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1、矢量旋转变换第1页，本讲稿共15页基础的基础的2-D2-D绕原点旋转绕原点旋转在在2-D2-D的迪卡尔坐标系中，一个位置向量的旋转公式可以由三的迪卡尔坐标系中，一个位置向量的旋转公式可以由三角函数的几何意义推出。比如上图所示是位置向量角函数的几何意义推出。比如上图所示是位置向量R R逆时针逆时针旋转角度旋转角度B B前后的情况。在左图中，我们有关系：前后的情况。在左图中，我们有关系：vx x0 0=|R|*cosA=|R|*cosAvy y0 0=|R|*sinA=|R|*sinA第2页，本讲稿共15页v=cosA=xcosA=x0 0/|R|sinA=y/|R|sinA=y0 0/|R|/|
2、R|v下图中，下图中，x x1 1=|R|*cos=|R|*cos（A+BA+B）y y1 1=|R|*sin=|R|*sin（A+BA+B）v其中（其中（x x1 1，y y1 1）就是（）就是（x x0 0，y y0 0）旋转角）旋转角B B后得到的点，也后得到的点，也就是位置向量就是位置向量R R最后指向的点。最后指向的点。第3页，本讲稿共15页vx x1 1=|R|*cos=|R|*cos（A+BA+B）y y1 1=|R|*sin=|R|*sin（A+BA+B）v我们展开我们展开coscos（A+BA+B）和）和sinsin（A+BA+B），得到），得到vx x1 1=|R|*=|R
3、|*（cosAcosB-sinAsinBcosAcosB-sinAsinB）vy y1 1=|R|*=|R|*（sinAcosB+cosAsinBsinAcosB+cosAsinB）v现在把现在把 cosA=x cosA=x0 0/|R|sinA=y/|R|sinA=y0 0/|R|/|R|v代入上面的式子，得到代入上面的式子，得到vx x1 1=|R|*=|R|*（x x0 0*cosB/|R|-y*cosB/|R|-y0 0*sinB/|R|*sinB/|R|）vy y1 1=|R|*=|R|*（y y0 0*cosB/|R|+x*cosB/|R|+x0 0*sinB/|R|*sinB/|
4、R|）v=x=x1 1=x=x0 0*cosB-y*cosB-y0 0*sinB*sinBv y y1 1=x=x0 0*sinB+y*sinB+y0 0*cosB*cosBv现在我要把这个旋转公式写成矩阵的形式即：现在我要把这个旋转公式写成矩阵的形式即：2-D2-D旋转变换矩阵：旋转变换矩阵：第4页，本讲稿共15页平面旋转矩阵平面旋转矩阵第5页，本讲稿共15页第6页，本讲稿共15页平移部分v平移不是线性的，不能表示为与22矩阵相乘的形式。例如要从点(2,1)开始，将其旋转 90度，在x方向将其平移3个单位，在y方向将其平移4个单位。可通过先使用矩阵乘法再使用矩阵加法来完成此操作。第7页，本讲
5、稿共15页iP1B110 xyPiBi第8页，本讲稿共15页v补充部分第9页，本讲稿共15页平移部分v平移不是线性的，不能表示为与22矩阵相乘的形式。例如要从点(2,1)开始，将其旋转 90度，在x方向将其平移3个单位，在y方向将其平移4个单位。可通过先使用矩阵乘法再使用矩阵加法来完成此操作。第10页，本讲稿共15页v后面跟一平移（与 12 矩阵相加）的线性变换（与 22 矩阵相乘）称为仿射变换。放射变换（先乘后加）可以通过乘以一个3*3的矩阵来实现，若要使其起作用，平面上的点必须存储于具有虚拟第三坐标的 13 矩阵中。通常的方法是使所有的第三坐标等于 1。例如，矩阵 2 1 1 代表点(2,
6、1)。例如与单个 33 矩阵相乘的仿射变换（旋转 90 度；在 x 方向上平移 3 个单位，在 y 方向上平移 4 个单位）：第11页，本讲稿共15页v在前面的示例中，点(2,1)映射到了点(2,6)。其中33 矩阵的第三列包含数字0，0，1。对于仿射变换的33 矩阵都是这样的。重要的数字是列 1 和列 2 中的 6 个数字。矩阵左上角的 22 部分表示变换的线性部分，第 3 行中的前两项表示平移。第12页，本讲稿共15页v在使用3*3的矩阵做仿射变换时候，表示点的矩阵变成了一个1*3矩阵，这个矩阵中的最后一个值必须设置成1。对于3*3矩阵，其最后一列的值是多少是没有关系的，因为他们不会影响结
7、果中的前两列。不过如上，经常将他们设置为0，0，1。这一列对于坐标转换的结果并没有任何影响，但是他们是必须的，因为矩阵相乘必须满足“相乘的两个矩阵第一个矩阵的列数必须与第二个矩阵的行数相同”。第13页，本讲稿共15页v平面或空间里的每个线性变换（这里就是旋转变换）都对应一个矩阵，叫做变换矩阵。对一个点实施线性变换就是通过乘上该线性变换的矩阵完成的。v把顶点和矩阵相乘，就会发现矩阵的某些项，扮演着为顶点变换（平移、旋转、缩放）提供参数的作用。（前人总结出来，填哪些那些项能得到平移矩阵/缩放矩阵/旋转矩阵）比如平移矩阵，你自己拿一个顶点和它相乘，算一遍，就会发现它化简到最后一步时的算式，和顶点平移
8、算式是一样的。旋转、缩放也是如此。第14页，本讲稿共15页v那么为什么还要和矩阵相乘？直接用平移算式、旋转算式、缩放算式不就行了？v不行 因为靠矩阵来计算可以减少计算量。v一个顶点要进行多次变换，比如平移后旋转再平移之后再缩放，用简单算式得算4遍，矩阵只要算一遍。v原理就是公式：（顶点矩阵A）矩阵B=顶点（矩阵A矩阵B），即矩阵接合律的推广。（矩阵一般不遵守分配律，所以顶点变换有先后顺序，一个顶点平移再旋转，和旋转再平移，得到的位置不同）即：很容易地进行组合变换以及逆变换。v机器人中可能很多关节都进行同一套变换。用简单算式，n个变换对m个顶点，就得算nm遍。把n个变换做成矩阵，用矩阵乘法接合到一起，那最后m个顶点，每个只要同矩阵做一次乘运算，就可以得到变换后的位置。计算量大大降低第15页，本讲稿共15页