点(x0,lnx0),则切线的斜率 k,又 kx08 8/1414lnx021lnx02,则,解得 x0e1,此时 ke 不符合题意,当 ke 时,两图像只有两个公共点,不合x0 x0 x01题意,而当ek2，例 13,(2016扬州期末)已知数列an中,a1a(0a2),an1(nN N*),记 Sna1an3，an2a2an,若 Sn2015,则 n_.【答案】1 343【解析】思路分析 因为 a1a(0,2,所以 a23a1,3),为
15、此,需要按 a(0,1,a(1,2进行分类,从而确定后面的项,进而求出它的和,并根据它的和,求出 n 的值(1)当 a(0,1时,则数列an为 a,3a,1a,2a,a,3a,1a,2a,构成一个以4为周期的周期数列,故2 017a1a2 015*S4k6k2 015,此时 kN N,不成立；S4k16k2a2 015,此时 k336,不可能是6662 021a2 018*正整数,也不成立；S4k26k32 015,此时 kN N,不成立；S4k36k6a2 015,此时 k665a336,不可能是正整数,也不成立6(2)当 a(1,2时,则数列an为 a,3a,a,3a,构成一个以 2 为周
16、期的周期数列,故 S2k3k2 015,此2018a2a2 015*时 kN N,不成立,S2k13k(3a)2 015,解得 k672,故当 a2 时,k672,故 n2k33311 343.二二,达标训练达标训练9 9/14142x 2x，1,(2019 苏州期初调查)已知函数 f(x)x2ax，x0，x0，为奇函数,则实数 a 的值等于_【答案】.2【解析】解法 1 1(特殊值法)f(1)1a,f(1)1,因为 f(x)为奇函数,所以1a1,则 a2.解法 2 2(定义法)设 x0,所以 f(x)x22xf(x),即 x22xx2ax 对 x0，_【答案】4,21【解析】当 x0 时,不
17、等式 f(x)1 可以化为 x11,解之得 x4,此时4x0；当 x0 时,不等式 f(x)21 可以化为(x1)21,解之得 02，_8【答案】8 或3【解析】当 m0 时,2m2,所以 3(2m)m(2m)2m,所以 m8；当 m2,2m2,8所以 3(2m)m(2m)2m,所以 m.3aex，x1，4,(2018 苏锡常镇调研)已知函数 f(x)(e 是自然对数的底)若函数 yf(x)的最小值是 4,4x，x1x则实数 a 的取值范围为_【答案】.e4,)【解析】解法 1 1 在 x1 时,f(x)minf(2)4.所以当 x1 时,aex4 恒成立转化为 aex4 对 x1 恒成立 因
18、为 ex4 在(,1)上的值域为(4,e4),所以 ae4.1010/141444解法 2 2 当 xae,当 x1 时,f(x)x 4,当且仅当 x,即 x2 时,取“”,故函数 f(x)xx的值域是e4,).解后反思 解法 1 中,因为 ex4 在 x1 上没有最大值,所以要特别注意边界值 e4 能否取到1log2（x1）1，x1，k，5,(2018 扬州期末)已知函数 f(x)若存在实数 k 使得该函数的值域2|x1|，x（k，a，为2,0,则实数 a 的取值范围是_1【答案】2，21【解析】根据函数f(x)的解析式作出草图如图,当 x1,k时,f(x)log(x1)1,它在1,1)上是
19、单调211递增的,且 f(1)2,f0,因为该函数在1,a上的值域为2,0,所以必须有1k；当 x(k,a22时,f(x)2|x1|,在(,1上单调递增,在1,)上单调递减,且 f(0)f(2)2,f(1)0,因为函数的值域为12,0,所以必须有 0ka2.综合,要求存在实数 k 使得该函数的值域为2,0,则必须 0k a2.所以21实数 a 的取值范围为2，2.xm，x0，6,(2017南通,扬州,淮安,宿迁,泰州,徐州六市二调)已知函数f(x)x 1，x0，2)其中m0,若函数yf(f(x)1 有 3 个不同的零点,则实数 m 的取值范围是_【答案】(0,1)【解析】思路分析 先画出函数图
20、像草图,再分类讨论令 f(f(x)1,得 f(x)2或 f(x)m10,进一步,得 x21或 xm 20 或 x m.因为已知 m1111/14140,所以只要 m1,即 0m1.7,(2017 南通一调)已知函数 f(x)|x|x4|,则不等式 f(x22)f(x)的解集用区间表示为_【答案】(,2)(2,)【解析】思路分析 作出函数 f(x)|x|x4|的图像,通过函数的图像并结合单调性,得出关于 x 的不等式组,解得 x 的取值范围函数 f(x)的图像如图,知图像关于直线 x2 对称因为 x220 且 f(x22)f(x),则必有x224，x22x，4x22x，x22，即x2x20，解得
21、 x(,2)(2,)x2x20，解后反思 本题主要考查分段函数的图像和性质,一元二次不等式等基础知识,考查数形结合,分类讨论等思想及运算求解能力ea8,(2017 常州期末)若函数 f(x)2ex(aR R)在区间1,2上单调递增,则实数 a 的取值范围是_ee，【答案】22exa【解析】思路分析 本题所给函数含有绝对值符号,可以转化为 g(x)x的值域和单调性来研究,根据图像2eexa的对称性可得 g(x)x只有单调递增和单调递减这两种情况2eexa设 g(x)x,因为 f(x)|g(x)|在区间1,2上单调递增,所以 g(x)有两种情况：2eg(x)0 且 g(x)在区间1,2上单调递减e
22、x22aex22a又 g(x),所以 g(x)0 在区间1,2上恒成立,且 g(1)0.2ex2ex22x1212/14142ae 2，所以ea无解 0，2eex22ag(x)0 且 g(x)在区间1,2上单调递增,即 g(x)0 在区间1,2上恒成立,且 g(1)0,2ex2ae 2，e2e2所以ea解得 a2，2.0，2eee，.综上,实数 a 的取值范围为22xa，x，9,(2017 南通,扬州,泰州,淮安三调)已知函数f(x)3若函数g(x)2f(x)ax恰有 2 个不同的x 3x，x a.22xx零点,则实数 a 的取值范围是【答案】,(3，2)2【思路分析】遇到函数零点个数问题,通
23、常转化为两个函数图象交点问题,进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题,通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题,故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高,后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的.解析：函数g(x)2f(x)ax恰有 2 个不同的零点,即方程2f(x)ax 0恰有 2 个不相等的根,亦即方程()x ax a和()3共有 2 个不相等的根.2xax 02x 6xax 0首先()中2xax 0,即(2 a)x 0,若a 2,则x 2都是方程2xax 0的根,不符合题意,所以a 2,因此()中由2xax
24、 0解得x 0,下面分情况讨论(1)若x 0是方程()的唯一根,则必须满足0 a,即a 0,此时方程()必须再有唯一的一个根,即x a 032有唯一根,因为x 0,由2x 6xax 0,得2x 6a必须有满足x a 0的唯一32x 6xax 01313/1414根,首先6a 0,其次解得的负根需满足6a3 a 0,从而解得 a 0,22(2)若x 0不是方程()的唯一根,则必须满足0 a,即a 0,此时方程()必须有两个不相等的根,即a 0有两个不相等的根,由2x36xax 0,得x 0 a适合,另外2x2 6a还有必须一x a2x36xax 0满足x a,a 0的非零实根,首先6a 0,解得的正根需满足指出a 2,故0 a 2,综合(1),(2),得实数a的取值范围为(,2).6a a,从而解得0 a 2,但前面已经2321414/1414