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1、风险决策模型层次分析法第1页，本讲稿共113页Saaty.T.L等人在等人在70年代提出了一种以定性与定量相年代提出了一种以定性与定量相结结合，系合，系统统化、化、层层次化次化分析分析问题问题的方法，称的方法，称为层为层次分析法（次分析法（Analytic Hiearchy Process，简简称称AHP）。）。层层次分析法将人次分析法将人们们的思的思维过维过程程层层次化，逐次化，逐层层比比较较其其间间的相关因素的相关因素并逐并逐层检验层检验比比较结较结果是否合理，从而果是否合理，从而为为分析决策提供了分析决策提供了较较具具说说服力的定量服力的定量依据，依据，层层次分析法的提出不次分析法的提出
2、不仅为处仅为处理理这类问题这类问题提供了一种提供了一种实实用的决策方法，用的决策方法，而且也提供了一个在而且也提供了一个在处处理机理比理机理比较较模糊的模糊的问题时问题时，如何通，如何通过过科学分析，在科学分析，在系系统统全面分析机理及因果关系的基全面分析机理及因果关系的基础础上建立数学模型的范例。上建立数学模型的范例。一、一、层层次分析的基本步次分析的基本步骤骤 层层次分析次分析过过程可分程可分为为四个基本步四个基本步骤骤：（：（1）建立）建立层层次次结结构模型；（构模型；（2）构）构造出各造出各层层次中的所有判断矩次中的所有判断矩阵阵；（；（3）层层次次单单排序及一致性排序及一致性检验检验
3、；（；（4）层层次次总总排序及一致性排序及一致性检验检验。下面通下面通过过一个一个简单简单的的实实例来例来说说明各步明各步骤骤中所做的工作。中所做的工作。第2页，本讲稿共113页例例7.13 某工厂有一笔企某工厂有一笔企业业留成利留成利润润要由厂要由厂领导领导决定如何使用。可供决定如何使用。可供选择选择的方案有：的方案有：给职给职工工发奖发奖金、金、扩扩建企建企业业的福利的福利设设施（改善企施（改善企业环业环境、改善境、改善食堂等）和引食堂等）和引进进新技新技术术新新设备设备。工厂。工厂领导领导希望知道按怎希望知道按怎样样的比例来使用的比例来使用这这笔笔资资金金较为较为合理。合理。步步1 建立
4、建立层层次次结结构模型构模型在用在用层层次分析法研究次分析法研究问题时问题时，首先要根据，首先要根据问题问题的因果关系并将的因果关系并将这这些关系些关系分解成若干个分解成若干个层层次。次。较简单较简单的的问题问题通常可分解通常可分解为为目目标层标层（最高（最高层层）、准）、准则层则层（中（中间层间层）和方案措施）和方案措施层层（最低（最低层层）。与其他决策）。与其他决策问题问题一一样样，研究，研究分析者不一定是决策者，不分析者不一定是决策者，不应应自作主自作主张张地作出决策。地作出决策。对对于本例，如果分于本例，如果分析者自行决定分配比例，厂析者自行决定分配比例，厂领导领导必定会必定会询问为询
5、问为什么要按此比例分配，符什么要按此比例分配，符合决策者要求的决策来自于合决策者要求的决策来自于对对决策者意决策者意图图的真的真实实了解。了解。经过经过双方沟通，双方沟通，分析者了解到如下信息：决策者的目的是合理利用企分析者了解到如下信息：决策者的目的是合理利用企业业的留成利的留成利润润，而，而利利润润的利用是否合理，决策者的主要的利用是否合理，决策者的主要标标准准为为：（：（1）是否有利于）是否有利于调动调动企企业业职职工的工的积积极性，（极性，（2）是否有利于提高企）是否有利于提高企业业的生的生产产能力，（能力，（3）是否有利）是否有利于改善于改善职职工的工作、生活工的工作、生活环环境。分
6、析者可以提出自己的看法，但境。分析者可以提出自己的看法，但标标准的准的最最终终确定将由决策者决定。确定将由决策者决定。第3页，本讲稿共113页根据决策者的意根据决策者的意图图，可以建立起本，可以建立起本问题问题的的层层次次结结构模型如构模型如图图8.7所示。所示。合理利用企业利润调动职工积极性C1提高企业技术水平C2改善职工工作生活条件C3发奖金P1扩建福利事业P2引进新设备P3目标层O准则层C措施层P图图中的中的连线连线反映了因素反映了因素间间存在的关存在的关联联关系，哪些因素存在关关系，哪些因素存在关联联关系也关系也应应由决策者决定。由决策者决定。第4页，本讲稿共113页对对于因果关系于因
