一个有趣的风险管理问题.doc

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1、竞赛队编号（参赛学生不填写）：_西北师范大学2010年数学建模竞赛参赛队员姓 名学 号所在学院指导教师： 竞赛题目（在AB上打勾）： A B 风险管理问题的优化方案摘要 本文讨论了一个有趣的风险管理问题。题目中给出了有关全球金融危机的基本概况，针对此问题，我们为今后的主权债务和次贷风险问题进行了数学建模。本模型在多方案多目标的前提下，追求客户信用度尽可能高和银行承担的风险最小这样一个多目标规划问题，我们采用分步算法，求出近似最佳方案，在此基础上提出改进后的分步算法，即引入反馈机制，对近似最佳方案逐步求精。算法思路的流程图如下：银行的风险较小对最优方案求精否？结束多目标决策分析法确定最优方案单目

2、标线性规划确定被选方案集单目标线性规划确定被选方案集最后，为了建模的实用性，我们对模型进行了优缺点评估，并对此做了相应的改进与推广。 在附录中，我们还给出了模型中要用到的有关银行客户登记表的随机数据。关键词：次贷风险 风险管理 多目标规划问题 风险防范 目录一、问题的重述与提出二、问题分析三、模型假设四、符号说明五、数据采集及分类六、模型建立 七、模型的求解及方案择优八、模型计算结果分析及误差分析九、模型的优缺点评价十、模型的改进与推广十一、模型总结一、问题的重述与提出1、背景次贷是次级按揭贷款，是给信用状况较差，没有收入证明和还款能力证明，其他负债较重的个人的住房按揭贷款。这是一个高风险、高

3、收益的行业。与传统意义上的标准抵押贷款的区别在于，次级抵押贷款对贷款者信用记录和还款能力要求不高，贷款利率相应地比一般抵押贷款高很多。那些因信用纪录不好或偿还能力较弱而被银行拒绝提供优质抵押贷款的人，会申请次级抵押贷款购买住房。房地产市场从2006年开始下跌，一方面，贷款者房子卖不出，或卖出去也资不抵债，无法还贷；另一方面，贷款机构收不回贷款，同时即使收回抵押的房子也难以卖出去，并由此引发债券投资机构发生亏损，风险累积到一定程度，就发生了金融危机。客户的信用程度和偿还能力是影响商业银行发生次贷风险的重要因素之一，近期以来一直受到世界各国的关注。2、问题在上述背景下，我们需要了解客户的信用情况、

4、偿还能力等一些有关影响次贷风险的因素及其情况。根据随机调查的银行客户贷款登记的材料，要求对客户信息登记表中的信息进行分类，设计出几种有关银行次贷风险管理的方案使得次贷风险最小并从中选择最优方案，制定出较好的次贷风险防范措施，使客户信用度尽可能提高，而银行的次贷风险尽可能小。二、问题的分析由于各种无法预料的不确定因素带来的影响，使得客户与银行之间的信用关系链可能中断，从而增加了银行管理的风险度，使银行蒙受一定的损失。为降低该风险，我们通常会采用风险分散法，而实际上，银行风险的降低必以客户的信用程度和偿还能力为基础，即客户信用程度和偿还能力的提高必然使银行风险降低。为了寻找两者之间的最佳配合，我们

5、提出了以下几种方案。为此，我们作出以下假设。三、模型的假设 1、本问题是一个时期内的静态次贷问题。可认为参数M，qi都是固定不变的。 2、假设模型中用到的10个商业银行客户登记表是随机收集的。3、总体的风险用最大的风险来衡量，即总体风险Q用(mi*qi/M)*衡量。不考虑客户间的相关关系对总体风险的影响。4、对于相同时间内风险出现的概率与银行的次贷利息的波动，在本模型中不予考虑。5、近十年内银行实行次贷制度中利率是固定不变的。6、假定次贷期限不能超过十年，即银行向客户次贷的时间范围为110年。四、符号说明Q：本次模型中的总体风险。M：110年内银行借给客户的次贷总金额。mi:银行总共借给第i位

6、客户的次贷金额。ri:第i位客户的信用程度。pi：第i位客户的偿还能力。qi：这一时期内银行给第i位客户次贷的风险损失率。ui：这一时期内次贷mi的平均收益率。R：这一时期内银行的次贷收益。S:客户可次贷的最大金额。五、数据采集及分类建模中用到的10个客户的银行信息登记表的数据采集见附件。根据附件中指标值进一步对客户分类，如下面的表1及关系柱形图所示：表1属性A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10信用程度9131415181416151720偿还能力25263825213133353734其他因素76988977710总体情况41456148475456576164注：影响信用程度的属性值

