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1、毅帆教育学科培训师辅导讲义讲义编号 学员编号年 级高一课时数2学员姓名钟祖海辅 导 科 目数学学科培训师康学科组长签字 教务长签字课 题函数的单调性和最值备课时间：2014.03.01授课时间：2014.03.02教学目标了解函数单调性和最值的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法 。重点、难点函数单调性及单调区间的定义和单调性的判断.和抽象函数、最值的问题考点及考试要求函数单调性及单调区间的定义和单调性、抽象函数和最值的判应用教学内容 1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为 I ： （1） 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1 , x2，当x1x2时，都
2、有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数.（2）如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1 , x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.（3）函数是增函数还是减函数.是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上可能是减函数，例如函数y=x2，当x0，+时是增函数，当x(-，0)时是减函数. 2.单调区间 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间.在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图
3、象是下降的 3.用定义证明函数单调性的步骤证明函数f(x)在区间M上具有单调性的步骤：(1)取值：对任意x1,x2M，且x1x2；(2)作差：f(x1)-f(x2)；(3)判定差的正负；(4)根据判定的结果作出相应的结论. 【归纳小结】函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 作 差 变 形 定 号 下结论4.复合函数的单调性 复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下： 如果函数u=g(x)在区间m，n上是单调函数，且函数y=f(u)在
4、区间g(m)，g(n) (或g(n)，g(m)上也是单调函数，那么若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=fg(x)为增函数；若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则y=fg(x)为减函数即函数 单调性 u=g(x) 增增减 减 y=f(u) 增减增减y=fg(x)增减减增注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 5.函数的单调性： （或x 0 )f(x) 单调递增（或单调递减）；f(x)单调递增（或单调递减）(或x 0 )6. 要熟记一些基本函数的单调性：(1)一次函数 ；(2)二次函数 ；(3)反比例函数 ;(4)函数 ;(5)函数 ;(6)函数 .7.常见的几个性质:
5、 (1)增+增=增 (2)增-减=增 (3)减+减=减 (4)减-增=减三.题型讲解题组一：利用定义证明函数的单调性1.证明函数在定义域上是增函数. 2.证明函数在定义域上是增函数.3.判断函数在与上是增函数.题组二：基本初等函数单调性的应用1. 若函数y=（2k+1）x+2，若在（- ，+）上单调递减 ，则 （ ） A. k B. k C. k - D. k -2. 已知函数在区间（-，-3）上是减函数，在上是增函数则 _3. 已知函数在区间（-，-3）上是减函数，则实数的取值范围是_4.若函数的图象关于轴对称，则它的单调递增区间为 ;5函数的递减区间是_题组三、函数的最大（小）值1函数最大
6、（小）值定义1）最大值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的，都有； （2）存在，使得那么，称M是函数的最大值2）最小值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的，都有； （2）存在，使得那么，称M是函数的最小值注意：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在，使得；函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的，都有2利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法配方法 换元法 数形结合法例1、求函数 例2、求函数的最大值例3、求函数在区间2，6 上的最大值和最小值【针对性练习】一、选择题1函数y4xx2，x0，3的最大值、最小值
7、分别为( )(A)4，0(B)2，0(C)3，0(D)4，32函数的最小值为( )(A)(B)1(C)2(D)43、函数 在区间0，5上的最大值、最小值分别是（ ）A. B. C. D. 最大值，无最小值。二、填空题1函数y2x24x1 x(2，3)的值域为_2函数的值域为_3、函数的值域是 。4、函数的值域是 。三、解答题1求函数的值域2设函数f(x)(xa)2对于任意实数tR都有f(1t)f(1t)(1)求a的值；(2)如果x0，5，那么x为何值时函数yf(x)有最小值和最大值?并求出最小值与最大值题组四：抽象函数的有关问题1. 是定义在（0，+）上的增函数，则不等式的解集_2. 设定义域
8、为（0，+），且在（0，+）上是增函数，.（1）求证： （2）若,解不等式：【针对性练习】1定义在（0，）上的函数f (x)，对于任意的实数m、n（0，），都有f(mn)f(m)f(n)成立，且当x1时，f(x)1时，f(x)1成立.设x1,x2R+,若f(x1)f(x2),比较 x1,x2的大小; 解不等式f()f(ax-3) (0a1).5 函数定义在上，对任意实数，恒有，且当时，.若集合，若，求实数a的取值范围.课后作业一 填空题1. 函数的单调递增区间是_.2. 函数的单调递减区间是_.3. 函数在是增函数，那么的取值范围是_.4. 函数在上是增函数，在上是减函数，那么在上是_. 5.
9、 函数在上是增函数，（1）若在上是偶函数，那么在上是_；（2）若在上是奇函数，那么在上是_.6. 设奇函数的定义域为，若当时， 的图象如右图,则不等式的解是_.7. 已知是上增函数，那么的取值范围是_.8. 函数的递增区间是_.9. 若为奇函数，且在上是减函数，又，则的解集为_. 10. 定义在上的函数在上是减函数，且图象的对称轴是，那么，那么_.(填) 11. 已知函数在区间是减函数，则的取值范围是_.12. 设是上的减函数，则的单调递减区间为 . 二 选择题13. 下列函数在上为增函数的是（ ）A. B. C. D. 14. 定义在上的偶函数在是增函数，则不等式等价于（ ）A. B. C.
10、 D. 或15. 如果奇函数在区间 上是增函数且最大值为，那么在区间上是 ( )A.增函数且最小值是 B.增函数且最大值是 C.减函数且最大值是 D.减函数且最小值是16. 函数是（ ）A.是偶函数，且在区间上单调递增 B.是偶函数，且在区间上单调递减 C.是奇函数，且在区间上单调递增 D.是奇函数，且在区间上单调递减三 解答题17. 试讨论函数在区间上的单调性18. 已知函数（1） 用单调性定义证明：在上为增函数；（2） 作出函数的大致图象.19. 已知函数在上递增，求实数的取值范围.20. 已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且当时，（1）求证：是偶函数；（2）在上是增函数；（3）解不等式