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1、第二讲 证明不等式的基本方法班级_ 姓名_ 考号_ 日期_ 得分_一选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.),则PQR的大小顺序是( )A.PQR B.PRQC.QPR D.QRP,即RQ;故有PRQ.故应选B.答案:B2.已知a2,b2,则a+b与ab的大小关系是( )A.a+bab B.a+b2,b2,a-11,b-11,(a-1)(b-1)1,即ab-a-b0,aba+b,故选B.答案:B3.若实数x,y适合不等式xy1,x+y-2,则( )A.x0,y0 B.x0,y0,y0 D.x0解析:x,y异号时,显然与xy1矛盾,所以可排除CD.假设
2、x0,y0,则x.x+y0,y0.答案:A4.若a,b(0,+),且ab, ,则M与N的大小关系是( )A.MN B.M0,则( )A.T0 B.T0C.T=0 D.无法判断T的正负解析:a+b+c=0,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0,即2ab+2bc+2ac=-(a2+b2+c2)0,上述不等式两边同除以2abc,得故选B.答案:B6.已知a,b,c,d都是正数,则有( )A.S1C.S2 D.以上都不对解析:S (a+b+c+d)=1.答案:B二填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)7.某品牌彩电厂家为了打开市场,促进
3、销售,准备对其生产的某种型号的彩电降价销售,现有四种降价方案:(1)先降价a%,再降价b%;(2)先降价b%,再降价a%;(3)先降价%,再降价 %;(4)一次性降价(a+b)%.其中a0,b0,ab,上述四种方案中,降价幅度最小的是_.解析:设降价前彩电的价格为1,降价后的彩电价格依次为x1、x2、x3、x4.则x1=(1-a%)(1-b%)=1-(a+b)%+a%b%,x2=(1-b%)(1-a%)=x1, 答案:方案(3)8.已知|a+b|-c(a、b、cR),给出下列不等式:a-b+c;ab-c;|a|b|-c;|a|-|b|-c.其中一定成立的不等式是_(把所有成立的不等式的序号都填
4、上).解析:|a+b|-c,ca+b-c.-b+ca-b-c.故成立,不成立.|a+b|-c,|a+b|a|-|b|,|a|-|b|-c.|a|b|-c.故成立,不成立.答案:9.函数y的最大值为_.解析:函数的定义域为1,6. 答案:10.已知x2+2y2+3z2=,则3x+2y+z的最小值为_.解析:当且仅当x=3y=9z,等号成立.(3x+2y+z)212,即-23x+2y+z2,当x=-时,3x+2y+z=-2,为最小值.答案:-2三解答题:(本大题共3小题,1112题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)11.(2010浙江自选模块卷)设正实数a,b,c,满足abc1,求的最小值.解:因为当a=b=c=1时,上述不等式取等号,所以的最小值为1.12.(2010江苏)设a,b是非负实数,求证:a3+b3 (a2+b2).证明:a3+b3- (a2+b2)=(a3-a2KG-*4)+(b3-b2)评析:证明不等式,常用方法是作差比较法.13.已知x,y,z是正实数,求证:分析:注意到所证不等式的特点,可考虑构造向量,使用柯西不等式的向量形式证明.证明:x,y,z是正实数,令 评析:使用柯西不等式时,既要注意它的数学意义,又要注意它的外在形式.当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时,就可以考虑使用柯西不等式对这个式子进行缩小或放大.