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1、TI图形计算器与高中数学教学第一讲 图形计算器应用简介一、图形计算器在新课程中的定位l 本次培训的目的和意义兼谈图形计算器与数学课程整合的意义关键词：课程标准 数字化 信息技术 整合 数学活动 信息素养1. 上海市二期课改的课程方案开宗明义地阐明了“依托上海建设国际化大都市和数字化城市的教育环境，构建以德育为核心，以培养学生创新精神和实践能力为重点，以完善学习方式为特征，以应用现代信息技术为标志，关注学生学习经历和促进每一位学生发展”的课程体系。2. 上海市中小学数学课程标准中，从6个方面对二期课改中小学数学课程的理念作了介绍，其最后一点就是：“加强现在信息技术的应用，促进信息技术与数学课程的
2、整合。”其中指出：（1）现代信息技术的迅速发展和广泛普及，对数学课程和教学产生了重大的影响。基于上海市中小学信息化建设已有良好的内部基础和外部环境，数学课程必须大力加强现代信息技术的应用，发挥现代信息技术对数学课程改革的积极作用，使现代信息技术成为学生学习的有效手段和工具，成为获取信息资源和开展学习交流的广阔平台。（2）应在现代信息技术的背景下，对数学课程内容进行必要的调整和更新，同时进行体系结构的创新，加强内容与信息技术的整合；大力拓宽数学学习的渠道，促进数字化学习的开展，推动学习方式的转变；积极推进数学课堂教学改革，改善数学教学的过程。3. 上海市中小学数学课程标准中，在课程设计思路中也明
3、确提出：“以现代信息技术的适切介入为手段处理课程内容。其中第一次明确提出了“数字化数学活动（DIMA）”的概念。大力推进基于现代信息技术的数字化数学活动（简称DIMA），建立以计算机、计算器为支撑、拥有智能软件和丰富课件、联接信息网络的DIMA平台。利用DIMA平台，改善数学内容的处理方式和呈现方式；让学生在计算机（器）环境下自主学习，进行实验、探索和研究，完善学生的学习方式。4. 上海市中小学数学课程标准中，对数学课程目标从“知识与技能”、“过程与方法”、“情感态度与价值观”三个维度给予了详细的阐述。其中明确提出：“计算器（包括科学计算器、函数型计算器和图形计算器）应成为学生在数值运算和探索
4、研究中经常使用的学具。利用计算机（器）在作图、模拟、数据处理等方面的强大功能，调整课程内容的取舍、重点和体系结构，改善内容的呈现方式及其学习过程。”5. 教学活动是课程实施的重要一环。上海市中小学数学课程标准中，要求教学应当“遵循规律，关注过程。”其中又谈到了“创设良好的认知环境，有效应用现代信息技术。”“现代信息技术进入数学课堂，大大地拓宽了数学学习的渠道和促进了学生学习方式的改变。教学的过程，应为发挥信息技术的作用留下足够的空间，利用DIMA平台，组织开展数字化数学活动，改进数学教学的过程，改善学生学习的方式。”6. 上海市中小学数学课程标准在“课程保障”中要求：“完善数字化数学活动平台相
5、关设备的配置。”学校应为在数学教学中有效应用现代信息技术、开展数字化数学活动提供必要的设备，及早建立和逐步完善DIMA平台。数学教师必须掌握使用计算机（器）的基本技能，学会DIMA平台的基本操作和应用；学校数学教研组有一批在应用现代信息技术方面达到较高水平的骨干教师，他们能在合理使用已有的教学软件和课件实施教学、进行课件的开发和管理、指导学生利用网络进行学习等方面起带头、引路的作用，在DIMA平台和资料库的建设中发挥积极作用。这些课标原文进一步向我们指明了本次培训的意义：将图形计算器作为目前推进课程改革、转变教与学方式的信息技术“平台”；通过实践研究，为数学课程与信息技术整合积累经验，为数学新