7、果关系较为较为复复杂杂的的问题问题也可以引也可以引进进更多的更多的层层次。例如，在次。例如，在选购电选购电冰冰箱箱时时，如以，如以质质量、外量、外观观、价格、品牌及信誉等、价格、品牌及信誉等为为准准则则，也，也许许在衡量在衡量质质量量优优劣劣时时又可分出若干个不同的子准又可分出若干个不同的子准则则，如制冷性能、，如制冷性能、结结霜情况、耗霜情况、耗电电量大小量大小等等。等等。建立建立层层次次结结构模型是构模型是进进行行层层次分析的基次分析的基础础，它将思，它将思维过维过程程结结构化、构化、层层次次化，化，为进为进一步分析研究一步分析研究创创造了条件。造了条件。步步2 构造判断矩构造判断矩阵阵层
8、层次次结结构反映了因素之构反映了因素之间间的关系，例如的关系，例如图图7.7中目中目标层标层利利润润利用是否合理可利用是否合理可由准由准则层则层中的各准中的各准则则反映出来。但准反映出来。但准则层则层中的各准中的各准则则在目在目标标衡量中所占的衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们们各占有一定的比例。各占有一定的比例。第5页，本讲稿共113页在确定影响某因素的在确定影响某因素的诸诸因子在因子在该该因素中所占的比重因素中所占的比重时时，遇到的主要困，遇到的主要困难难是是这这些比重常常不易定量化。些比重常常不易定量化。虽虽然你必然你必须让须让决策
9、者根据决策者根据经验经验提供提供这这些数据，但假如你提出些数据，但假如你提出“调动职调动职工工积积极性在判断利极性在判断利润润利用是否合理中利用是否合理中占百分之几的比例占百分之几的比例”之之类类的的问题问题，不，不仅仅会会让让人感到人感到难难以精确回答，而以精确回答，而且且还还会使人感到你会使人感到你书书生气十足，不能生气十足，不能胜胜任任这这一工作。此外，当影响某一工作。此外，当影响某因素的因子因素的因子较较多多时时，直接考，直接考虑虑各因子各因子对该对该因素有多大程度的影响因素有多大程度的影响时时，常常会因考常常会因考虑虑不周全、不周全、顾顾此失彼而使决策者提出与他此失彼而使决策者提出与
10、他实际认为实际认为的重要的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐组隐含矛盾的数据。含矛盾的数据。为为看看清清这这一点，可作如下一点，可作如下设设想：将一想：将一块块重重为为1千克的石千克的石块砸块砸成成n小小块块，你可，你可以精确称出它以精确称出它们们的的质质量，量，设为设为w1,wn。现现在，在，请请人估人估计这计这n小小块块的重的重量占量占总总重量的比例（不能重量的比例（不能让让他知道各小石他知道各小石块块的重量），此人不的重量），此人不仅仅很很难难给给出精确的比出精确的比值值，而且完全可能因，而且完全可能因顾顾此失彼而提供彼此矛盾的数据。此失
11、彼而提供彼此矛盾的数据。第6页，本讲稿共113页设现设现在要比在要比较较n个因子个因子X=x1,xn对对某因素某因素Z的影响大小，怎的影响大小，怎样样比比较较才才能提供可信的数据呢？能提供可信的数据呢？Saaty等人建等人建议议可以采取可以采取对对因子因子进进行两两比行两两比较较建立建立成成对对比比较较矩矩阵阵的的办办法。即每次取两个因子法。即每次取两个因子xi和和xj，以，以aij表示表示xi和和xj对对Z的影的影响大小之比，全部比响大小之比，全部比较结较结果用矩果用矩阵阵A=(aij)nn表示，称表示，称A为为ZX之之间间的成的成对对比比较较判断矩判断矩阵阵（简简称判断矩称判断矩阵阵）。容
12、易看出，若）。容易看出，若xi和和xj对对Z的影响之比的影响之比为为aij，则则xj和和xi对对Z的影响之比的影响之比应为应为 。定定义义 7.4 若矩若矩阵阵A=(aij)nn满满足足（i）aij 0，（ii）（i,j=1,2,n），），则则称之称之为为正互反矩正互反矩阵阵（易（易见见aii=1,i=1,n）。）。关于如何确定关于如何确定aij的的值值，Saaty等建等建议议引用数字引用数字19及其倒数作及其倒数作为标为标度。他度。他们们认为认为，人，人们们在成在成对对比比较较差差别时别时，用，用5种判断种判断级较为级较为合适。即使用相等、合适。即使用相等、较较强强、强强、很、很强强、绝对绝
13、对地地强强表示差表示差别别程度，程度，aij相相应应地取地取1,3,5,7和和9。在成。在成对对事物的差事物的差别别介于两者之介于两者之间难间难以定以定夺时夺时，aij可分可分别别取取值值2、4、6、8。第7页，本讲稿共113页从心理学从心理学观观点来看，分点来看，分级级太多会超越人太多会超越人们们的判断能力，既增加了作判断的判断能力，既增加了作判断的的难难度，又容易因此而提供虚假数据。度，又容易因此而提供虚假数据。Saaty等人等人还还用用实验实验方法比方法比较较了在了在各种不同各种不同标标度下人度下人们们判断判断结结果的正确性，果的正确性，实验结实验结果也表明，采用果也表明，采用19标标度
