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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！1/14 专题 10 分段函数的研究 一,题型选讲 题型一,含义抽象函数的求值问题 含有抽象函数的分段函数,在处理里首先要明确目标,即让自变量向有具体解析式的部分靠拢,其次要理解抽象函数的含义和作用(或者对函数图象的影响)例 1,(2019 南京三模)若函数 f(x)2x，x0f(x2)，x0,则 f(log23)【答案】34【解析】因为 12log 32,所以 f(log23)f(log232)22log 3log 3 2223224.例 2：设函数 cos,011,0 x xf xf xx,则
2、103f的值为_【答案】92 【解析】思路：由 f x解析式可知,只有0 x,才能得到具体的数值,0 x 时只能依靠 11f xf x向0 x 正数进行靠拢.由此可得：107412123433333fffff,而 221cos332f 10932f 题型二 与分段函数有关的方程或不等式 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！2/14 含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段,通过对x进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解.另一种是通过作出分段函数的图象,数形结合,利用图像的特点解不等式 例 3,(2019 苏锡
3、常镇调研).已知函数 f(x)log2（3x），x0，2x1，x0，若 f(a1)12,则实数 a_【答案】log23 【解析】当 a10,即 a1 时,f(a1)log2(4a)12,解得 a4 2(舍)；当 a10,即 a1 时,f(a1)2a1112,解得 alog23.解后反思 本题以分段函数为背景,考查指数及对数的基本运算及分类讨论的数学思想 例 4,(2019 苏北四市,苏中三市三调)已知函数2220()20 xxxf xxxx，则不等式()()f xfx的解集为 【答案】(2 0)(2)U，【解析】：若0 x,则22()2,()2f xxx fxxx,由()()f xfx得：22
4、222xxxxx,故2x.若0 x,则22()2,()2f xxx fxxx,由()()f xfx得：222220 xxxxx ,故20 x.综上,不等式()()f xfx的解集为(2 0)(2)U，.题型三,分段函数的值域 分段函数的定义域与值域各段的并集 例 5,(2016 苏州期末)函数 f(x)2x，x0，x21，x0的值域为_【答案】(,1 【解析】思路分析 先画出图像看看 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！3/14 分段画出 f(x)的图像即可看出函数的值域为(,1 解后反思 能快速画出图像的题,尽量先画图像,对于填空
5、题非常有用 例 6,(2018 无锡期末)已知函数 f(x)x22x1x2，x12，log121x2，x12，g(x)x22x2.若存在 aR,使得 f(a)g(b)0,则实数 b 的取值范围是_【答案】.(2,0)【解析】思路分析 根据条件可以将问题等价转化为关于函数 yf(a)的值域问题,然后利用分段函数的值域求法和一元二次不等式的解法处理即可 由题意,存在 aR,使得 f(a)g(b),令 h(b)g(b)b22b2.当 a12时,f(a)a22a1a21a22a11a122,因为 a12,所以21a0,从而7f(a)12时,f(a)log121a2,因为 a12,所以1a214,从而
6、f(a)2.综上,函数 f(a)的值域是(,2)令 h(b)2,即 b22b22,解得2b0.易错警示 此题的关键是问题的等价转化,设 f(a)的值域为集合 A,g(b)的值域为集合 B,它们的正确关系是 BA,而不是 AB.题型四 分段函数的单调性 分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性,如果单调性相同,则需判断函数是连续的还是断开的,如果函数连续,则单调区间可以合在一起,如果函数不连续,则要根据函数在两段分界点出的函数值(和临界值)的大小确定能否将单调区间并在一起.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！4/14 例 7,已知函数
