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1、统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A第第6 6章章线性空间与线性变换线性空间与线性变换统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A线性空间是线性代数最基本的概念之一线性空间是线性代数最基本的概念之一,它它线性空间是为了解决实际问题而引入的线性空间是为了解决实际问题而引入的,它它一、线性空间的一、线性空间的定义定义是向量空间概念的推广是向量空间概念的推广是某一类事物从量的方面的一个抽象是某一类事物从量的方面的一个抽象,即把实际即把实际
2、问题看作问题看作线性线性空间空间,进而通过研究进而通过研究线性线性空间来解空间来解决实际问题决实际问题1 线性空间的线性空间的概念概念统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A个元素个元素 与之对应与之对应,称为称为 与与 的和的和,记作记作记作记作若对于任一数若对于任一数 与任一元素与任一元素 ,总有唯总有唯一一的一个元素的一个元素 与之对应与之对应,称为称为数数 与与 的积的积,定义定义 1 设设 是一个非空集合是一个非空集合,为一数域为一数域，如果对于任意两个元素如果对于任意两个元素 ,总有唯一的一总有唯一的
3、一统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A如果上述两种运算满足以下八条运算规律如果上述两种运算满足以下八条运算规律(设设)：,)4 4(使使的的负元素负元素都有都有对任何对任何,)3 3(都有都有对任何对任何中存在中存在零元素零元素在在V统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A那么那么,就称为数域就称为数域 上的上的线性空间线性空间(或向量或向量空空间间),),中的元素称为中的元素称为向量向量(或元或元).).统计软件分析与应用6.
4、1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A2.向量空间中的向量不一定是有序数组向量空间中的向量不一定是有序数组3.一个集合一个集合,对于定义的加法和数乘运算不封对于定义的加法和数乘运算不封说明说明1.能满足以上八条规律的加法及数乘能满足以上八条规律的加法及数乘运运算算,称为称为线性运算线性运算闭闭,或者运算不满足或者运算不满足以上八条规律中的任一条以上八条规律中的任一条,则则此此集合就不能构成集合就不能构成线性空间线性空间.统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代
5、数数 A (1)(1)一个集合一个集合,如果定义的加法和数乘运算如果定义的加法和数乘运算 例例 实数域上的全体实数域上的全体 矩阵矩阵,对矩阵对矩阵记作记作 线性空间的判定方法线性空间的判定方法是通常的实数间的加乘运算是通常的实数间的加乘运算,则只需检验对则只需检验对运算运算的封闭性的封闭性的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间,统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A种运种运算满足线性运算规律且算满足线性运算规律且向向量空间量空间.对于通常的多项式加法和对于通常的多项式加法
6、和数乘多项式的乘法构成数乘多项式的乘法构成的多项式的全体的多项式的全体,即即 次数不超过次数不超过n例例2 2证证 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两所以所以统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A空空和乘数运算不构成向量和乘数运算不构成向量对于通常的多项式加法对于通常的多项式加法 n 次多项式的全体次多项式的全体例例3间间.这是因为这是因为对对.对运算不封闭对运算不封闭xQn所以所以统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐
7、标 线线 性性 代代 数数 A例例 对数函数的集合对数函数的集合对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间空间因为因为则则是一个线性空间是一个线性空间.所以所以统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A在区间在区间 上全体实连续函数上全体实连续函数,对对函数函数的的一般地一般地,有以下结论有以下结论加法与数和函数的数量乘法加法与数和函数的数量乘法,构成实数域上构成实数域上的的线性空间线性空间事实上事实上,任意两个实连续函数的和仍然为任意两个实连续函数的和仍然为实连续函数
8、实连续函数,数与实连续函数的乘积仍为实连数与实连续函数的乘积仍为实连续函数续函数统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A例例 5 正实数的全体正实数的全体,记作记作 ,在其中定义加在其中定义加法法验证验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间对上述加法与乘数运算构成线性空间 (2)(2)一个集合一个集合,如果定义的加法和数乘运算如果定义的加法和数乘运算证明证明 先证运算的封闭性先证运算的封闭性不是通常的实数间的加乘运算不是通常的实数间的加乘运算,则必需检验是则必需检验是否否满足八条线性运算规律满足八条线性运算规律及数
