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1、关于线性空间的维数基与坐标第一张，PPT共十二页，创作于2022年6月 定义定义:在线性空间在线性空间V中中,如果存在如果存在n个元素个元素 1,2,n V,满足满足:(1)1,2,n 线性无关线性无关;(2)V中任意元素中任意元素 总可以由总可以由 1,2,n线性表示线性表示,则称则称 1,2,n为线性空间为线性空间V的一个的一个基基,称称n为线性空间为线性空间V的的维数维数.当一个线性空间当一个线性空间V中存在任意多个线性无关的向量时中存在任意多个线性无关的向量时,就就称称V是是无限维的无限维的.维数为维数为n的线性空间的线性空间V称为称为n维线性空间维线性空间,记作记作Vn.若若 1,2
2、,n为为Vn的一个基的一个基,则则Vn可表示为可表示为:Vn=x1 1+x2 2+xn n|x1,x2,xn R 第二张，PPT共十二页，创作于2022年6月二、元素在给定基下的坐标二、元素在给定基下的坐标 定义定义:设设 1,2,n为线性空间为线性空间Vn的一个基的一个基,对任意对任意 V,总有且仅有一组有序数总有且仅有一组有序数x1,x2,xn,使使 =x1 1+x2 2+xn n,则称有序数组则称有序数组 x1,x2,xn 为为元素元素 在基在基 1,2,n下的下的坐标坐标,并记作并记作 =(x1,x2,xn)T.例例1:在线性空间在线性空间Px4中中,p0=1,p1=x,p2=x2,p
3、3=x3,p4=x4 就是就是Px4的一个基的一个基.任意不超过任意不超过4次的多项式次的多项式:p(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4 Px4,都可表示为都可表示为p(x)=a0 p0+a1p1+a2p2+a3p3+a4p4因此因此,p(x)在这个基在这个基1,x,x2,x3,x4下的坐标为下的坐标为p(x)=(a0,a1,a2,a3,a4)T.第三张，PPT共十二页，创作于2022年6月 注意注意:线性空间线性空间V的任一元素的任一元素在一个基下对应的坐标是唯在一个基下对应的坐标是唯一的一的,在不同的基下所对应的坐标一般不同在不同的基下所对应的坐标一般不同.若取另一个基若取另
4、一个基:q0=1,q1=1+x,q2=2x2,q3=x3,q4=x4,则则因此因此,p(x)在这个基下的坐标为在这个基下的坐标为 例例2:所有二阶实矩阵组成的集合所有二阶实矩阵组成的集合R2 2,对于矩阵的加法对于矩阵的加法和数量乘法和数量乘法,构成实数域构成实数域R上的一个线性空间上的一个线性空间.对于对于R2 2中中的矩阵的矩阵第四张，PPT共十二页，创作于2022年6月k1E11+k2E12+k3E21+k4E22=因此因此,有有k1E11+k2E12+k3E21+k4E22=O设设而而k1=k2=k3=k4=0.即即,E11,E12,E21,E22线性无关线性无关.对任意实二阶矩阵对任
5、意实二阶矩阵有有A=a11E11+a12E12+a21E21+a22E22.所以所以,E11,E12,E21,E22为为V的一个基的一个基.而而A在基在基E11,E12,E21,E22下的坐标为下的坐标为:A=(a11,a12,a21,a22)T.第五张，PPT共十二页，创作于2022年6月例例3:在线性空间在线性空间Pxn中中,取一组基取一组基:0=1,1=(xa),2=(xa)2,n=(xa)n.则由泰勒公式知则由泰勒公式知,对任意不超过对任意不超过n次的多项式次的多项式 f(x)都有都有:因此因此,f(x)Pxn在基在基 0,1,2,n下的坐标为下的坐标为:三、线性空间的同构三、线性空间
6、的同构 设设 1,2,n是是n维线性空间维线性空间Vn的一组基的一组基,在这组基在这组基下下,Vn中的每个向量都有唯一确定的坐标中的每个向量都有唯一确定的坐标.而向量在这组基而向量在这组基下的坐标下的坐标,可以看作可以看作Rn中的元素中的元素,因此向量与它的坐标之因此向量与它的坐标之间的对应关系间的对应关系,就是就是Vn到到Rn的一个的一个映射映射.第六张，PPT共十二页，创作于2022年6月 由于由于Rn中的每个元素都有中的每个元素都有Vn中的向量与之对应中的向量与之对应,同时同时Vn中不同向量的坐标不同中不同向量的坐标不同,因而对应因而对应Rn中的不同元素中的不同元素.我们我们称这样的映射
