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1、高数上册总复习一、极限的计算1）代入法（根据初等函数在其定义区间是连续的）2）极限的四则运算3）复合函数求极限 4）两个重要准则：夹逼准则、单调有界准则 5）两个重要极限： 6）等价无穷小的替换：时， 7）有界量与无穷小的积还是无穷小。 8）洛必达法则（处理未定式） 9）利用定积分的定义计算极限。 10）利用极限的定义（定义、定义、定义）例题：1）求极限。（2000年） 解：原式 2）下列极限等式中，正确的是（ C ）（2000年）A、； B、；C、；D、；3）设函数，在点连续，则 （ A ）（2000年） A、； B、； C、； D、；4）（本题8分）设，试根据和取值的不同情况，讨论在处的连
2、续性。（2000年）解：，时，在处的连续。5）极限的值为（ C ）（2002年）A、； B、； C、； D、不存在；6）设，则的值为（ A ）（2002年） A、； B、； C、； D、不存在；7）设在处连续，则 1 。（2002年） 8）已知求常数的值。（其中考试） 解： 9）求间断点，并判定其类型。（其中考试） 解：因为 所以是的跳跃间断点； 因为 所以是的第二类间断点。10）求极限（其中考试） 解：原式11）（本题10分）设为可导函数，试确定常数的值，并求出。（期中考试）解：，因为可导一定连续，所以 。所以我们有。再考虑处的可导性所以。13）计算（作业） 解：原式 14）计算（课本）解：
3、原式15）计算（课本）解：原式二、导数和微分的计算 1）导数定义及求导基本公式。必须记住求导基本公式！ 2）求导四则运算法则： 3）复合函数求导法则： 4）隐函数求一、二阶导数（对数求导法） 5）参数方程求一、二阶导数：设，则6）求函数的微分(定义、基本公式、一阶微分的不变性)7）高阶导数8）积分上限函数求导例题：1）已知，则（ D ）（2000年） A、； B、； C、； D、 2）设，求。（答案：2）（2000年） 3）设函数由方程所确定，求。（答案：-1）（2000年）4）设，可微，则= 。（2002年）5）设， 则 。（2002年） 6）（本题6分）设，求。（2002年） 7）（本题6
4、分）设求。（2002年） 8）求的二阶导数。（其中考试） 解： 9）设由所确定，求。（其中考试） 解：， 10）设方程确定隐函数，求的值。（其中考试） 解：方程两边关于求导得 （1） （1）式两边再关于求导得 （2）当时，由原方程可得，由（1）可得 由（2）得。 11）求由方程确定的隐函数的微分。（其中考试） 解：原方程可化为 两边微分得三、积分的计算 1）不定积分基本公式。必须要记住！ 2）不定积分基本计算方法方法一、分项积分法方法二、换元积分法其中是的原函数；是的原函数。方法三、分部积分法运用分部积分法的关键是选取好适当的和；方法四、有理函数积分法、三角有理函数积分法、简单无理式的积分。3
5、）定积分直接计算法（利用微积分基本公式） 分项积分法。换元法。分部积分法。定积分的性质4）定积分间接计算法间接计算。利用几何性质：（）利用对称性： 利用三角函数积分的特定变换5）广义定积分：例题12）计算（作业） 解：因为，所以 （定积分比较性质） 又因为所以 （夹逼准则） 1）求积分。（2000年）2）求定积分（2000年）3）求积分。（2000年）4）求定积分（2000年）5）设且，求。（2000年）6）设在上连续，则的值为（ ）（2002年）A、； B、； C、； D、以上都不对。7） 。（2002年）8） 。（2002年）9）求定积分。（2002年）10)求不定积分。（2002年）11
6、)计算（课本）解：原式 原式12）计算。（作业） 解：因为 解方程组得 原式13）计算；（作业）14）（ A ）（2000年）A、； B、； C、； D、。15）若积分收敛，则（ A ）（2002年） A、； B、； C、； D、 四、极限的基本性质 1）极限的唯一性：如果，则 2）极限的局部有界性：如果，则存在的一个邻域，在内有界。 3）极限的局部保号性：如果（或）,则存在的一个邻域，当时，（或） 例题： 1）设在点三阶可导，求证：点是曲线的拐点。（作业）证明：无妨设，根据导数的定义由极限的保号性存在的去心邻域内有。当时，所以；当时， ，所以；根据拐点的定义，点是曲线的拐点。同理可证的情形。
