《1978年高考数学试题3595.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1978年高考数学试题3595.pdf（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、一九七八年 （理科考生五，六两题选做一题。文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题。）一（下列各题每题 4 分，五个题共 20 分）1分解因式：x2-4xy+4y2-4z2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)2.已知正方形的边长为a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积。解：设底面半径为 r，则底面周长 2r=a 则.42,2222aaaarar体积 3求函数)2lg(xy的定义域。解：lg(2+x)0,2+x1.故 x-1 为其定义域。4不查表求 cos800cos350+cos100cos550的值。解：原式=sin1
2、00cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=22 5.化简：二.（本题满分 14 分）.254:.)()1.0()4(41 21214323121bbaab原式解已知方程 kx2+y2=4，其中 k 为实数。对于不同范围的 k 值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图。解：1）k0 时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：k1 时,长轴在 y 轴上，半长轴=2，半短轴=k2;k=1 时,为半径 r=2 的圆;k1 时,长轴在 x 轴上，半长轴=k2，半短轴=2。如图：2)k=0 时，方程为 y2=4。图形是两条平行于 x
3、轴的直线2y 如图。3）k0 时，方程为 Y Y Y k=2 A k=1 (0,2)k=1/4 O A X O B X O X 14422ykx这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在 y 轴上。如图：三（本题满分 14 分）（如图）AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线 MN 切半圆于C 点，AMMN 于 M 点，BNMN 于 N 点，CDAB 于 D 点，求证：1)CD=CM=CN.2)CD2=AMBN 1)证：连 CA，CB，则ACB=900。ACM=ABC ACD=ABC ACM=ACD。AMCADC CM=CD 同理 CN=CD。CD=CM=CN。2）CDAB，ACD=900。C
4、D2=ADDB 由 1）知 AM=AD，BN=BD。CD2=AMBN。Y Y y=2 k=-4 A O O X B X y=-2 M C N A B D 四（本题满分 12 分）五（本题满分 20 分）已知ABC的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=32 求角A，B，C 的大小。又已知顶点 C 的对边 c 上的高等于34。求三角形各边a,b,c 的长（提示：必要时可验证324)31(2）六（本题满分 20 分）.22log18log9log5log218log95log45log.5log,518:.45log.518),2(9log18181818181836183618ababaabb解
5、求已知.43460cos45cos;6445sin34;860sin34,347545120,45.32,1,32,1:.032)33(xtgCtgA,(2)(1)(2).33)3)(3-(-1C)AtgAtgC)tg(-(1tgCtgA(1)32120,60.2180:212abDBADcbacCAtgCtgACAxxxtgAtgCCABCABCBA上的高等于又知则得设解这方程得的两根是可知由而又解.22:0,2sin2-3sin2 ,1sin2sin3,:22求证且为锐角已知七（本题满分 20 分，文科考生不要求作此题）已知函数 y=x2+(2m+1)x+m2-1(m 为实数）1）m 是什
6、么数值时，y 的极值是 0 2）求证：不论 m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线 L1上。画出 m=-1、0、1 时抛物线的草图，来检验这个结论。3）平行于 L1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交求证：任一条平行于 L1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都.21sin3)cos(sinsin3 )cossin3(cos)sin3(sin2sincos2cossin)2sin()(31sin.1sin9sin9cossin9cos2sin.cossin32sin232sin:,02sin22sin3.2cossin3:,1sin2sin3222242222222为