7、有信用历史、持卡时间、担保情况、担保人数量和分期付款计划等；影响偿还能力的因素有年龄、婚姻状况、住宅性质、个人财产、工作类别、工作年限、活期存款余额、存储账户金额、信用额度和持卡消费种类等；其他因素有是否本地户口、本地定居时间和分期付款占收入的比重。六、模型建立1、最一般模型的建立：在解决本次问题的过程中，我们需要考虑的问题主要是在信用程度、偿还能力等因素的影响下设计一种次贷方案A，使它能达到下面两个目标：（1）方案中银行的次贷收益R尽可能大；（2）方案中银行所承担的总体风险Q尽可能小。由于题中未涉及到风险发生的概率，故我们在考虑承担风险时，当风险发生时我们以总体风险Q=(mi*qi/M) 作

8、为衡量风险的尺度。由上面两个目标易判别两个方案A1（R1,Q1）与A2(R2,Q2)优劣的基本原则：原则1 R1=R2时，如Q1Q2，则A2优于A1。原则2 Q1=Q2时，如R1R2，则A1优于A2。基于已得银行客户登记表的随机数据，建立该问题的多目标规划如下所示： s.t. = M mi 0 2、简易模型的建立： 附加假设：不考虑客户可次贷的最大金额s的限制。 说明：在M很大、总体风险不过低的情况下，一般客户可次贷的金额不致过高，所以附加假设的引入不会造成很大的误差，故本模型适用范围较广。简易模型如下： s.t. = M mi 0七、模型求解及方案择优此模型的求解我们采用分步算法，其基本思路

9、如下：步骤一 利用单目标线性规划得到一个备选方案集合Ak(k=1,2,t)。（注：本模型中所提到的方案为银行根据客户登记表中的信息计算次贷风险的情况）。步骤二 在合理参考商业银行风险较低的情况下，利用多目标决策分析方法从备选方案集 Ak 中选出其中的最优方案A*。算法的理论分析和具体的实现如下：步骤1（1） 理论分析对应于一个特定的客户来说，其信用程度和偿还能力一定时，必定存在一个总体风险值；对应所有可能的总体风险值，则有一个方案集合，方案集合中的每个方案都是对应信用程度和偿还能力下的总体风险最小的方案。显然有：真正的最佳方案在该方案集合中 。为使该方案集合中的方案个数有限，我们对总体风险值进

10、行了离散采样。（2） 具体实现简单地采用等距采样，设总体风险值出示范围是Qmin,Qmax，在本模型中，我们随机抽取了10个客户的登记表，故在该闭区间内取10个值：Qk=Qmin+（Qmax-Qmin）/10*k(k=1,2,10),对每个Qk，求一个方案使其Rk最大.这可用单目标线性规划来求解： s.t.miqiQk mki=M mki0这样，经10次线性规划，可得到备选方案集合： Ak (Rk，Qk)=( mk1， mk2， mk3， mk4， mk5， mk6， mk7， mk8， mk9， mk10)k=1,2,10其中 Rk=mki 统计随机调查的客户登记表中属性值ri、pi 以及其

11、他影响因素的十组数据见上面的表1。把上数据进代入以上的算式中进行计算，计算总体风险Q的范围为0,5.5%，则得到10个采样风险值为Qk=（0.55%,1.1%,1.65%,2.2%,2.75%,3.3%,3.85%,4.4%,4.95%,5.5%)由上面的式子可近似认为：Rk(ri*pi)* Qk,则求解10次线性规划后，银行总体风险和客户信用程度、偿还能力的计算结果如下表所示：表2商业银行客户信用程度ri、偿还能力pi与总体风险Qk和Rk的关系信用程度ri偿还能力pi总体风险Qk次贷收益RkA19250.00551.2375A213260.0113.718A314380.01658.778A

12、415250.0228.25A518210.027510.395A614310.03314.322A716330.038520.328A815350.04423.1A917370.049531.1355A1020340.05537.4关系柱形图如下所示: 步骤2 （1）理论分析 从备选方案集合中选取最优方案，可以采用多目标决策分析方法，而有限个方案的多目标决策问题的成熟分析方法有许多种。若简单地采用其中一种对备选方案择优，就不可避免地具有一定的片面性。基于上述考虑，我们采用线性加权法、TOPSIS法和密切值法三种方法，对备选方案分别排序，得到三个排序序列，再用平均值法对三个排序序列进行综合排序