6、课程的全面实施提供资源和保障；为图形计算器技术在数学新课程中有效实施培养一批骨干教师，为我区进一步普及图形计算器技术应用奠定教师和资源的基础。l TI图形计算器资源网站简介TI中国区教育网站首页TI CLASSROOM ACTIVITIES二、图形计算器的基本功能与特点开机关机图形功能键y与y组合：调节对比度光标键科学计算器高级功能键执行键开机关机图形功能键y与y组合：调节对比度光标键科学计算器高级功能键执行键图形计算器l TI图形计算器基本功能的研究1. 开关机.（P2）注：页码表示用图形计算器学数学（高一第一学期）上的页码.2. 键盘介绍.（P2） 3. 基本设置MODE；（P3和P92）
7、4. 代数运算举例：例1：验证：；【说明】相关功能：正弦、除法（分式）、求平方根等；例2：求值：解法一：解法二：【说明】计算器的合理应用需要数学知识加以保障，运用计算器的过程就是数学知识的应用过程.例3：设函数；（1）当时，求的值；（2）求函数的定义域；（3）求方程的近似解. 【说明】相关功能：求x次方根；绝对值；小数化分数；函数输入、视窗设置、函数作图、数据跟踪、运算表设置、列表显示、图形中求交点运算等.5. 相关菜单或命令介绍：（1） MATH菜单简介（P11和P93）（2） 显示格式设置2nd FORMAT；（P3）（3） 快速窗口设置ZOOM；（P4）（4） 运算表设置2nd TABL
8、E（P4）（5） 窗口设置WINDOW（P10）6. 图形功能举例：例1：研究函数和图像交点个数. 7. 操作练习：1. 课本例题操作；2. 求函数的零点、极值、导数和区间的定积分.3. 拓展研究：问题1：试用图形计算器作下列函数的图像，并开展交流（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）.问题2：针对上述函数及其图像，试提出一个研究问题并开展研究.附：WORKSHEET TI83 WorksheetName:Subject:Absolute Value and Piecewise Functions1.Direction of OpeningCoordinates of the
9、VertexSlope of Graph on Left SideSlope of Graph on the Right Side2.Direction of OpeningCoordinates of the VertexSlope of Graph on Left SideSlope of Graph on the Right Side3.Direction of OpeningCoordinates of the VertexSlope of Graph on Left SideSlope of Graph on the Right Side4.Direction of OpeningC
10、oordinates of the VertexSlope of Graph on Left SideSlope of Graph on the Right Side5.6.7.8.三、案例研究图形计算器应用于函数性质的教学案例1：函数的奇偶性 开展函数奇偶性教学，图形计算器能够很好的发挥图像的优势。这是许多教师用图形计算器尝试奇偶性教学的主要出发点。图形计算器将函数图像的两种对称性十分直观的表现在了计算器屏幕上。奇偶性的教学重点就是学生对于奇偶性概念的获得，常规的教学流程也还是适合图形计算器的应用的，例如教学片断一；奇偶性教学的难点在于学生掌握应用奇偶性的概念来分析函数的奇偶性，这个难点的突