7、锐角得由得由.)23(49,)21(45,)21(41,1,0,1.,.43:,45454,21212m-x ),454,212(.245,054,0.4544542122222图略之间函数关系为时当直线上抛物线的顶点都在这条是什么值不论因此方程中不含直线它的图象是一条所满足的方程此即各抛物线顶点坐标二式相减得即坐标为函数图象抛物线的顶点时所以当极值为的极小值为xyxyxyyxmmmyxmmymmmmmmymmxy相等。解：用配方法得：3.设 L：x-y=a为任一条平行于 L1的直线。与抛物线 y=x2+(2m+1)x+m2-1 方程联立求解，消去 y，得 x2+2mx+m2-1+a=0（x+
8、m)2=1-a。因而当 1-a0 即a1 时，直线 L 与抛物线相交，而a1 时，直线 L 与抛物线不相交。而这与 m 无关。因此直线 L 被各抛物线截出的线段都相等。一九七八年副题 1（1）分解因式：x2-2xy+y2+2x-2y-3 解：原式=(x-y-1)(x-y+3)(2)求的值65cos4030sin2ctgtg )1(222)1()1(45,1.1,1.1,1aamamLLamamLamxa于被抛物线截出的线段等直线它的倾斜角为的斜率为因直线为与抛物线两交点横坐标即直线时当解：原式=3/4。（4）已知直圆锥体的底面半径等于 1cm，母线的长等于 2cm，求它的体积。解：)(3312
9、131322cmV.)35()9125(30)5001()52(10)5(2121211的值计算 解：原式=30。2已知两数 x1,x2满足下列条件：1）它们的和是等差数列 1，3，的第 20 项;2）它们的积是等比数列 2，-6，的前 4 项和。求根为211,1xx的方程。略解：x1+x2=39，x1x2=-40。故：1/x1+1/x2=-39/40。1/x11/x2=-1/40 所求方程为：40 x2+39x-1=0.3.已知：ABC 的外接圆的切线 AD 交 BC 的延长线于 D 点，求证：为所求之定义域且且解的定义域求函数12.01,0525:.1)525lg()3(xxxxyxxCD
10、BDACABACDABC22的面积的面积 证：因为 AD 是ABC 的外接圆的切线，所以 B=1ABDCAD 22ACABACDABC的面积的面积 作 AEBD 于点 E，则.2121CDBDAECDAEBDACDABC的面积的面积 4（如图）CD 是 BC 的延长线，AB=BC=CA=CD=a，DM 与 AB，AC 分别交于 M 点和 N 点，且BDM=。求证：tgatgCNtgatgBM34,34 证：作 MEDC 于 E，由ABC 是等边三角形，在直角MBE 中，类似地，过 N 作 NFBC 于 F，在直角NFC 中，可证：tgatgCN34 A 1 B E C D A M N B E
11、F D.34,21223,23,21tgatgBMBMaBMEDMEtgBMMEBMBE 5设有 f(x)=4x4-4px3+4qx2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p0）求证：1）如果 f(x)的系数满足 p2-4q-4(m+1)=0,那么 f(x)恰好是一个二次三项式的平方。2）如果 f(x)与 F(x)=(2x2+ax+b)2表示同一个多项式，那么 p2-4q-4(m+1)=0。6已知：asinx+bcosx=0.Asin2x+Bcos2x=C.其中a,b 不同时为 0。求证：2abA+(b2-a2)B+(a2+b2)C=0 2222cos,sin:baaybaby设证 则可写成 c
12、osysinx-sinycosx=0,sin(x-y)=0 x-y=k(k 为整数)，.0)1(44,0.0)1(44,442)1(2),3(,44)2()1()4()1()3(2)1(2)2(44)1(44,2)4(44 )2()1()1(2444)2)(.)442x()44(44)(2x2)(2x )44(44)2()4()(2x )44(442444)(,441)1:22222222223422223422222222222222222222342mqppmqpppqpmpbapqbpabmabmpbaqapbabxxbaaxxbaxxmmpqxpxxxfqppxqpqppxpxqpqp
13、pxxqppxqpxqppqxpxxxfqpm得的表达式代入将得代入可得由平方等于一个二次三项式的证x=y+k 又 sin2x=sin2(y+k)=sin2y=2sinycosy=222baab cos2x=cos2y=cos2y-sin2y=2222baba 代入，得 7已知 L 为过点 P)23,233(而倾斜角为 300的直线，圆 C 为中心在坐标原点而半径等于 1 的圆，Q 表示顶点在原点而焦点在)0,82(的抛物线。设 A 为 L 和 C 在第三象限的交点，B 为 C 和 Q 在第四象限的交点。1）写出直线 L、圆 C 和抛物线 Q 的方程，并作草图。2）写出线段 PA、圆弧 AB 和抛物线上 OB 一段的函数表达式。3）设 P、B依次为从 P、B 到 x 轴的垂足。求由圆弧 AB 和直线段 BB、BP、PP、PA 所包含的面积。.0)()(2,)(22222222222CbaBababACbaBbabaabA解：1）直线 L、圆 C 和抛物线 Q的方程为 2)由 Y O X B Q L P A C Y P B O X B A C Q L P )23233(,33)(:.23133122xxxfPAxAyxxy的函数表达式为线段点横坐标解得草图如图 x 22:1:33:222yQyxCxyL