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1、第一章三角形的初步认识：1、认识三角形 “ABC”读作“三角形ABC”。 三角形任何两边的和大于第三边。 三角形三个内角的和等于180。 三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和。2、三角形的平分线和中线 在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的三角形的平分线。 在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。3、三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 锐角三角形的三条高在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上。直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，垂足都是直角的顶点
2、。而在钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。4、全等三角形 能够重合的两个三角形称为全等三角形。 两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角。 “全等”可用符号“”来表示。 全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。5、三角形全等的条件 三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）。 当三角形三边长确定是，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性，这是三角形特有的性质。 有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角
3、形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）。 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。 角平分线上的一点到角两边的距离相等。6、作三角形: 在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。7、定义与命题：概念：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。命
4、题结构：命题可看做由题设（条件）和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。命题的分类：正确的命题叫做真命题，不正确的命题叫做假命题公理：人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。这样公认为正确的命题叫做公理。例如：“两点之间线段最短”，“一条直线截两条平行所得的同位角相等”定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。8、证明 ：判定一个命题是真命题的方法: (1) 通过推理的方式,即根据已知的事实来推断未知事实;用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.(2) 人们经过长期实践后而公认为正确的：数学中通常挑选一部分人类经过
5、长期实践后公认为正确的命题叫做公理. 定理和公理都可以作为判断其他命题真假的依据. 命题9、反证与证明 ：1、判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可。2、反例是具备命题条件但不具备命题结论的例子。3、涉及数的问题举出一些特殊值，一些几何问题可以构造出适当几何图形，构造的图形也是解题的步骤，需要辅助 几何表述，才能成为解题过程。练习题1（命题与证明） ：1、把下列命题写成“如果，那么”的形式，并指出条件和结论 （1）全等三角形的对应角相等； （2）等角的补角相等； （3）同角的余角相等；2、判断下列命题是真命题还是假命题（1）若|a|=|b|，则a=b; （2）若a=b，则a3=b3; （3）
6、若x=a，则x2(a+b)x+ab=0;3、写出下列命题的条件及结论 （1）等角的余角相等； （2）等角的补角相等； （3）两直线平行，同位角相等；4、用反例来证明下列命题是假命题 （1）若xy=0，则x，y同时为零 （2）两个负数的差一定是负数练习题2（三角形全等证明） ：1、已知：如图，四边形ABCD中，AC平分角BAD，CE垂直AB 于E，且B+D=180度，求证：AE=AD+BE 2、已知：如图，PA、PC分别是ABC外角MAC和NCA的平分线，它们交于点P，PDBM于D，PFBN于F 求证：BP为MBN的平分线 ABCDEFG3、在RtABC中，A90，CE是角平分线，和高AD相交于
7、F，作FGBC交AB于G，求证：AE BG4、如图，已知ABC是等边三角形，BDC120，说明 AD = BD + CD 的理由 5、如图，ABC中，BAC=90度，AB=AC，BD是ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE 交BA的延长线于F 求证：BD = 2CE6、如图，已知BAC=90,ADBC, 1=2,EFBC, FMAC,说明FM=FD的理由 7、如图：在ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB， 连结AD、AG。求证：（1）AD=AG，（2）AD与AG的位置关系如何。8、在ABC中，ACB=90，
8、AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB；DE =ADBE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=ADBE； （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，CBAED图1NMABCDEMN图2ACBEDNM图3 并加以证明9、直线CD经过的顶点C，CA=CBE、F分别是直线CD上两点，且 （1）若直线CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题： 如图1，若，则 （填“”，“”或“”号）； 如图2，若，若使中的结论仍然成立，则 与