11、破在于学生的思维，图形计算器若处理不当甚至会起到反作用，削弱学生对严格定义的认识，为此这堂课教师精心设计了片断二的一系列问题。片断一：引导学生得到偶函数的概念教师借助图形计算器给出部分函数的图像(如图)，要求学生观察图像特点。 师：请同学们观察以后回答，以上三个函数具有怎样的对称性？生：通过观察，函数和函数的图像关于y轴成轴对称对称；函数的图像关于原点成中心对称。师：很好。轴对称和中心对称是两种我们在初中的学习中就已熟悉的图形特征。同学们一定还能给出不少其他具有这些图像特征的函数吧？生：图像关于y轴成轴对称对称的图像还有、等；图像关于原点中心对称的函数还有、等师：是啊，的确有很多，随着学习的深
12、入还会越来越多。那么，我们现在对这些函数对称性的认可是基于什么理由呢？生：直观看到的结果。师：那么直观的函数图像所体现的函数性质究竟是什么呢？让我们首先利用图形计算器的列表功能再做一番研究。请你们自己观察这些函数的列表数据。（教师操作演示） 此处，教师引导学生用函数自变量与函数值数据的关系来描述函数图像对称的特性。教师要求学生自制类似表格研究并思考如何叙述所观察到的结论：X-11-22-aa师：从这些函数自变量与函数值数据的规律，你能得到怎样的结论？生：（经几位同学的补充完善）函数和函数的共同点是当自变量互为相反数时，函数值相同！而函数等的共同点是当自变量互为相反数时，函数值也互为相反数！师：
13、很好。其实这两类函数所具有的性质就是今天我们所要研究的课题“函数的奇偶性”。其中，图像关于轴对称的这类函数我们称之为偶函数。结合刚才同学们的观察和描述，我们一起来尝试从中提炼出偶函数的定义教师通过引导，逐步给出偶函数的概念：如果对于函数的定义域D内的任意实数，都有，那么函数称为偶函数。教学过程中，教师同时突出了概念中的定义域、自变量的任意性等关键词。并进一步提问并指出，函数定义域关于原点对称是该函数为偶函数的必要条件。完成了这一环节后，教师要求学生类比上述研究方法，探求奇函数的定义。 点评：教师利用图形计算器的图像和列表功能，引导学生“观察现象总结规律提炼概念”的过程。学生经历了这一阶段后，能
14、尝试自主地建构起奇函数的概念。因此，教师采用的教学方法是成功的。这里，图形计算器起到的作用也是十分明显的。第一，即时给出了函数图像；第二，教师利用计算器的列表功能，将函数自变量与函数值的关系作为一种现象呈现给了学生，学生从中发现并获得了重要的信息，并最终提炼成了函数概念。图形计算器所起的作用正是提供了学生自主学习的平台和探究的素材。因此，这无疑是发挥了计算器优势，将理念和技术较好结合的成功细节。 片断二：辨析函数奇偶性和函数图象的关系师：我们知道，若函数图像关于原点成中心对称，则此函数是奇函数；若函数图像关于轴成轴对称图形，则此函数是偶函数。奇函数与偶函数的图像特征为我们判断函数的奇偶性带来了
15、很多方便。但是，我们是否可以直接借助图像来判断函数的奇偶性呢？让我们来看这个函数。教师通过计算器，直接给出函数的图像（解析式暂不给出，仅观察图象）：判断下列函数的奇偶性:师：问题一：观察图像，你认为此函数的奇偶性如何？（此函数为） 生：好像是偶函数。（学生在教师的暗示下变得不太确定结论了）师：好像是关于轴对称是吧？那我们如何来进一步分析呢？你们给出方法，我来操作演示，好么？学生提出方案，师生共同发现：学生首先提出列表观察。从中发现了当自变量等于和时，函数值不存在；其他同学利用数据跟踪的方法，按下r，输入，计算器上显示出当时函数值为1。输入，计算器上显示出当时函数值不存在；这说明点在此函数的图像
16、上，而它关于轴的对称点不在图象上！类似地，输入，计算器上显示出当时的函数值为4，输入，计算器上显示出当时函数值不存在； 师：由此我们可知，该函数其实不是偶函数。问题出在了它不满足概念，尤其是自变量的任意性上！师：让我们再看问题二：观察图像，你认为此函数的奇偶性如何？（该函数为） 生：我们要利用概念来分析。观察列表可知，该函数既非奇函数又非偶函数！ 师：非常好！事实上，我们在计算器上所看到的只是这个函数局部的图像，如果我们调整一下视窗的可见范围的话，我们就很容易获得结论了。因此，奇偶性可以认为是函数的一个全局的性质，我们在今后的学习中应当多加关注。点评：在片断二中，教师针对了技术应用背景下学生学