14、度最最为为合适。合适。如果在构造成如果在构造成对对比比较较判断矩判断矩阵时阵时，确，确实实感到感到仅仅用用19及其倒数及其倒数还还不不够够理想理想时时，可以根据情况再采用因子分解聚，可以根据情况再采用因子分解聚类类的方法，先比的方法，先比较类较类，再比，再比较较每一每一类类中的元素。中的元素。步步3 层层次次单单排序及一致性排序及一致性检验检验上述构造成上述构造成对对比比较较判断矩判断矩阵阵的的办办法法虽虽能减少其他因素的干能减少其他因素的干扰扰影响，影响，较较客客观观地反映出一地反映出一对对因子影响力的差因子影响力的差别别。但。但综综合全部比合全部比较结较结果果时时，其中，其中难难免免包含一
15、定程度的非一致性。如果比包含一定程度的非一致性。如果比较结较结果是前后完全一致的，果是前后完全一致的，则则矩矩阵阵A的元素的元素还应还应当当满满足：足：i、j、k=1,2,n 第8页，本讲稿共113页定定义义7.5 满满足（足（7.5）关系式的正互反矩）关系式的正互反矩阵阵称称为为一致矩一致矩阵阵。如前所述，如果判断者前后完全一致，则构造出的成对比较判断矩阵应当是一个一致矩阵。但构造成对比较判断矩阵A共计要作次比较（设有n个因素要两两比较），保证A是正互反矩阵是较容易办到的，但要求所有比较结果严格满足一致性，在n较大时几乎可以说是无法办到的，其中多少带有一定程度的非一致性。更何况比较时采用了1
16、9标度，已经接受了一定程度的误差，就不应再要求最终判断矩阵的严格一致性。如何检验构造出来的（正互反）判断矩阵A是否严重地非一致，以便确定是否接受A，并用它作为进一步分析研究的工具？Saaty等人在研究正互反矩阵和一致矩阵性质的基础上，找到了解决这一困难的办法，给出了确定矩阵A中的非一致性是否可以允忍的检验方法。第9页，本讲稿共113页定理定理7.7 正互反矩正互反矩阵阵A的最大特征根的最大特征根max必必为为正正实实数，其数，其对应对应特征向量的所特征向量的所有分量均有分量均为为正正实实数。数。A的其余特征根的模均的其余特征根的模均严严格小于格小于max。（。（证证明从略）明从略）现现在来考察
17、一致矩在来考察一致矩阵阵A的性的性质质，回复到将，回复到将单单位重量的大石位重量的大石块块剖分成重量剖分成重量为为 1,n的的n块块小石小石块块的例子，如果判断者的判断的例子，如果判断者的判断结结果完全一致，果完全一致，则则构构造出来的一致矩造出来的一致矩阵为阵为容易看出，一致矩容易看出，一致矩阵阵A具有以下性具有以下性质质：第10页，本讲稿共113页定理定理7.87.8 若若A A为为一致矩一致矩阵阵，则则（1）A必必为为正互反矩正互反矩阵阵。（2）A的的转转置矩置矩阵阵AT也是一致矩也是一致矩阵阵。（3）A的任意两行成比例，比例因子（即的任意两行成比例，比例因子（即wi/wj）大于零，从）
18、大于零，从而而rank（A）=1（同（同样样，A的任意两列也成比例）。的任意两列也成比例）。（4）A的最大特征根的最大特征根max=n，其中，其中n为为矩矩阵阵A的的阶阶。A的其余特征的其余特征根均根均为为零。零。（5）若）若A的最大特征根的最大特征根max对应对应的特征向量的特征向量为为W=（w1,wn）I，则则aij=wi/wj，i,j=1,2,n。（注：（注：（1 1）、（）、（2 2）可由一致矩阵定义得出，（）可由一致矩阵定义得出，（3 3）（5 5）均容易由）均容易由线性代数知识得到，证明从略）。线性代数知识得到，证明从略）。第11页，本讲稿共113页定理定理7.9 n阶阶正互反矩正
19、互反矩阵阵A为为一致矩一致矩阵阵当且当且仅仅当其最大特征根当其最大特征根 max=n，且当正互反矩，且当正互反矩阵阵A非一致非一致时时，必有，必有maxn。证证明：明：设设正互反矩正互反矩阵阵A的最大特征根的最大特征根为为max，对应对应的特征向量的特征向量为为W=（w1,wn）T。由定理，由定理，max0且且wi 0，i=1，n。又由特征根和特征向量。又由特征根和特征向量的性的性质质知，知，AW=max W,故 ,i=1,n (7.7)（8.7）式两）式两边边同除同除wi且关于且关于i从从1到到n相加，得到相加，得到即即（8.8）式的括号内共有 项。（7.8）第12页，本讲稿共113页现证现
