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1、一、函数的单调性定理1第1页/共45页证应用拉氏定理,得第2页/共45页说明：（1）对无穷区间定理也成立.且等号在有限点处成立，则结论也成立，如（2）若定理设函数 f(x)在 a,b上连续,(a,b)上可导,且 ,x(a,b),则,xa,b第3页/共45页例1解注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性第4页/共45页二、单调区间求法问题:如上例1，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点
2、方法:第5页/共45页例2解单调区间为第6页/共45页例3解单调区间为第7页/共45页例5 证明：当时，证明：设所以当时，单调递增，又所以当时，即可以利用函数的单调性证明不等式第8页/共45页三、函数极值的定义第9页/共45页定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.第10页/共45页(1)极值是局部概念，最值是整体概念；极值是局部概念，最值是整体概念；(2)极值点肯定不会是端点；极值点肯定不会是端点；(3)极小值可能会大于极大值；极小值可能会大于极大值；(4)区间内的最值点必为极值点。区间内的最值点必为极值点。极大点极大点极小点极小点第11页/共45页四、函数极值的求
3、法定理2(必要条件)定义注意:例如,第12页/共45页 函数的驻点和导数不存在的点通称为函数的临界点.上面的定理也可以叙述为：函数的极值点必为临界点.定理2(必要条件)第13页/共45页定理3(一阶充分条件)第14页/共45页(不是极值点情形)第15页/共45页求极值的步骤:第16页/共45页例6解列表讨论极大值极小值第17页/共45页图形如下第18页/共45页例7解第19页/共45页定理4(二阶充分条件)证同理可证(2).第20页/共45页例8解图形如下第21页/共45页注意:第22页/共45页即 是 f(x)的极大值点处取得极值,是极大值还是极小值?并求出其极值例 试问a为何值时,在 因为
4、 f (x)是可微函数,故 是 f(x)的驻点,当 a=2 时,极大值:解即第23页/共45页注：极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)第24页/共45页五、最大值和最小值第25页/共45页步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个大哪个就是最大值,哪个小哪个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)第26页/共45页例9解计算第27页/共45页比较得第28页/共45页 x=1是 f(x)在(0,2)中的唯一极值点且为极小值点原不等式令 ,则由又 x=1是 最小值点 f(x)f(1)=0,x(0,2)求 0 x 0 时，设 ,考虑 f(x)性质 驻点：x=2确定方程 实根的个数例解原方程第43页/共45页x-02+f (x)+-0+f(x)-a+(1)当 时,方程有唯一实根在(-,0)内;(3)当 时,方程有三个实根,分别在(-,0)(0,2),(2,+)内(2)当 时,方程有两个实根,一个为2,另一个在(-,0)内;第44页/共45页感谢您的观看！第45页/共45页