17、习奇偶性概念容易出现的问题，即依赖图像的对称性来确定函数的奇偶性这一问题。有意识地选择了两个典型的反例。通过辨析，学生体会到判断函数奇偶性需要从严格的概念入手，概念中的每个细节都十分关键。另外，教师在阐述问题二时，还提出了“视窗”的概念，并告诉学生我们在计算器上所看到的仅仅是函数图像的一部分（无论如何放大），在我们研究函数的一些整体性质的时候，仅靠这个“看得到”的局部是远远不够的。这样的教学设计既有效地发挥了图形计算器的优势，又避免了技术对数学概念教学的潜在影响。这样的案例值得我们借鉴和反思。案例2 函数的单调性函数的单调性是一个重要的函数性质。有经验的老师们一定清楚，高中函数单调性的教学一定
18、要处理好“数”与“形”在概念学习过程中作用和地位。在本案例中，图形计算器的作图功能得到充分利用，同时函数单调性的教学也实现了“从问题中驱动”。1. 问题驱动函数单调性概念的生成师：让我们来回顾这个曾经研究过的问题：一张边长为6厘米的纸片，在四个角上都剪去一个边长为x厘米的小正方形。写出折成的长方体的体积与小正方形的边长x之间的关系式。生：（思考后回答），定义域为（0，3）。师：好，现在让我们利用图形计算器来观察该函数的图像。（操作并演示） 图1 图2 图3师：现在请同学们仔细观察该函数的图象（图3），请用自己的语言描述该图像变化趋势有何特点？生：图像先上升，后下降。（其他同学赞同）师：那么如何
19、用数学语言更精确地刻划这种特点呢？生： 师：不妨让我们分别进行研究。如果我们现从区间中任取一段区间记作，请问这一段区间上图象有什么特点？生：图象上升。师：自变量的变化与函数值的变化之间有什么关系？生：函数值的变化随着自变量的增大而增大。师：很好。这是我们的直观认识，它所体现的就是函数在这个区间递增。哪位同学能进一步利用数学符号语言来抽象地表述一下“函数在这个区间递增”吗？ 生：取, 且,都有！师：不错。同学们，你们认为他的归纳完善吗？（学生不置可否）师：我们来举个例子。对于函数，当时，；而当时，。符合刚才这位同学的描述，但你们觉得能说函数是增函数吗？生：不能。师：哪位同学可以对这位同学的表述加
20、以完善？生：在给定区间内任取, 且,都有！师：很好。符合这种性质的函数，我们一般称之为增函数。下面让我们来看一下增函数的严格定义：点评：函数单调性的概念可以逐步从问题中抽象出来，这也是学习函数性质的重要方法。教师为学生创设了熟悉的纸盒问题为背景，但是从熟悉的问题中导向了新问题的探究。应当说，这个设计是很有新意的，而纸盒模型是个三次多项式函数，在定义域内也具有递增和递减区间。因此，对于单调性概念的引入，这个模型和二次函数的传统引进概念的方法是完全一致的。图形计算器在这个环节只是起到作出图像供观察研究的作用，也为下一个精彩的环节作了一个伏笔。2. 体验函数单调性概念的研究价值师：我们通过一些最基本
21、的例题熟悉了函数单调性的概念和判断方法。现在让我们回到纸盒问题中得到的那个函数. 如果我们放宽定义域的限制，你们是否能猜测一下函数在区间的单调性如何？生：（在座位上纷纷发表观点）单调递减不确定好像先递减后递增师：我看同学们大多是凭感觉在猜，对吗？那么有没有办法验证呢？生：（不假思索地）用图形计算器再看一下不就行了？师：那我们一起用图形计算器调整窗口研究一下吧！你们认为单调性如何？生：（通过观察调整后的窗口）的确是先递减再递增！师：好！我们有了图形计算器，似乎可以用图像来判断单调性啊，是不是比定义可简单多了？ 生：（很积极地附和）对啊，对啊！师：那么，我想继续问一个问题：函数在区间的单调性如何？