7、五、函数及其性质 高等数学研究的主要对象：函数 1）函数的定义域：自然定义域2）函数有界性：对于数集内任意数，存在总有3）函数的奇偶性：对于对称数集内任意数，如果总有则是奇函数；如果总有则是偶函数；4）函数的单调性：函数的定义域为，区间。如果对于区间上的任意两点及，当时，恒有（或）则称函数在区间上是严格单调递增（严格单调递减）。5）函数的周期性：函数的定义域为，如果存在正数，使得对任意有，且，则称函数为以为周期的周期函数。通常我们说的周期是最小正周期。6）函数的连续性：7）函数的间断点：第一类间断点：（1）可去间断点 （2）跳跃间断点存在但不相等第二类间断点：至少有一个存在8）闭区间连续函数的
8、性质：最大值最小值定理、零点定理、介值定理。9）函数的可导性：10）函数的可微性：11）函数的可积性：连续一定可积。12）函数的渐近线：铅直渐近线、水平渐近线、斜渐近线。六、导数的应用 1）微分中值定理：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。 2）洛必达法则 3）泰勒公式 4）函数的单调性判定：利用一阶导数的符号。 5）函数的极值：可能的点导数为零或不存在的点。利用一阶导数的符号。 6）函数的最大值和最小值点：可能的点导数为零或不存在的点以及端点。 7）函数的凹凸性：利用二阶导数的符号。拐点。 8）相关变化率 9）微分在近似计算中的应用七、积分的应用1）求平面图形的面积：在直角坐标系下
9、计算、在极坐标下计算2）求旋转体的体积：3）已知平行截面面积为的立体的体积：4）求弧段的长度：（1）直角坐标系的情形：（2）参数方程的情形：（3）极坐标情形：例题：1）设函数，在处有（ C ）（2000年） A、极小值； B、极大值； C、拐点； D、既无极值也无拐点。 2）曲线所围成图形的面积等于（D ）（2000年）A、； B、；C、； D、 3）（本题8分）一气球从距观察员500米处匀速地铅值上升，其速率为140米/分，当此气球上升到500米高空时，问观察员的视线倾角增加率为多少？（2000年）4）（本题6分）证明：当时，有。（2000年）5）（本题8分）求曲线，和（）所围成的图形绕轴旋
10、转一周所得旋转体的体积，并求。（2000年）6）（本题6分）设在上连续、可导，且时，其中 为常数证明：若则方程在内仅有一个实根。（2000年） 7）（本题10分）长为的一条铁丝切成两段，其中一段围成正方形，另一段围成圆形，问两段的长度各是多少时，正方形和园的面积之和最小。（2002年）8）（本题6分）设在可微，且对任意有。证明方程有唯一实根。（2002年）9）（本题6分）设在上具有二阶导数，若存在使，证明存在，使。（2002年）10）（本题8分）设是由不等式，确定的平面区域，（1）求区域的面积；（2）将区域绕轴旋转计算所得旋转体的体积。（2002年） 11）求曲线的拐点。 解：此函数的定义域为
11、当时，当时，；当时，所以点是此函数的拐点。 12）就不同的取值情形，讨论方程实根的个数。解：考虑函数 ，当时，单调递增；当时，单调递减。所以是的最小值。 1）当时，方程无实根 2）当时，方程一个实根 3）当时，方程两个实根13）过曲线上的点作切线，使该切线夹在两坐标轴之间部分的长度最小，求切点的坐标。解：设是此曲线上一点，方程两边关于求导得，点的切线方程为 （注意这里利用了）该切线夹在两坐标轴之间部分的长度的平方为考虑函数，当时，时，过点处切线夹在两坐标轴之间部分的长度最小。14）（本题12分）设在上连续，在上可导，且，证明： 1）在内存在点，使得； 2）在内存在两个不同的点，使得。证明：1）在区间上考虑函数，由已知可得在上连续，且，由零点定理，至少存在一点，使得。 2）分别在区间上对函数运用拉格朗日中值定理，至少存在，使得所以。