20、证明必要性，由一致矩明必要性，由一致矩阵阵性性质质（5），有），有 ，故由（故由（7.8）式，得）式，得max=n。再再证证明充分性。由于明充分性。由于(7.9)当且当且仅仅当当 =1（即（即 ）时时（7.9）式中的等号成立，）式中的等号成立，故由（故由（7.8）式）式max=n。因而当。因而当max=n时时必有必有 =1，于是于是aijajk=aik i,j,k=1,2,n成立，成立，A为为一致矩一致矩阵阵。当当A非一致矩非一致矩阵时阵时，（，（7.9）式中的等号不能）式中的等号不能对对一切一切i，j成立，从而必有成立，从而必有maxn。第13页，本讲稿共113页根据定理根据定理7.9，我，
21、我们们可以由可以由max是否等于是否等于n来来检验检验判断矩判断矩阵阵A是否是否为为一致一致矩矩阵阵。由于特征根。由于特征根连续连续地依地依赖赖于于aij，故，故max比比n大得越多，大得越多，A的非一致的非一致性程度也就越性程度也就越为严为严重，重，max对应对应的的标标准化特征向量也就越不能真准化特征向量也就越不能真实实地反地反映出映出X=x1,xn在在对对因素因素Z的影响中所占的比重。因此，的影响中所占的比重。因此，对对决策者提决策者提供的判断矩供的判断矩阵阵有必要作一次一致性有必要作一次一致性检验检验，以决定是否能接受它。，以决定是否能接受它。为为确定多大程度的非一致性是可以允忍的，确
22、定多大程度的非一致性是可以允忍的，Saaty等人采用了如下等人采用了如下办办法：法：（1）求出 ，称CI为A的一致性指标。容易看出，当且容易看出，当且仅仅当当A为为一致矩一致矩阵时阵时，CI=0。CI的的值值越大，越大，A的非一的非一致性越致性越严严重。利用重。利用线线性代数知性代数知识识可以可以证证明，明，A的的n个特征根之和等于其个特征根之和等于其对对角角线线元素之和（即元素之和（即n）故）故CI事事实实上是上是A的除的除max以外其余以外其余n1个特征个特征根的平均根的平均值值的的绝对值绝对值。若。若A是一致矩是一致矩阵阵，其余，其余n1个特征根均个特征根均为为零，故零，故CI=0；否；
23、否则则，CI0，其，其值值随随A非一致性程度的加重而非一致性程度的加重而连续连续地增大。当地增大。当CI略大于零略大于零时时（对应对应地，地，max稍大于稍大于n），），A具有具有较为满较为满意的一致性；否意的一致性；否则则，A的一致性就的一致性就较较差。差。第14页，本讲稿共113页（2）上面定）上面定义义的的CI值虽值虽然能反映出非一致性的然能反映出非一致性的严严重程度，但仍未能指明重程度，但仍未能指明该该非一致性是否非一致性是否应应当被当被认为认为是可以允是可以允许许的。事的。事实实上，我上，我们还们还需要一个度量需要一个度量标标准。准。为为此，此，Saaty等人又研究了他等人又研究了他
24、们认为们认为最不一致的矩最不一致的矩阵阵用从用从19及及其倒数中随机抽取的数字构造的正互反矩其倒数中随机抽取的数字构造的正互反矩阵阵，取充分大的子，取充分大的子样样，求得最大，求得最大特征根的平均特征根的平均值值 ，并定并定义义称称RI为为平均随机一致性指平均随机一致性指标标。对对n=1,11,，Saaty给给出了出了RI的的值值，如表，如表7.10所示。所示。表表7.10N1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51第15页，本讲稿共113页（3）将）将CI与与RI作比作比较较，定，定义义称称CR随机一致性比率。随机一致性比率。经
25、经大量大量实实例比例比较较，Saaty认为认为，在，在CR0.10时时可以可以认为认为判断矩判断矩阵阵具有具有较为满较为满意的一致性，否意的一致性，否则则就就应应当重新当重新调调整判断矩整判断矩阵阵，直至具有直至具有满满意的一致性意的一致性为为止。止。综综上所述，在步上所述，在步3中中应应先求出先求出A的最大特征的最大特征根根max及及max对应对应的特征向量的特征向量W=（w1,wn）T，进进行行标标准化，准化，使得使得 。再再对对A作一致性作一致性检验检验：计计算算 ，查查表得到表得到对应对应于于n的的RI值值，求，求 ，若若CR0.1，则则一致性一致性较为满较为满意，以意，以 i作作为为