7、(2)1(1)()log(1)aaxxf xxx,若()f x在,单调递增,则实数a的取值范围是_【答案】2,3a 【解析】思路：若 f x在,单调增,则在R上任取12xx,均有 12f xf x,在任取中就包含12,x x均在同一段取值的情况,所以可得要想在R上单调增,起码每一段的解析式也应当是单调递增的,由此可得：201aa,但仅仅满足这个条件是不够的.还有一种取值可能为12,x x不在同一段取值,若也满足12xx,均有 12f xf x,通过作图可发现需要左边函数的最大值不大于右边函数的最小值.代入1x ,有左段右端,即21log 103aaa 综上所述可得：2,3a 题型五 分段函数的
8、零点问题 分段函数的零点,有时需要对新函数如何构建是关键,通常的原则是：一是两个新函数图像是常见初等函数图像,二是一个函数图像是定的,另一个函数图像是动的,三是参数放在直线型中,即定曲线动直线,这样便于解决问题,基于这三点 例 8,(2017 苏锡常镇调研)若函数 f(x)12x1，x1，lnxx2，x1，)则函数 y|f(x)|18的零点个数为_【答案】4 【解析】设 g(x)lnxx2,则由 g(x)xlnx2xx412lnxx30,可得 x e,所以 g(x)在(1,e)上单调递增,在(e,)上单调递减,当 x时,g(x)0,故g(x)在(1,)上的最大值为 g(e)12e18.在同一平
9、面直角坐标系中欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！5/14 画出 y|f(x)|与 y18的图像可得,交点有 4 个,即原函数零点有 4 个 易错警示 答案中出现了 3 和 5 这两种错误结果,3 的主要原因是弄错了(1,)上的单调性或者忘了处理绝对值,5 的主要原因是没有发现图像趋近于 x 轴 例 9,(2019 扬州期末)已知函数 f(x)a34x|xa|有且仅有三个零点,并且这三个零点构成等差数列,则实数 a 的值为_ 【答案】116或13 32 【解析】解法 1 由 f(x)a34x|xa|0,得4x3|xa|a,原函数有三
10、个零点,即可转化为函数 y4x3 与 y|xa|ax，xa，x2a，xa图像有且仅有三个不同的交点,设三个交点的横坐标为 x1,x2,x3,且x1x20.如图 1 所示,图 1)由y4x3，yx，解得 x21,x34.又三个零点构成等差数列,则 x2x1x32,得 x16,则有463(6)2a,解得 a116符合题意(2)a0,但 a0,则 a23 32满足题意 解法 2 因为 f(x)x4x32a，xa，x4x3，xa，所以由 f(x)x4x30 得 x1 或 4.(1)若1a,即 a1 时,由于函数有三个零点,且成等差数列,所以,另一个零点 x01,故24x0,从而x06,故64632a0
11、,解得 a116,满足条件；(2)若1a,即 a1 时,设函数 f(x)x4x32a(xa)的两个零点为 x1,x2(x10,而 a0,令 F(x)f(x)g(x)x22axalnxa，0 xa，x22（1a）xalnxa，xa，因为当0 xa时,F(x)2(xa)ax0,所以 F(x)在(0,a)上递减,在(a,)上递增,故 F(x)minF(a)a2aalna,结合 F(x)的图像可得,要使得 F(x)有两个零点,只需要 F(a)0,令 h(a)a1lna,则 h(a)11a0,所以 h(a)在(0,)上递增,又因为 h(1)0,h1e0,所以 a1,故实数 a 的取值范围为(1,)解法
12、2 x2|xa|(2a1)xalnx x2|xa|2axxalnx x22axa2|xa|xalnxa2(xa)2|xa|xalnxa2 令 h(x)(xa)2|xa|,(x)xalnxa2.当 a0 时,n(x)h(x)(x)单调递增,至多有一个零点,不符合题意 当 a0 时,(x)1axaxx在(0,a)上单调递增,在(a,)上单调递减,故在 xa 处去极大值也就是最大值(a),而函数 h(x)(xa)2|xa|对称轴是 xa,在此处取最小值 h(a)只需要(a)h(a)0(如图所示),即 alnaaa20lna1a0,令 m(a)lna1a(a0)欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联
13、网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！8/14 m(a)1a10,m(a)在(0,)单调递增,又 m(1)0,m(1e)0 故所以 a1,故实数 a 的取值范围为(1,)例 11,(2018 南京,盐城一模)设函数 f(x)是偶函数,当 x0 时,f(x)x（3x），0 x3，3x1，x3，若函数 yf(x)m 有四个不同的零点,则实数 m 的取值范围是_【答案】.1，94 【解析】先画出 x0 时的函数图像,再利用偶函数的对称性得到 x0，若关于 x 的方程 f(x)kx2 有且只有四个不同解,则实数 k 的取值构成的集合为_ 【答案】1e3(e,1)【解析】思路分析 作