13、，得到备选方案的最终排序序列，从而可较为全面科学地得到最优方案。（2）具体实现 建立“决策”矩阵X方案Ak的决策目标函数（Rk，Qk）均由步骤一得出，故可直接得到矩阵X= R1 Q1 R2 Q2 R10 R10代入数据，得= 0.0055 0.011 0.0265 0.022 0.0275 0.033 0.0385 0.044 0.0495 0.055 1.238 3.7180 8.7780 8.25 10.395 14.32 20.33 23.1 31.136 37.4 将决策矩阵X规范化得到规范决策矩阵Y目标Rk 的最优值R*对应的标准分：YR(R*)=1目标Rk 的最劣值RL对应的标准分

14、：YR(RL)=0则各个Rk（k=1,2,10）对应的标准分Yk(Rk)满足： 0Yk(Rk)1（k=1,2,10）用线性插值法求Yk(Rk)： Yk(Rk)= 同理可得：Yk(Qk)= 从而得到规划决策矩阵：Y= YR(R1) YQ(R1) YR(R2) YQ(R2) YR(R10) YQ(R10) 把数据代入以上算式中可得到相应的数据。确定决策目标的权值实际中，对于不同的银行面对风险管理问题，其选定的最佳方案略有不同。为反映此实际情况，我们将决策目标权值的确定与银行次贷的客户总体情况的好坏联系起来。具体处理如下：高度冒险：WR=0.8 WQ=0.2比较冒险：WR=0.6 WQ=0.4中 立

15、：WR=0.5 WQ=0.5比较保守：WR=0.4 WQ=0.6高度保守：WR=0.2 WQ=0.8（WR，WQ在满足WR+WQ=1条件下具体取值可适当调整，这并不影响本算法的实现。） 分别采用线性加权法、TOPSIS法和密切值法求出备选方案的三个排序序列，对这三个排序序列进行综合比较，得出最优的方案。 对于离散型动态规划，对此模型选取最优方案时可将决策问题分解为三个层次，如下图所示：目标层最佳风险管理方案 准则层客户偿还能力强银行收益大客户信用度高银行风险小 密切值方案方案层TOPSIS方案线性加权方案 分步算法的适用范围讨论： 当总体风险可能取值的范围较小时，该算法误差很小。但是当总体风险

16、范围较大时，采样取值相对较稀疏，该算法就有可能产生较大的误差。八、模型计算结果分析及误差分析1、模型计算结果分析：从计算结果可以看出：银行所承受的风险主要与客户的信用程度和偿还能力是良好的反比例单调性关系，即当客户的信用程度与偿还能力的乘积越大时，银行的风险越小；当客户的信用程度与偿还能力的乘积越小时，银行的风险越大，这是符合经济学规律的，具体关系图如下所示：ri*piQ不变时R随ri*pi增大而增大ri*piR不变时Q随ri*pi增大而减小2、误差分析： （1）本模型对风险值进行离散化，引入了误差，但通过反馈求精，在不过多增加计算复杂性的前提下，可使误差大为减小。 (2)在本模型的假设中利率

17、是不改变的，这对模型的计算带来了一定的误差。 （3）在本模型中银行客户信息登记表是随机收集的，故给模型也造成了一定的片面性，从而产生理论误差。 （4）在计算过程中，在计算银行的收益时，我们将其近似看做是总体风险值与客户信用程度、偿还能力的乘积，故计算结果也有相应的误差。 （5）在模型假设中，我们假设客户的次贷年限是1-10年，其具有一定局限性。九、模型的优缺点评价1、模型的优点 （1）本模型综合采用了多种方法尽量选用成熟的方法，如多目标规划、线性规划、多目标决策等。这些方法久经考验，可靠性比较高。 （2）为了进一步提高算法的稳定性及可靠性，在从备选方案中确定最优解时，本模型用了三种比较成熟的多

18、目标决策方法分别对备选方案进行排序，然后综合权衡着三种排序结果，得到总排序结果，这样就克服了单个方法可能出现的片面性及不稳定性。 （3）在确定备选方案时，本模型中采用了先粗后精、逐步逼近的方法，从而使搜索最优方案的速度大为加快。在保证结果有足够精度的前提下，降低了计算复杂度。 （4）通过对不同风险值下的资产组合方案的数据分析，我们的结果完全符合经济规律，即“客户的信用程度与偿还能力的乘积越大，银行的风险越小”。我们的所有结果都没有出现反常的情况。2、模型的缺点 （1）该模型的主要缺点在于处理多个变量所建立的多个方程的求解过程。 （2）模型给出的一些约束条件可能是不太现实的，如银行客户登记表中的