26、因子因子xi在上在上层层因子因子Z中所具有中所具有的的权值权值。否。否则则必需重新作比必需重新作比较较，修正，修正A中的元素。只有在一致性中的元素。只有在一致性较为满较为满意意时时，W的分量才可用作的分量才可用作层层次次单单排序的排序的权权重。重。第16页，本讲稿共113页现对现对本本节节例例7.13（即合理利用利（即合理利用利润问题润问题的例子）的例子）进进行行层层次次单单排序。排序。为为求出求出C1、C2、C3在目在目标层标层A中所占的中所占的权值权值，构造，构造OC层层的成的成对对比比较较矩矩阵阵，设设构造出的成构造出的成对对比比较较判断知判断知阵阵A=311153C1C2C3C1 C2
27、 C30于是于是经计经计算，算，A的最大特征根的最大特征根max=3.038，CI=0.019，查查表得表得RI=0.58，故，故CR=0.033。因。因CR0.1，接受矩，接受矩阵阵A，求出，求出A对应对应于于max的的标标准化准化特征向量特征向量W=(0.105,0.637，0.258)T，以，以W的分量作的分量作为为C1、C2、C3在在目目标标O中所占的中所占的权权重。重。第17页，本讲稿共113页类类似求措施似求措施层层中的中的P1、P2在在C1中的中的权值权值，P2、P3在在 C2中的中的权值权值及及P1、P2在在C1中的中的权值权值：1P231P1P2P1C113max=2，CI=
28、CR=0W=(0.75,0.25)T15P31P2P3P2C215max=2，CI=CR=0W=(0.167,0.833)T1P221P1P2P1C312max=2，CI=CR=0W=(0.66,0.333)T第18页，本讲稿共113页经层次单排序，得到图经层次单排序，得到图7.8。合理利用企业利润调动职工积极性C1提高企业技术水平C2改善职工工作生活条件C3发奖金P1扩建福利事业P2引进新设备P3目标层O准则层C措施层P0.1050.6370.2580.750.250.1670.8330.6670.3332第19页，本讲稿共113页设设上一上一层层次（次（A层层）包含）包含A1,Am共共m个
29、因素，它个因素，它们们的的层层次次总总排序排序权值权值分分别为别为a1,am。又。又设设其后的下一其后的下一层层次（次（B层层）包含）包含n个因素个因素B1,Bn，它，它们们关于关于Aj的的层层次次单单排序排序权值权值分分别为别为b1j,bnj（当（当Bi与与Aj无关无关联联系系时时，bij=0）。）。现现求求B层层中各因素关于中各因素关于总总目目标标的的权值权值，即求，即求B层层各因素的各因素的层层次次总总排排序序权值权值b1,bn，计计算按表算按表7.11所示方式所示方式进进行行,即即 ，i=1,n。表表7.11bn mbn2bn1BnB2 mb22b21B2B1mb12b11B1B层总排
30、序权值Ama m A2a 2A1a1层A层B步步4 层次总排序及一致性检验层次总排序及一致性检验最后，在步骤（最后，在步骤（4）中将由最高层到最低层，逐层计算各层次中的诸因）中将由最高层到最低层，逐层计算各层次中的诸因素关于总目标（最高层）的相对重要性权值。素关于总目标（最高层）的相对重要性权值。第20页，本讲稿共113页例如，例如，对对于前面考察的工厂合理利用留成利于前面考察的工厂合理利用留成利润润的例子，措施的例子，措施层层层层次次单单排排序序权值权值的的计计算如表算如表7.12所示。所示。层C层PC1C2C3层P的总排序权值0.1050.6370.258P10.7500.6670.251
31、P20.250.1670.3330.218P300.83300.531对层对层次次总总排序也需作一致性排序也需作一致性检验检验，检验检验仍象仍象层层次次总总排序那排序那样样由高由高层层到低到低层层逐逐层进层进行。行。这这是因是因为虽为虽然各然各层层次均已次均已经过层经过层次次单单排序的一致性排序的一致性检验检验，各成各成对对比比较较判断矩判断矩阵阵都已具有都已具有较为满较为满意的一致性。但当意的一致性。但当综综合考察合考察时时，各，各层层次的非一致性仍有可能次的非一致性仍有可能积积累起来，引起最累起来，引起最终终分析分析结结果果较严较严重的非一致重的非一致性。性。第21页，本讲稿共113页设设
32、B层层中与中与Aj相关的因素的成相关的因素的成对对比比较较判断矩判断矩阵阵在在单单排序中排序中经经一致性一致性检验检验，求得求得单单排序一致性指排序一致性指标为标为CI(j)，(j=1,m)，相，相应应的平均随机一致性指的平均随机一致性指标标为为RI(j)(CI(j)、RI(j)已在已在层层次次单单排序排序时时求得求得)，则则B层总层总排序随机一致性比排序随机一致性比率率为为CR=当当CR0，k=0。（步（步2）迭代计算）迭代计算 ，k=0,1,。若若 ，i=1,n，则取则取W=为为A的对应于的对应于max的特征向量的近似，的特征向量的近似，否则转步否则转步2。（步3）将 标准化，即求 其中