14、函数 yf(x)和 ykx2 的图像,考察两函数图像的公共点,两函数图像的公共点的个数等价于方程 f(x)kx2 解的个数 作函数 yf(x)和 ykx2 的图像,如图所示,两图像除了(0,2)还应有 3 个公共点,当 k0 时,直线应与曲线 yf(x)(x1)相切,设切点(x0,lnx0),则切线斜率为 k1x0,又 klnx02x0,则1x0lnx02x0,解得 x0e3,此时 k1e3,当 k0 时,当 ykx2 与曲线 yx2x1相切于点(0,2)时,函数 yf(x)和 ykx2 的图像只有三个公共点,不符合题意,此时 k1,当1k0 时,函数 yf(x)和 ykx2 的图像只有三个公
15、共点,不符合题意,当直线 ykx2 与 yf(x)(0 x1)相切时,两图像只有三个公共点,设切点(x0,lnx0),则切线的斜率 k1x0,又 k欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！9/14 lnx02x0,则1x0lnx02x0,解得 x0e1,此时 ke 不符合题意,当 ke 时,两图像只有两个公共点,不合题意,而当ek1 时,两图像有 4 个公共点,符合题意,所以实数 k 的取值范围是1e3(e,1)题型七 数列中分段函数奇偶性讨论问题 数列中分段函数奇偶性四指对 n 为奇函数和偶函数两种情况进行讨论.例 13,(2016
16、扬州期末)已知数列an中,a1a(02，an3，an2(nN*),记 Sna1a2an,若 Sn2015,则 n_.【答案】1 343 【解析】思路分析 因为 a1a(0,2,所以 a23a1,3),为此,需要按 a(0,1,a(1,2进行分类,从而确定后面的项,进而求出它的和,并根据它的和,求出 n 的值(1)当 a(0,1时,则数列an为 a,3a,1a,2a,a,3a,1a,2a,构成一个以 4为周期的周期数列,故S4k6k2 015,此时 k2 0156N*,不成立；S4k16k2a2 015,此时 k2 017a63361a6,不可能是正整数,也不成立；S4k26k32 015,此时
17、 k2 0186N*,不成立；S4k36k6a2 015,此时 k2 021a63365a6,不可能是正整数,也不成立(2)当 a(1,2时,则数列an为 a,3a,a,3a,构成一个以 2 为周期的周期数列,故 S2k3k2 015,此时 k2 0153N*,不成立,S2k13k(3a)2 015,解得 k2018a36722a3,故当 a2 时,k672,故 n2k11 343.二,达标训练 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！10/14 1,(2019 苏州期初调查)已知函数 f(x)x22x，x0，x2ax，x0，为奇函数,
18、则实数 a 的值等于_【答案】.2 【解析】解法 1(特殊值法)f(1)1a,f(1)1,因为 f(x)为奇函数,所以1a1,则 a2.解法 2(定义法)设 x0,所以 f(x)x22xf(x),即 x22xx2ax 对 x0，则不等式 f(x)1 的解集是_【答案】4,2【解析】当 x0 时,不等式 f(x)1 可以化为12x11,解之得 x4,此时4x0；当 x0 时,不等式 f(x)1 可以化为(x1)21,解之得 02，若 f(2m)f(2m),则 m 的值为_【答案】8 或83 【解析】当 m0 时,2m2,所以 3(2m)m(2m)2m,所以 m8；当 m2,2m2,所以 3(2m
19、)m(2m)2m,所以 m83.4,(2018 苏锡常镇调研)已知函数 f(x)aex，x1，x4x，x1(e 是自然对数的底)若函数 yf(x)的最小值是 4,则实数 a 的取值范围为_【答案】.e4,)【解析】解法 1 在 x1 时,f(x)minf(2)4.所以当 x1 时,aex4 恒成立转化为 aex4 对 x1 恒成立因为 ex4 在(,1)上的值域为(4,e4),所以 ae4.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！11/14 解法 2 当 xae,当 x1 时,f(x)x4x4,当且仅当 x4x,即 x2 时,取“”,故
20、函数 f(x)的值域是e4,).解后反思 解法 1 中,因为 ex4 在 x1 上没有最大值,所以要特别注意边界值 e4 能否取到 5,(2018 扬州期末)已知函数 f(x)log12（x1）1，x1，k，2|x1|，x（k，a，若存在实数 k 使得该函数的值域为2,0,则实数 a 的取值范围是_【答案】12，2 【解析】根据函数 f(x)的解析式作出草图如图,当 x1,k时,f(x)log12(x1)1,它在1,1)上是单调递增的,且 f(1)2,f120,因为该函数在1,a上的值域为2,0,所以必须有1k12；当 x(k,a时,f(x)2|x1|,在(,1上单调递增,在1,)上单调递减,