22、 图4 图5生：（有点疑惑地）好像在区间上函数是单调递增的吧？师：你能不能确定呢？图形计算器能不能帮助你下结论？生：（陷入了沉默）看来一定要用定义才能证明了吧？点评：这段教学细节是教师特意针对计算机或图形计算器而设计的。对于函数，教师引导学生研究在不同定义域范围内函数的单调性。在预见到学生可能会不自觉地依赖图形计算器的时候巧妙地揭示了技术的局限性！单调性是函数的一个局部性质，它一般在函数定义域的某个子集中研究。虽然图像能十分直观地揭示单调性，而且将初中学习的知识作了提升，但单调性的定义的严谨性和概念学习的必要性容易被技术所掩盖。教师的设问体现了教学目标中所强调的两个方面：1 强调不能光从函数的
23、局部图象臆想函数的单调性，突出利用单调性定义的严谨性；2 强调单调性更加体现函数的局部性质，研究时应重视以给定的区间作为前提；3 强调技术只是“参与学习”的手段，对概念的深刻认识才是学好数学的有效方法。从这个案例我们也可以体会到：图形计算器乃至许多现代信息技术在课堂教学中的应用都是为促进学生学习为目标的。尽管它们大多数时候能有效地提高教学效益，但技术应用本身依然是一把“双刃剑”。在数学的概念教学中若处理不当，也会削弱学生对数学概念的掌握。当教师启发学生研究区间趋向无穷的函数单调性时，不仅有效地说明了技术在数学学习中可能的局限，更突出了概念学习的重要性。这种教学策略对学生学习动机的驱动而言，显得
24、十分有效。通过这个片断也体现出这样一个事实：技术的引进也为教师创新带来了契机，在技术环境下的教学，的确有一片等待我们去研究和开拓的空间。【案例反思】 上述的案例均是在图形计算器应用的背景下，对于数学概念教学的一种设计与实践。通过这些实践心得，笔者也不断加以反思。图形计算器作为一种技术手段，我们不能将它在数学概念教学中的地位、作用、价值等方面的体现形式化。图形计算器为我们教师的教学和学生的学习预设了一个新的环境，借用物理学的一个经典名词，我把它也称之为一个“场”，一旦教师选择了计算器参与教学，我们就应当在这个预设的“场”的范围内设计教学、重构教与学的过程，然而我们又不能因此忽略或淡化学生对于数学
25、概念本质的学习。为此，笔者觉得图形计算器在数学概念教学中的应用可以从以下两个角度加以归纳：（一）图形计算器在数学概念课教学应用中的定位图形计算器在数学概念课教学中所起的作用应当立足于“参与教学”和“促进学习”。在它设置的“场”中，技术的优势和技术本身的局限都会成为教学设计中的关注点。数学概念课在我国一代代数学教师的“锤炼”之下，在传统的课堂中已显得十分“完善”，但技术介入之后这种平衡被打破。教师（尤其是擅长技术的青年教师）往往将技术应用作为教学设计中所要思考的首要问题，而忽略了教学的核心内容，也就是数学概念本身。传统的教师学生数学概念之间的关系教师学生数学概念技术环境下的教师学生数学概念之间的
26、关系学生教师数学概念图形计算器技术环境若采用结构图分析的话，传统的教学重视数学概念从教师向学生传递的过程。在新的教学理念和技术环境下，教学的核心仍然是教师学生数学概念的关系，在突出学生主体地位的理念支持下，技术环境为三者间新型关系的形成创造了空间。同时，在图形计算器环境下，学生的学习时空可以被有效拓宽。学生可以不再依赖于教师，新型的师生关系可以促进学生学习方式的转变。同时，数学概念本身也会受到新型的学法和教法的改造，这也必将形成技术和概念之间的有效整合。其实，在上海市二期课改高中数学教材中，这种整合的趋势也在逐渐产生。例如，函数概念的教学不再遵循过去以映射观点为背景的呈现方式，取而代之的是以解