33、为 的第i个分量。第26页，本讲稿共113页（步（步4）求）求max的近似的近似值值对前面例子中的对前面例子中的OC判断矩阵，判断矩阵，若取若取 ，=0.001，利用幂法求近似特征向量如下：，利用幂法求近似特征向量如下：（第一次迭代）(0)=(0.511,3,1.444)T，=4.955，求得W(1)=(0.103,0.605,2.91)T（第二次迭代）(2)=(0.321,1.993,0.802)T，=3.116，求得W(2)=(0.103,0.639,0.257)T第27页，本讲稿共113页（第三次迭代）(3)=(0.316,1.925,0.779)T，=3.02，求得W(3)=(0.10
34、5,0.637,0.258)T（第四次迭代）(4)=(0.318,1.936,0.785)T，=3.04，求得W(4)=(0.105,0.637,0.258)T因 ，取W=W(4)。进而，可求得 。3、和积法、和积法（步（步1）将判断矩阵）将判断矩阵A的每一列标准化，即令的每一列标准化，即令 ,i,j=1,n令 。第28页，本讲稿共113页（步（步2）将）将 中元素按行相加得到向量中元素按行相加得到向量 ，其分量，其分量 ，i=1,n。（步3）将 标准化，得到W，即，i=1,nW即为即为A的（对应于的（对应于max的）近似特征向量。的）近似特征向量。（步4）求最大特征根近似值 。第29页，本讲
35、稿共113页仍以前面例子中的仍以前面例子中的OC判断矩阵为例：判断矩阵为例：按列标准化 标准化，以上近似方法计算都很简单，计算结果与实际值相差很小，且以上近似方法计算都很简单，计算结果与实际值相差很小，且A的非一的非一致性越弱相差越小，而当致性越弱相差越小，而当A为一致矩阵时两者完全相同。为一致矩阵时两者完全相同。按行相加第30页，本讲稿共113页三、层次分析法应用举例三、层次分析法应用举例在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个：（在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个：（1）如何）如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构；（根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构；（2）如何
36、将某些定性的量）如何将某些定性的量作比较接近实际的定量化处理。层次分析法对人们的思维过程进行了作比较接近实际的定量化处理。层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力的依据。但层次分析法也有其局限性，主要表现在：了较有说服力的依据。但层次分析法也有其局限性，主要表现在：（1）它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至）它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性（即矛盾性），却无法排除决多只能排除思维过程中的严重非一
37、致性（即矛盾性），却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性。（策者个人可能存在的严重片面性。（2）比较、判断过程较为粗糙，不）比较、判断过程较为粗糙，不能用于精度要求较高的决策问题。能用于精度要求较高的决策问题。AHP至多只能算是一种半定量（或至多只能算是一种半定量（或定性与定量结合）的方法，如何用更科学、更精确的方法来研究问题定性与定量结合）的方法，如何用更科学、更精确的方法来研究问题并作出决策，还有待于进一步的探讨研究。并作出决策，还有待于进一步的探讨研究。在应用层次分析法时，建立层次结构模型是十分关键的一步。现再在应用层次分析法时，建立层次结构模型是十分关键的一步。现再分析若干实例，以便