21、且 f(0)f(2)2,f(1)0,因为函数的值域为2,0,所以必须有 0ka2.综合,要求存在实数 k 使得该函数的值域为2,0,则必须 0k12a2.所以实数 a 的取值范围为12，2.6,(2017南通,扬州,淮安,宿迁,泰州,徐州六市二调)已知函数f(x)xm，x0，x21，x0，)其中m0,若函数yf(f(x)1 有 3 个不同的零点,则实数 m 的取值范围是_【答案】(0,1)【解析】思路分析 先画出函数图像草图,再分类讨论 令 f(f(x)1,得 f(x)2或 f(x)m10,进一步,得 x21或 xm 20 或 x m.因为已知 m欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理
22、，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！12/14 0,所以只要 m1,即 0m1.7,(2017 南通一调)已知函数 f(x)|x|x4|,则不等式 f(x22)f(x)的解集用区间表示为_【答案】(,2)(2,)【解析】思路分析 作出函数 f(x)|x|x4|的图像,通过函数的图像并结合单调性,得出关于 x 的不等式组,解得 x 的取值范围 函数 f(x)的图像如图,知图像关于直线 x2 对称 因为 x220 且 f(x22)f(x),则必有 x224，x22x，4x22x，即 x22，x2x20，x2x20，解得 x(,2)(2,)解后反思 本题主要考查分段函数的图像和性质,
23、一元二次不等式等基础知识,考查数形结合,分类讨论等思想及运算求解能力 8,(2017 常州期末)若函数 f(x)ex2aex(aR)在区间1,2上单调递增,则实数 a 的取值范围是_【答案】e22，e22 【解析】思路分析 本题所给函数含有绝对值符号,可以转化为 g(x)ex2aex的值域和单调性来研究,根据图像的对称性可得 g(x)ex2aex只有单调递增和单调递减这两种情况 设 g(x)ex2aex,因为 f(x)|g(x)|在区间1,2上单调递增,所以 g(x)有两种情况：g(x)0 且 g(x)在区间1,2上单调递减 又 g(x)ex22a2ex,所以 g(x)ex22a2ex0 在区
24、间1,2上恒成立,且 g(1)0.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！13/14 所以 2aex2，e2ae0，无解 g(x)0 且 g(x)在区间1,2上单调递增,即 g(x)ex22a2ex0 在区间1,2上恒成立,且 g(1)0,所以 2aex2，e2ae0，解得 ae22，e22.综上,实数 a 的取值范围为e22，e22.9,(2017 南通,扬州,泰州,淮安三调)已知函数3()3.xxaf xxxxa，若函数()2()g xf xax恰有 2 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 【答案】,3(2)2，【思路分析】遇到
25、函数零点个数问题,通常转化为两个函数图象交点问题,进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题,通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题,故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高,后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的.解析：函数()2()g xf xax恰有 2 个不同的零点,即方程2()0f xax恰有 2 个不相等的根,亦即方程()20 xaxax和()3260 xaxxax共有 2 个不相等的根.首先()中20 xax,即(2)0a x,若2a ,则2x 都是方程20 xax的根,不符合题意,所以2a ,因此
26、()中由20 xax解得0 x,下面分情况讨论(1)若0 x 是方程()的唯一根,则必须满足0a,即0a ,此时方程()必须再有唯一的一个根,即30260 xaxxax有唯一根,因为0 x ,由3260 xxax,得226xa必须有满足0 xa的唯一欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！14/14 根,首先60a,其次解得的负根需满足602aa,从而解得302a,(2)若0 x 不是方程()的唯一根,则必须满足0a,即0a ,此时方程()必须有两个不相等的根,即30260axaxxax有两个不相等的根,由3260 xxax,得0 xa适合,另外226xa还有必须一满足,0 xa a的非零实根,首先60a,解得的正根需满足62aa,从而解得02a,但前面已经指出2a,故02a,综合(1),(2),得实数a的取值范围为3(,2)2.