7、是称这样的映射是Vn与与Rn的一个的一个一一对应的映射一一对应的映射,这个对应的这个对应的重要性表现在它与运算的关系上重要性表现在它与运算的关系上.设设 =a1 1+a2 2+an n =b1 1+b2 2+bn n 即即,向量向量,Vn在基在基 1,2,n下的坐标分别为下的坐标分别为:=(a1,a2,an)T,=(b1,b2,bn)T,则则 +=(a1+b1)1+(a1+b1)2+(a1+b1)n k =ka1 1+ka2 2+kan n 于是于是 +与与 k 的坐标分别为的坐标分别为:(a1+b1,a2+b2,an+bn)=(a1,a2,an)T+(b1,b2,bn)T,(k a1,k a
8、2,k an)T=k(a1,a2,an)T.第七张，PPT共十二页，创作于2022年6月 上式表明上式表明:在向量用坐标表示后在向量用坐标表示后,它们的运算就归结它们的运算就归结为坐标的运算为坐标的运算,因而对线性空间因而对线性空间Vn的讨论就归结为线性空间的讨论就归结为线性空间Rn的讨论的讨论.下面更确切地说明这一点下面更确切地说明这一点 定义定义:设设U,V是两个线性空间是两个线性空间,如果它们的元素之间有如果它们的元素之间有一一对应关系一一对应关系,且这个对应关系保持线性组合的对应且这个对应关系保持线性组合的对应,那末那末就称线性空间就称线性空间U与与V 同构同构.例如例如:n维线性空间
9、维线性空间 Vn=x1 1+x2 2+xn n|x1,x2,xn R 与与n维数组向量空间维数组向量空间Rn同构同构.(1)Vn中的元素中的元素 与与Rn中的元素中的元素 x=(x1,x2,xn)T形成形成一一对应关系一一对应关系:因为因为,第八张，PPT共十二页，创作于2022年6月Vn:=x1 1+x2 2+xn n Rn:x=(x1,x2,xn)T(2)设设 (a1,a2,an)T,(b1,b2,bn)T,+(a1,a2,an)T+(b1,b2,bn)T,k k(a1,a2,an)T.则有则有结论结论:1.同一数域同一数域P上的同维数线性空间都同构上的同维数线性空间都同构;2.同构的线性
10、空间之间具有同构的线性空间之间具有等价性等价性(即自反性即自反性,对称性与对称性与传递性传递性).第九张，PPT共十二页，创作于2022年6月同构的意义同构的意义:在对抽象线性空间的讨论中在对抽象线性空间的讨论中,无论构成线性空间的元素无论构成线性空间的元素是什么是什么,其中的运算是如何定义的其中的运算是如何定义的,我们所关心的只是这些我们所关心的只是这些运算的代数运算的代数(线性运算线性运算)性质性质.从这个意义上可以说从这个意义上可以说,同构的线同构的线性空间是可以不加区别的性空间是可以不加区别的,而有限维线性空间唯一本质的特征而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数就是它的维数.四、小
11、结四、小结 1.线性空间的线性空间的基基与与维数维数.2.线性空间的线性空间的元素在给定基下的坐标元素在给定基下的坐标:(1)把抽象的向量与具体的把抽象的向量与具体的数组向量数组向量联系起来联系起来;(2)把抽象的线性运算与数组向量的线性运算联系起来把抽象的线性运算与数组向量的线性运算联系起来.3.线性空间的线性空间的同构同构.第十张，PPT共十二页，创作于2022年6月思考题解答思考题解答令令 k1 f1(x)+k2 f2(x)+k2 f3(x)+k4 f4(x)=0,因此因此则得则得:(k1+2k2+k3+2k4)x3+(2k1 3k2 5k4)x2+(4k1+9k2+6k3+7k4)x+(k1k2 5k3+5k4)=0.思考题思考题求由求由Px3中的元素中的元素:笔记：笔记：Px3同构于同构于R3，f1相当于向量（相当于向量（1，-2，4，1）T。f1(x)=x32x2+4x+1,f2(x)=2x33x2+9x1,f3(x)=x3+6x 5,f4(x)=2x35x2+7x+5 生成的子空间的基与维数生成的子空间的基与维数.第十一张，PPT共十二页，创作于2022年6月感谢大家观看第十二张，PPT共十二页，创作于2022年6月