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1、层次分析模型第1页，本讲稿共34页离散模型离散模型 离散模型：差分方程、整数规划、图论、离散模型：差分方程、整数规划、图论、对策论、网络流、对策论、网络流、分析社会经济系统的有力工具分析社会经济系统的有力工具 只用到代数、集合及图论（少许）的只用到代数、集合及图论（少许）的知识知识第2页，本讲稿共34页8.1 层次分析模型层次分析模型背背景景 日常工作、生活中的决策问题日常工作、生活中的决策问题 涉及经济、社会等方面的因素涉及经济、社会等方面的因素 作比较判断时人的主观选择起相当大的作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化作用，各因素的重要性难以量化 Saaty于于197
2、0年代提出层次分析法年代提出层次分析法 AHP(Analytic Hierarchy Process)AHP一种一种定性与定量相结合的、系统定性与定量相结合的、系统化、层次化化、层次化的分析方法的分析方法第3页，本讲稿共34页目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)P2黄黄 山山P1桂桂 林林P3北戴河北戴河 准则层准则层方案层方案层C3居居 住住C1 景景 色色C2费费 用用C4饮饮 食食C5旅旅 途途一一.层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤例例.选择旅游地选择旅游地如何在如何在3 3个目的地中按照景色、费个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择用、居住条件等因素选择.第4页，本讲稿
3、共34页“选择旅游地选择旅游地”思维过程的归思维过程的归纳纳 将决策问题分为将决策问题分为3个层次：目标层个层次：目标层O，准则层，准则层C，方案，方案层层P；每层有若干元素，；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连各层元素间的关系用相连的直线表示。的直线表示。通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。每一准则的权重。将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。成
4、以上步骤，给出决策问题的定量结果。第5页，本讲稿共34页层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤成对比较阵成对比较阵和权向量和权向量 元素之间两两对比，对比采用相对尺度元素之间两两对比，对比采用相对尺度 设要比较各准则设要比较各准则C1,C2,Cn对目标对目标O的重要性的重要性A成对比较阵成对比较阵A是正互反阵是正互反阵要由要由A确定确定C1,Cn对对O的权向量的权向量选选择择旅旅游游地地第6页，本讲稿共34页成对比较的不一致情况成对比较的不一致情况一致比较一致比较不一致不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况考察完全一致的情况成对比较阵
5、和权向量成对比较阵和权向量第7页，本讲稿共34页成对比较完全一致的情况成对比较完全一致的情况满足满足的正互反阵的正互反阵A称称一致阵一致阵，如，如 A的秩为的秩为1，A的唯一非零特征根为的唯一非零特征根为n A的任一列向量是对应于的任一列向量是对应于n 的特征向量的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量的归一化特征向量可作为权向量对于不一致对于不一致(但在允许范围内但在允许范围内)的成对比较的成对比较阵阵A，建议用对应于最大特征根，建议用对应于最大特征根 的特征向的特征向量作为权向量量作为权向量w，即，即一致阵一致阵性质性质成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量第8页，本讲稿共34页2 4 6
6、 8比较尺度比较尺度aij Saaty等人提出等人提出19尺度尺度aij 取值取值1,2,9及其互反数及其互反数1,1/2,1/9尺度尺度 1 3 5 7 9 相同相同 稍强稍强 强强 明显强明显强 绝对强绝对强aij=1,1/2,1/9的重要性与上面相反的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个个 用用13,15,117,1p9p(p=2,3,4,5),d+0.1d+0.9(d=1,2,3,4)等等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，算出权向量，与实际对比发现，19尺度较优。
7、尺度较优。便于定性到定量的转化：便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量第9页，本讲稿共34页一致性检验一致性检验对对A确定不一致的允许范围确定不一致的允许范围已知：已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：可证：n 阶正互反阵最大特征根阶正互反阵最大特征根 n,且且 =n时为一致阵时为一致阵定义一致性指标定义一致性指标:CI 越大，不一致越严重越大，不一致越严重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 n1 234567891110为衡量为衡量CI 的大小，引入的大小，引入随机一致性指标
8、随机一致性指标 RI随机模拟得到随机模拟得到aij,形成形成A，计算，计算CI 即得即得RI。定义一致性比率定义一致性比率 CR=CI/RI 当当CR0.1时，通过一致性检验时，通过一致性检验Saaty的结果如下的结果如下第10页，本讲稿共34页“选择旅游地选择旅游地”中中准则层对目标的权准则层对目标的权向量及一致性检验向量及一致性检验准则层对目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵最大特征根最大特征根=5.073权向量权向量(特征向量特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标一致性指标随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.12(查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0163)个顶点的双向连通竞赛图，存在正整数个顶点的双向连通竞赛图，存在正整数r，使邻接矩阵，使邻接矩阵A 满足满足Ar 0，A称素阵称素阵 素阵素阵A的最大特征根为正单的最大特征根为正单根根，对应正特征向量，对应正特征向量s，且，且排名为排名为1，2，4，3用用s排名排名1234(4)1,2,3,4?第33页，本讲稿共34页1234566支球队比赛结果支球队比赛结果排名次序为排名次序为1，3，2，5，4，6第34页，本讲稿共34页