27、析式、图像、列表三维一体的呈现方法；又如，数列教学内容的组织加强了数列递推公式的理解和运用，这体现了计算器程序设计思想中所常见的循环和判断两种典型类型。熟悉图形计算器的老师一定能体会到，这些呈现方法可以更好地发挥技术的优势，更有利于技术环境下概念教学的设计和学生的概念学习。图形计算器技术的特色之一就是对于解析式、图像、列表功能有效的统一与整合，技术本身的设计理念也从另一个角度告诉我们数学本质所处的核心地位。（二）图形计算器在数学概念课教学应用中的原则要正确把握图形计算器在数学概念课教学应用中的原则，首先必须正确认识现代技术在数学课程的地位。传统中学数学强调培养学生的运算能力、推理能力和空间想象
28、能力等基本方法与基本技能。以此为核心的数学教学在过去的几十年中最明显的特征就表现在课堂教学容量的不断增加，而为了突破由此造成的“极限”，教学中学生的活动和思维空间被不断地压缩了。随着时代的进步、世界教育界交流的日益频繁以及教育理论的不断更新，我国的中学数学教育专家也清楚地意识到教育观的发展也需要与时俱进。在我们的数学课堂教学中，现代技术的引进绝不是为了更好地实现对于教学容量“极限”的“有效突破”。部分教师对于技术应用虽然积极支持，但在应用理念上仍然没有摆脱传统的“束缚”。于是，“现代技术辅助教学”变成了“现代技术辅助讲题”，使技术在数学课堂教学中的角色显得十分尴尬。通过之前的三个案例，笔者认为
29、图形计算器技术在数学概念课教学中的应用大致需要把握好两个基本原则：1. 概念中心原则。在数学概念课的教学中，现代技术的正确应用一般是围绕着教学目标和学习者而展开的。学生是否能正确掌握数学概念，应当始终成为概念课教学的基本评价原则之一。图形计算器在概念教学中的应用应当促进学生对数学概念的理解。教师在教学之前拟定教学目标时就必须明确概念课的教学目标，然后才能正确地运用图形计算器等技术手段。在先前的三个案例中所体现的一些片断都是为了促进学生完善概念的建构或更好地理解概念本质而设计的。2. 主体探究原则。数学概念的建构观点是目前课程改革的理念所提倡的。虽然中学数学的概念课教学，教师的指导作用十分明显，
30、但是以学生为主体的概念建构过程是包括图形计算器在内的任何技术手段都不能替代的。概念课教学设计中，教师需要预见学生思维中的建构过程，发挥图形计算器在功能方面的特点，让技术起到促进思维，完善建构的作用。在案例中，对于函数的奇偶性、单调性和周期性三个概念，教师无不是选择了图形计算器，在合理发挥技术优势的前提下引导学生自主地建构定义。教学设计中，比较典型的呈现形态如下图所示：创设情境观察思考归纳建构（分析数据，运算加工）（归纳抽象，类比迁移，尝试定义）（提供数据，实例，背景问题）在遵循主体探究的原则下，师生在互动交流和技术应用的环境下才能有效实现“与技术共同学习”的目标。学生的主体探究，往往还会将教学
31、呈现更多的开放空间，对于拓展学生的学习时空效果显著。图形计算器等多种技术手段在数学概念课教学中的正确应用对于数学课程教育教学改革的落实与切实推进是十分关键的因素之一。在数学课程教育开始强调培养信息分析和处理能力、探究和实践能力、批判思维能力和现代技术应用能力的今天，笔者觉得，技术在数学概念课中的应用应当有利于学生更深刻地认识和体验数学概念、有利于促进学生学习方式的转变、有利于影响教师教学方式的转变。学生在图形计算器技术所提供的“学习场”中开展学习和探究活动；教师在图形计算器技术所提供的“教学场”中开展教学实践与研究活动；而这个全新的“场”也会在教与学的不断实践中不断为我们带来“惊喜”。教学研究的历程是没有止境的，在图形计算器越来越为广大教师所认可的今天，需要我们教师更多地投入到技术与教学整合的研究中去。相信随着我们实践经验的不断积累和理论研究的不断深入，中学数学教学领域将会为我国课程教育的改革增添一片亮色。