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1、, 绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法一、教学目的1、掌握绝对值的三角不等式；2、掌握不等式证明的基本方法二、知识分析定理1 若a，b为实数，则，当且仅当ab0时，等号成立。几何说明：（1）当ab0时，它们落在原点的同一边，此时a与b的距离等于它们到原点距离之和。（2）如果ab0，则a，b分别落在原点两边，a与b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab0，b0的情况，ab1时，式ab，式成立。故原不等式成立。证法二：当a=b时，原不等式显然成立；当ab时，原不等式成立。点评：此题还可以用三角代换法，复数代换法、数形结合等证明，留给读者去思考。例2、设m等于|a|、|b|和1中最大的
2、一个，当|x|m时，求证：。思路：本题的关键是对题设条件的理解和运用，|a|、|b|和1这三个数中哪一个最大？如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：m|a|、m|b|、m1。证明：故原不等式成立。点评：将题设条件中的文字语言“m等于|a|、|b|、1中最大的一个”转化为符号的语言“m|a|、m|b|、m1”是证明本题的关键。例3、函数的定义域为0，1且。当0，1，时都有，求证：。证明：不妨设，以下分两种情形讨论。若则，若则综上所述点评：对于绝对值符号内的式子，采用加减某个式子后，重新组合，运用绝对值不等式的性质变形，是证明绝对值不等式的典型方法。例4、已知a0，b0，求证
3、：。思路：如果用差值比较法，下一步将是变形，显然需要通分，是统一通分，还是局部通分？从题目结构特点看，应采取局部通分的方法。证明：原不等式成立。点评：在上面得到式后，其分子的符号可由题设条件作出判断，但它没有明显，所以，变形越彻底，越有利于最后的判断，本题还可以用比值比较法证明，留给读者去完成。例5、设x0，y0，且xy，求证：思路：注意到x、y的对称性，可能会想到重要不等式，但后续思路不好展开，故我们可采用分析法，从消去分数指数幂入手。证明：x0，y0，且xy，点评：在不便运用比较法或综合法时，应考虑用分析法。应注意分析法表述方法，其中寻求充分条件的语句常用符号“”表述。本题应用了分析法，既
4、找到了解题思路，又使问题完满地得到了解决，可谓一举两得。例6、已知a、b、cR+，求证：。思路：因不等式的左边的两个因式都可以进行因式分解。结合a、b、cR+的条件，运用重要不等式，采用综合法进行证明。解析：即点评：用重要不等式证明不等式，一要注意重要不等式适用的条件，二要为运用重要不等式创造条件。另外，同向不等式相加或相乘，在综合法中常用到。例7、证明：对于任意实数x、y，有思路：采取分析法和比较法二者并用的方法来处理。证明：用分析法不等式显然成立，下面证明不等式同号，即点评：上述证明中，前半部分用的是分析法，后半部分用的是比较法，两种方法结合使用，使问题较容易解决，这一点应加以注意。例8、
5、（1）用反证法证明以下不等式：已知，求证p+q2。（2）试证：（n2）。思路：运用放缩法进行证明。证明：（1）设p+q2，则p2q，这与=2矛盾，（2），又。将上述各式两边分别相加得点评：用放缩法证明不等式过程中，往往采用添项或减项的“添舍”放缩，拆项对比的分项放缩，函数的单调性放缩，重要不等式放缩等。放缩时要注意适度，否则不能同向传递。【模拟试题】 1、设a、b是满足ab0，下面四个不等式|a+b|a|；|a+b|b|；|a+b|a|b|中，正确的是（） A、和 B、和 C、和 D、和 3、下面四个式子；中，成立的有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 4、若a、b、cR，且，则下列
6、不等式成立的是（） A、 B、C、 D、 5、设a、b、cR，且a、b、c不全相等，则不等式成立的一个充要条件是（） A、a、b、c全为正数 B、a、b、c全为非负实数C、 D、 6、已知a0，1bcb0，则的值的符号为_。 10、设a、b、cR+，若，则_。 11、已知x，yR，且，则z的取值范围是_。 12、设，求证：。 13、已知a、b是不等正数，且，求证：。 14、已知，求证：中至少有一个不小于。 15、设a、b为正数，求证：不等式成立的充要条件是：对于任意实数x1，有【试题答案】 1、B 2、C 3、C 4、B 5、C 6、D 7、A 8、（，3） 9、负 10、9 11、 12、证明： 13、证明：a、b是不等正数，且而一定成立，故成立。 14、证明：用反证法。假设都小于，则，而，相互矛盾，中至少有一个不小于。 15、证明：设，那么不等式对恒成立的充要条件是函数的最小值大于b。当且仅当，时，上式等号成立。故的最小值是。因此，不等式对x1恒成立的充要条件是b。