38、说明如何从实际问题中抽象出相应的层次结构。分析若干实例，以便说明如何从实际问题中抽象出相应的层次结构。第31页，本讲稿共113页例例7.14 招聘工作人员招聘工作人员某单位拟从应试者中挑选外销工作人员若干名，根据工作需要，单位领某单位拟从应试者中挑选外销工作人员若干名，根据工作需要，单位领导认为招聘来的人员应具备某些必要的素质，由此建立层次结构如图导认为招聘来的人员应具备某些必要的素质，由此建立层次结构如图7.9所示。所示。招聘人员综合情况知识能力外表经济知识外语知识法律知识组织能力公关能力计算机操作气质身高体形C层B层A层0.250.50.25B1B2B30.1860.7370.0770.3
39、330.3330.3330.7380.1680.094C1C2C3C4C5C6C7C8C9第32页，本讲稿共113页该单位领导认为，作为外销工作人员，知识面与外观形象同样重要，而该单位领导认为，作为外销工作人员，知识面与外观形象同样重要，而在能力方面则应有稍强一些的要求。根据以上看法，建立在能力方面则应有稍强一些的要求。根据以上看法，建立AB层成对层成对比较判断矩阵比较判断矩阵 求得求得max=3，CR=0。1211121B1B2B3B3B2B1A第33页，本讲稿共113页类类似建立似建立BC层层之之间间的三个成的三个成对对比比较较矩矩阵阵:注：注：权权系数是根据后面的系数是根据后面的计计算添
40、加上去的算添加上去的 1C3815C231C1C3C2C1B1111C6111C5111C4C6C5C4B21C921C8751C7C9C8C7B3W=(0.186,0.737,0.077)T =3.047,CR=0.08W=(,)TW=(0.738,0.168,0.094)T =3.017,CR=0.08第34页，本讲稿共113页经层经层次次总总排序，可求得排序，可求得C层层中各因子中各因子Ci在在总总目目标标中的中的权权重分重分别为别为：0.047,0.184,0.019，0.167,0.167,0.167,0.184,0.042,0.024 招聘工作可如下进行，根据应试者的履历、笔试与面
41、试情况，对他们的招聘工作可如下进行，根据应试者的履历、笔试与面试情况，对他们的九项指标作九项指标作19级评分。设其得分为级评分。设其得分为X=(x1,x9)T，用公式，用公式y=0.047x1+0.184x2+0.019x3+0.167(x4+x5+x6)+0.184x7+0.042x8+0.024x9 计算总得分，以计算总得分，以y作为应试者的综合指标，按高到低顺序录用。作为应试者的综合指标，按高到低顺序录用。第35页，本讲稿共113页例例7.15 （挑选合适的工作）经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某（挑选合适的工作）经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某毕业生。该生根据已有信息建立了一
42、个层次结构模型，如图毕业生。该生根据已有信息建立了一个层次结构模型，如图8.10所示所示。工作满意程度研究课题发展前途待遇同事情况地理位置单位名气工作1工作2工作3目标层A准则层B方案层CB1B2B3B4B5B6C1C2C3第36页，本讲稿共113页该生经冷静思考、反复比较，建立了各层次的成对比较矩阵：该生经冷静思考、反复比较，建立了各层次的成对比较矩阵：133222B611311B51B43511B314211B214111B1B6B5B4B3B2B1A第37页，本讲稿共113页由于比较因素较多，此成对比较矩阵甚至不是正互反矩阵。由于比较因素较多，此成对比较矩阵甚至不是正互反矩阵。（方案（方
43、案层层）12C3314C21C1C3C2C1B1125C314C21C1C3C2C1B211C311C231C1C3C2C1B3第38页，本讲稿共113页(层层次次总总排序排序)如表如表7.13所示。所示。表表7.13准则研究课题发展前途待遇同事情况地理位置单位名气总排序权值准则层权值0.160.190.190.050.120.30方案层工作10.140.100.320.280.470.770.40单排序工作20.620.330.220.650.470.170.34权值工作30.240.570.460.070.070.060.26根据层次总排序权值，该生最满意的工作为工作根据层次总排序权值，该
44、生最满意的工作为工作1。（由于篇幅限。（由于篇幅限止，本例省略了一致性检验）止，本例省略了一致性检验）第39页，本讲稿共113页例例7.16 作品作品评评比。比。电影或文学作品评奖时，根据有关部门规定，评判标准有教育性、艺术电影或文学作品评奖时，根据有关部门规定，评判标准有教育性、艺术性和娱乐性，设其间建立的成对比较矩阵为性和娱乐性，设其间建立的成对比较矩阵为由此可求得由此可求得W=(0.158,0.187,0.656)T，CR=0.048(EV1,EV2 EV3，所以，剪掉状态结点V1和V3所对应的方案分枝，保留状态结点V2所对应的方案分枝。即该问题的最优决策方案应该是从国外引进生产线。第7
