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1、一九七八年（理科考生五，六两题选做一题。文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题。）一（下列各题每题4分，五个题共20分）1分解因式：x2-4xy+4y2-4z2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)2.已知正方形的边长为，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积。解：设底面半径为r，则底面周长2r=则3求函数的定义域。解： lg(2+x)0,2+x1.故x-1为其定义域。4不查表求cos800cos350+cos100cos550的值。解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=si
2、n450=5.化简： 二 .（本题满分14分）已知方程kx2+y2=4，其中k为实数。对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图。解：1）k0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：k1时,长轴在y轴上，半长轴=2，半短轴=;k=1时,为半径r=2的圆;k1时,长轴在x轴上，半长轴= ，半短轴=2。 Y Y Y k=2 A k=1 (0,2) k=1/4 O A X O B X O X 如图：2)k=0时，方程为y2=4。图形是两条平行于x轴的直线如图。3）k0时，方程为 Y Y y=2 k=-4 A O O X B X y=-2 这时图形是双曲线
3、，中心在坐标原点，实轴在y轴上。如图：三（本题满分14分）（如图）AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AMMN于M点，BNMN于N点，CDAB于D点，求证：1)CD=CM=CN. 2)CD2=AMBN M C N A B D 1)证：连CA，CB，则ACB=900。ACM=ABC ACD=ABCACM=ACD。AMCADCCM=CD同理CN=CD。CD=CM=CN。2）CDAB，ACD=900。 CD2=ADDB由1）知AM=AD，BN=BD。CD2=AMBN。四（本题满分12分）五（本题满分20分）已知ABC的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=求角A，B，C的大小。又
4、已知顶点C的对边c上的高等于。求三角形各边,b,c的长（提示：必要时可验证）六（本题满分20分） 七（本题满分20分，文科考生不要求作此题）已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1(m为实数）1）m是什么数值时，y的极值是0？2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L1上。画出m=-1、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论。3）平行于L1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于L1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等。解：用配方法得：3.设L：x-y=为任一条平行于L1的直线。与抛物线y=x2+(2m+1)x+m2-1方程联立求解，消
5、去y，得x2+2mx+m2-1+=0（x+m)2=1-。因而当1-0即1时，直线L与抛物线相交，而1时，直线L与抛物线不相交。而这与m无关。因此直线L被各抛物线截出的线段都相等。一九七八年副题1（1）分解因式：x2-2xy+y2+2x-2y-3解：原式=(x-y-1)(x-y+3)(2)求 解：原式=3/4。（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm，母线的长等于2cm，求它的体积。解：解：原式=30。2已知两数x1 ,x2满足下列条件：1）它们的和是等差数列1，3，的第20项;2）它们的积是等比数列2，-6，的前4项和。求根为的方程。略解：x1 +x2=39，x1x2=-40。故：1/x1+1/
6、x2=-39/40。1/x11/x2=-1/40所求方程为：40x2+39x-1=0.3.已知：ABC的外接圆的切线AD交BC的延长线于D点，求证： A 1 B E C D 证：因为AD是ABC的外接圆的切线，所以 B=1ABDCAD作AEBD于点E，则 A M N B E F D4（如图）CD是BC的延长线，AB=BC=CA=CD=，DM与AB，AC分别交于M点和N点，且BDM=。求证：证：作MEDC于E，由ABC是等边三角形，在直角MBE中，类似地，过N作NFBC于F，在直角NFC中，可证： 5设有f(x)=4x4-4px3+4qx2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p0）求证：1）如果
7、f(x)的系数满足p2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一个二次三项式的平方。2）如果f(x)与F(x)=(2x2+x+b)2表示同一个多项式，那么p2-4q-4(m+1)=0。6已知：sinx+bcosx =0.Asin2x+Bcos2x=C.其中,b不同时为0。求证：2bA+(b2-2)B+(2+b2)C=0 则可写成cosysinx-sinycosx=0,sin(x-y)=0x-y=k(k为整数)，x=y+k又sin2x=sin2(y+k)=sin2y=2sinycosy= cos2x=cos2y=cos2y-sin2y=代入，得7已知L为过点P而倾斜角为300的直线，圆C为中心在坐标原点而半径等于1的圆，Q表示顶点在原点而焦点在的抛物线。设A为L和C在第三象限的交点，B为C和Q在第四象限的交点。1）写出直线L、圆C和抛物线Q的方程，并作草图。2）写出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式。3）设P、B依次为从P、B到x轴的垂足。求由圆弧AB和直线段BB、BP、PP、PA所包含的面积。 Y O X B Q L P A C 解：1）直线L、圆C和抛物线Q的方程为2)由 Y P B O X B A C Q L P