9、乘运算为及数乘运算为统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A下面一一验证八条线性运算规律：下面一一验证八条线性运算规律：有有对任何对任何中存在零元素中存在零元素,1)3(+RaR使使有负元素有负元素,)4(1+-+RaRa所以对定义的加法与数乘运算封闭所以对定义的加法与数乘运算封闭统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A所以所以 对所定义的运算构成线性空间对所定义的运算构成线性空间统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维
10、数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A不构成线性空间不构成线性空间对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法例例 个有序实数组成的数组的全体个有序实数组成的数组的全体线性空间线性空间.,不是不是所以所以线性运算线性运算由于所定义的运算不是由于所定义的运算不是Sn统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A定理定理1 1 线性空间有唯一一个零元线性空间有唯一一个零元,任意元任意元证明证明 假设假设 是线性空间是线性空间V中的两个零中的两个零由于由于所
11、以所以元素元素,则对任何则对任何有有,二、线性空间的性质二、线性空间的性质有唯一一个负元有唯一一个负元统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A假设假设 有两个负元素有两个负元素 与与 ,那么那么则有则有向量向量 的负元素记为的负元素记为所以零元是唯一的所以零元是唯一的.所以负元也是唯一的所以负元也是唯一的.统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A根据零元和负元的唯一性根据零元和负元的唯一性,可得：可得：又又统计软件分析与应用6.1-
12、6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A 如果如果 ,则则 或或 .假设假设那么那么又又同同理可得：若理可得：若 则有则有统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A三、线性空间的子空间三、线性空间的子空间定义定义2设设 是一个线性空间是一个线性空间,是是 的一个的一个空间空间非空子集非空子集,如果如果 对于对于 中所定义的加法和乘数中所定义的加法和乘数线性空间中的零元构成一子空间线性空间中的零元构成一子空间,称为零空间称为零空间.V 自身是自身是V 的子空间的
13、子空间.我们称这两个子空间为我们称这两个子空间为V 的的平凡子空间平凡子空间.运算也构成一个线性空间运算也构成一个线性空间,则称则称 U 是是 V 的一个子的一个子统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A充分必要条件是：充分必要条件是：定理定理2 2 线性空间线性空间V 的非空子集的非空子集U 构成子空间构成子空间的的 如果如果则则 如果如果则则证略证略由定义易知由定义易知,假如假如U 是是V 的子空间的子空间,则则U 的零元的零元于是有于是有也是也是V 的零元的零元,U 中元中元 的负元也是的负元也是V 中中
14、元的负元元的负元,统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A例例7 7 证明：证明：对矩阵加法及数乘运算构成对矩阵加法及数乘运算构成 M2 的一个子空间的一个子空间证明：证明：因为因为又设又设则有则有统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A（为实数）为实数）所以所以是是的一个子空间的一个子空间统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A一、线性空间的基与维数
15、一、线性空间的基与维数已知已知：在：在 中，线性无关的向量组最多由中，线性无关的向量组最多由 个向量组成，而任意个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的个向量都是线性相关的间间 中，最多能有多少线性无关的向量？中，最多能有多少线性无关的向量？问题问题：线性空间的一个重要特征：线性空间的一个重要特征在线性空在线性空2 维数、基与坐标维数、基与坐标统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A满足：满足：定义定义2.1 在线性空间在线性空间 中中,如果存在如果存在 个元素个元素;,)1(21线性无关线性无关na aa aa
16、 aL,表示表示,2)(21线性线性总可由总可由中任一元素中任一元素nVa aa aa aa aL.,维数维数的的称为线性空间称为线性空间基基Vn,21的一个的一个就称为线性空间就称为线性空间那末那末Vna aa aa aL统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A.,nVnn记作记作维线性空间维线性空间的线性空间称为的线性空间称为维数为维数为我们知道，一个向量空间可由它的一个基所我们知道，一个向量空间可由它的一个基所生成同样的，一个线性空间可由它的一个基向生成同样的，一个线性空间可由它的一个基向量组生成量组生成这