45、2页，本讲稿共113页例4:某企业，由于生产工艺较落后，产品成本高，在价格保持中等水平的情况下无利可图，在价格低落时就要亏损，只有在价格较高时才能盈利。鉴于这种情况，企业管理者有意改进其生产工艺，即用新的工艺代替原来旧的生产工艺。现在，取得新的生产工艺有两种途径：一是自行研制，但其成功的概率是0.6；二是购买专利，估计谈判成功的概率是0.8。第73页，本讲稿共113页 如果自行研制成功或者谈判成功，生产规模都将考虑两种方案：一是产量不变；二是增加产量。如果自行研制或谈判都失败，则仍采用原工艺进行生产，并保持原生产规模不变。据市场预测，该企业的产品今后跌价的概率是0.1，价格保持中等水平的概率是
46、0.5，涨价的概率是0.4。表9.2.3给出了各方案在不同价格状态下的效益值。试问，对于这一问题，该企业应该如何决策？第74页，本讲稿共113页解：这个问题是一个典型的多级（二级）风险型决策问题，下面仍然用树型决策法解决该问题。(1)画出决策树（图9.2.3）。表9.2.3 某企业各种生产方案下的效益值(单位：万元)方案效益价格状态（概率）第75页，本讲稿共113页第76页，本讲稿共113页 (2)计算期望效益值，并进行剪枝：状态结点V7的期望效益值为 EV7(-200)0.1+500.5+1500.465（万元）状态结点V8的期望效益值为 EV8(-300)0.1+500.5+2500.49
47、5（万元）由于EV8EV7，所以，剪掉状态结点V7对应的方案分枝，并将EV8的数据填入决策点V4，即令EV4EV895（万元）。第77页，本讲稿共113页 状态结点V3的期望效益值为 EV3(-100)0.1+00.5+1000.430（万元）。所以，状态结点V1的期望效益值为 EV1=300.2+950.8=82(万元)。第78页，本讲稿共113页 状态结点V9的期望效益值为 EV9(-200)0.1+00.5+2000.460（万元）；状态结点V10的期望效益值为 EV10(-300)0.1+(-250)0.5+6000.485（万元）。由于EV10EV9，所以，剪掉状态结点V9对应的方案
48、分枝，将EV10的数据填入决策点V5。即令EV5EV1085（万元）。第79页，本讲稿共113页状态结点V6的期望效益值为 EV6(-100)0.1+00.5+1000.430（万元），所以，状态结点V2期望效益值为 EV2=300.4+850.6=63(万元)。第80页，本讲稿共113页 由于EV1EV2,所以，剪掉状态结点V2对应的方案分枝将EV1的数据填入决策点EV，即令 EVEV182（万元）。综合以上期望效益值计算与剪枝过程可知，该问题的决策方案应该是：首先采用购买专利方案进行工艺改造，当购买专利改造工艺成功后，再采用扩大生产规模（即增加产量）方案进行生产。第81页，本讲稿共113页
49、问题问题 某邮局要求当天收寄的包裹当天处理完毕。根据以往统计记录，每天收寄包裹的情况见表收寄包裹数（个）41505160617071808190占的比例10%15%30%25%20%收寄包裹情况表已知每个邮局职工平均每小时处理4个包裹，每小时工资为5元，规定每人每天实际工作7小时。如加班工作，每小时工资额增加50%，但加班时间每人每天不得超过5小时（加班时间以小时计，不足1小时按1小时计算）。试确定该邮局最优雇佣工人的数量。第82页，本讲稿共113页假设假设 设d1 表示方案“雇佣2个工人”；d2 表示方案“雇佣3个工人”。表示收寄的包裹数位于区间 建模建模 因为每人每天最多处理的包裹数量为
50、（个)正常处理包裹数为47=28（个），而每天需要处理的包裹数最多为90个。故我们只考虑两个方案d1，d2。将在不同状态不同方案下，邮局支付工人的工资数列成下表第83页，本讲稿共113页支付工资方案状态概率状态概率状态概率支付工资方案支付工资方案第84页，本讲稿共113页求解求解 根据期望值准则，若雇佣两个工人，则邮局的平均支付工资为E(d1)=0.1070+0.1577.5+0.30100+0.25115+0.20137.5=104.875（元）若雇佣三个工人，则邮局的平均支付工资为E(d2)=0.10105+0.15105+0.30105+0.25105+0.20120=108（元）因为E