9、 应满足的关系是 ； （2）如图3，若直线CD经过的外部，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，ABCEFDDABCEFADFCEB图1图2图3 并给予证明10、用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD.把一个含60角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的 60角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转. （1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时（如图所示），通过观察或测量BE、CF的长度， 你能得出什么结论？并证明你的结论； （2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时（如图所示），你在（1）中得
10、到的结论 还成立吗？说明理由。 11、如图甲，在ABC中，ACB为锐角点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形 ADEF解答下列问题： （1）如果AB=AC，BAC=90 当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，第11题图图甲图乙图丙 数量关系为 当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果ABAC，BAC90，点D在线段BC上运动试探究：当ABC满足一个什么条件时，CFBC （点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由（画图不写作法）12、如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中
11、点，且EF交正方形外角的平行线 CF于点F，求证：AE =EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它 条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正 确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成 立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由 ADF
12、CGEB图1ADFCGEB图2ADFCGEB图31、在下列各组图形中，是全等的图形是( ) A、 B、 C、 D、2、下列各图中，正确画出AC边上的高的是( )AAAABBBBCCCCE EEE A、 B、 C、 D、3、如图1，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是( )图1图2 A、两点之间的线段最短； B、三角形具有稳定性；DFAECB C、长方形是轴对称图形； D、长方形的四个角都是直角；4、图2中的三角形被木板遮住了一部分，被遮住的两个角不可能是( ) A、一个锐角，一个钝角； B、两个锐角； C、一个锐角，一个直角；D、一个直角，一个钝角；5
13、、以下不能构成三角形三边长的数组是( ) A、(1，2) B、(3，4，5) C、(，) D、(，)6、一个三角形的两个内角分别为55和65，这个三角形的外角不可能是( ) A、115 B、120 C、125 D、13027、小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图3所示的四块(图中所标1、2、3、4)，你认为将其中的哪一块带去， 就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带( )去3图3 A、第1块； B、第2块；A41 C、第3块； D、第4块；DE8、如图4，在锐角ABC中，CD、BE分别是P AB、AC边上的高，且CD、BE相交于一点P，若A=50，则BPC =( )CB A、150 B、1
14、30图4 C、120 D、1009、用12根火柴棒(等长)拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断， 则能摆出不同的三角形的个数是( ) A、1 B、2 C、3 D、4BE10、如图5，在ABC中，D、E分别是AC、BC边上的C 点，若ADBEDBEDC，则C的度数为( )图5DA A、15 B、20 C、25 D、3011、在ABC中，若AB=90，则此三角形是 三角形； 若，由此三角形是 三角形；12、设ABC的三边为a、b、c，化简 13、已知三角形的两边长分别是3cm和7cm，第三边长是偶数，则这个三角形的周长为_cm；14、如图7，在ABC中，已知AD=DE，AB=BE，A=80
15、，则CED=_15、如图8，把矩形ABCD沿AM折叠，使D点落在BC上的N点处，如果AD=cm，DM=5cm，DAM=30， 则AN = _cm， NM = _cm， BNA = _度；DABEC图7图9OEDCBA图8DMCNBA16、如图9，ABC中，AB=AC，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BD、CE交于点O，且AD=AE，连结AO， 则图中共有_对全等三角形； AB17、如图10，已知B=C，AD=AE，则AB=AC，请说明理由(填空)D 解：在ABC和ACD中，BEA B=_ (_)E图10 A=_ (_)CD AE=_ (_)图11C ABEACD (_) AB=AC (_)
16、18、如图11所，A+B+C+D+E=_；20、用一副三角板可以直接得到30、45、60、90四种角，利用一副三角板可以拼出另外一些特殊角，如75 、120等，请你拼一拼，用一副三角板还能拼还能拼出哪些小于平角的角？这些角的度数是： ；21、某产品的商标如图15所示，O是线段AC、DB的交点，且AC=BD，AB=DC，小华认为图中的两个三角形全等， 他的思考过程是：AC=DB，AOB=DOC，AB=AC，ABODCO你认为小华的思考过程对吗？如果正确，指出他用的是判别三角形全等的哪个条件，如果不正确，写出你的思考过程。22、没有量角器，利用刻度尺或三角板也能画出一个角的平分线吗？下面是小彬的做法，他的画法正确吗？ 请说明理由。如图16，角平分线的刻度尺画法： (1) 利用刻度尺在AOB的两边上，分别取OD=OC； (2) 连结CD，利用刻度尺画出CD的中点E； (3) 画射线OE所以射线OE为AOB的角平分线；