17、就显示出线性空间这就显示出线性空间 的构造的构造统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A都有一组有序数都有一组有序数使使并且这组数是唯一的因为如果还有并且这组数是唯一的因为如果还有则有则有但是但是线性无关，所以线性无关，所以统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A即对于一个已选定的基来说即对于一个已选定的基来说,系数系数由由 唯一确定唯一确定.反之，任给一组有序数反之，任给一组有序数总有唯总有唯一的元素一的元素这样，这样，的元素的元
18、素与有序数组与有序数组之间存在着一种一一对应的关系，因此，可以用之间存在着一种一一对应的关系，因此，可以用这组有序数来表示元素这组有序数来表示元素统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A二、元素在给定基下的坐标二、元素在给定基下的坐标使使组有序组有序数数,21nxxxL总有且仅有一总有且仅有一于于任一元素任一元素,个基个基,如果如果对对nV a a定义定义 2的一的一是线性空间是线性空间设设,21nnVLa aa aa a并记作并记作这个这个基下的坐标基下的坐标,nLa a,2121nxxxLa aa aa a在
19、在称为元素称为元素那么有序数组那么有序数组统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A,1,取取 2中中在线性空间在线性空间xxP=例例 1.它是它是 的一个基的一个基,2x=2次的次的任一不超过任一不超过多项式多项式可表示为可表示为若另取一个基若另取一个基设设 在这个基下的坐标为在这个基下的坐标为因此因此统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A 从而有从而有在这个基下的坐标为在这个基下的坐标为因此因此).,(2110aaaa-统计软件
20、分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A应的坐标是唯一的应的坐标是唯一的线性空间线性空间V 的任一元素在不同的的任一元素在不同的基下基下注意：注意：所对的坐标一般不同所对的坐标一般不同,但是一个元素在但是一个元素在一个基下对一个基下对例例 2 所有二阶实矩阵组成的集合所有二阶实矩阵组成的集合 ，对于，对于线性空间对于线性空间对于 中的矩阵中的矩阵矩阵的加法和数量乘法，构成实数域矩阵的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个上的一个统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标
21、线线 性性 代代 数数 A,0 3321=kkkk统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A而矩阵而矩阵A在这组基下的坐标是：在这组基下的坐标是：统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A三、线性空间的同构三、线性空间的同构统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A和和则有则有统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维
22、数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A和和之间就有一之间就有一统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A个一一对应的关系，且这个对应关系具有下述个一一对应的关系，且这个对应关系具有下述性质：性质：也就是说，这个对应关系保持线性组合的对应也就是说，这个对应关系保持线性组合的对应.因因此此,我们可以说我们可以说Vn与与Rn有相同的结构，我们称有相同的结构，我们称Vn与与Rn同构同构.统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A系保持线性组合
23、的对应，那末就称线性空间系保持线性组合的对应，那末就称线性空间与与定义定义 3 设设 是两个线性空间，如果它是两个线性空间，如果它们的元素之间有一一对应关系们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关，且这个对应关同构同构.同维数的线性空间必同构同维数的线性空间必同构同构的线性空间之间具有反身性、对称同构的线性空间之间具有反身性、对称由定义可知：由定义可知：数域数域 上任意两个上任意两个 维线性空间都同构维线性空间都同构;性与传递性性与传递性;统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A同构的意义同构的意义同构的概念除元素一一对应外同构的概念除元素一一对应外,主要是保持线主要是保持线性运算的对应关系性运算的对应关系.因此因此,中的抽象的线性运算中的抽象的线性运算就可转化为就可转化为 中的线性运算中的线性运算,并且并且 中凡是只涉及中凡是只涉及线性运算的性质就都适用于线性运算的性质就都适用于 .(但但 中超出线性中超出线性运算的性质运算的性质,在在 中就不一定具备中就不一定具备,例如例如 中的内中的内积概念在积概念在 中就不一定有现实意义中就不一定有现实意义).