19、数据，忽略了风险出现的概率与银行次贷损失的波动，还假设了十年内银行的利率是固定不变的等等。 （3）由于约束条件对数据要求比较严格，因而模型用到的某些数据可能是不现实的，从而使模型可能得到一些不太理想的结果。 （4）由于原题提供的信息较少，所以本模型对银行风险大小的衡量都比较简单，这样并不是很全面、精确的。关于这一点将在模型的改进中作进一步讨论。 （5）在引入反馈机制对风险值区间逐步细化时，我们并没有严格地在理论上加以证明，但我们的结果证明了我们的处理方法是合适而有效的。 （6）本模型中的另外一个主要缺点是计算较复杂，要进行线性规划，再运用多目标决策从备选方案中选出最优解，这需要不小的计算量。十

20、、模型的改进与推广 1、模型的改进： 在本模型中，我们可将原来的分步算法改进为下面的分步算法，流程图如下所示：确定初始总体风险值范围对总体风险值区间等距采样用线性规划得备选方案集合 根据最优方案的风险值确定新的风险取值范围确定决策矩阵 线性插值法规范化决策矩阵 参考银行对客户次贷情况的好坏对决策目标加权密切值法排序用线性加权法排序TOPSIS法排序平均值法综合排序并得到最优方案是否对最优方案求精结束十一、模型总结 们的模型为银行风险管理建立了一个很好的解决方案。解决本次问题的过程中，我们需要考虑的问题主要是在信用程度、偿还能力等因素的影响下设计一种次贷方案，使它能达到下面两个目标：（1）方案中

21、银行的次贷收益尽可能大；（2）方案中银行所承担的总体风险尽可能小。这将为以后银行风险管理带来很大的方便。附件:商业银行客户登记表1打分统 计属性评分(1-5分,分数越高表示信用卡持有者该属性表现越好)注:要选的选项填141一、顾客特征81、年龄（岁）30岁以下3040岁4049岁5065岁65岁以上112、婚姻状况单身男性离婚女性离婚男性已婚女性已婚男性113、是否本地户口不是是214、住宅性质不固定租赁自己所有215、个人财产不清楚无财产不动产储蓄/保险汽车/其他116、本地定居时间1年2年3年4年4年以上11二、职业情况201、工作类别无工作非技能技能/公务员管理者/高级雇员/职员/警察3

22、12、工作年限待业一年以下一至四年四至七年七年以上513、分期付款占收入的比例10%20%30%40%414、活期存款余额（元）小于0无活期存款0,200大于200415、存款账户金额（元）无储蓄小于200200,10001000,200041三、持卡状况131、信用额度（元）130003001500050011000010000以上312、信用历史出现过逾期还款非该银行的信用可出现过逾期还款曾经出现过逾期还款但目前已还清在该银行的所有信用卡都按时还款所有信用卡都按时还款513、持卡时间半年以内半年至1年12年23年3年以上114、持卡消费种类汽车/商业旧汽车/教育必需品/家具电器115、担保

23、时间无担保人担保人共同财产担保人116、担保人数0个1个2个2个以上117、分期付款计划无商业银行11信用程度9偿还能力25其他因素7商业银行客户登记表2打分统计属性评分(1-5分,分数越高表示信用卡持有者该属性表现越好)注:要选的选项填145一、顾客特征141、年龄（岁）30岁以下3040岁4049岁5065岁65岁以上112、婚姻状况单身男性离婚女性离婚男性已婚女性已婚男性213、是否本地户口不是是214、住宅性质不固定租赁自己所有315、个人财产不清楚无财产不动产储蓄/保险汽车/其他416、本地定居时间1年2年3年4年4年以上21二、职业情况141、工作类别无工作非技能技能/公务员管理者

24、/高级雇员/职员/警察212、工作年限待业一年以下一至四年四至七年七年以上313、分期付款占收入的比例10%20%30%40%214、活期存款余额（元）小于0无活期存款0,200大于200415、存款账户金额（元）无储蓄小于200200,10001000,200031三、持卡状况171、信用额度（元）130003001500050011000010000以上212、信用历史出现过逾期还款非该银行的信用可出现过逾期还款曾经出现过逾期还款但目前已还清在该银行的所有信用卡都按时还款所有信用卡都按时还款513、持卡时间半年以内半年至1年12年23年3年以上314、持卡消费种类汽车/商业旧汽车/教育必需

25、品/家具电器215、担保时间无担保人担保人共同财产担保人216、担保人数0个1个2个2个以上217、分期付款计划无商业银行11信用程度13偿还能力26其他因素6商业银行客户登记表3打分统计属性评分(1-5分,分数越高表示信用卡持有者该属性表现越好)注:要选的选项填161一、顾客特征251、年龄（岁）30岁以下3040岁4049岁5065岁65岁以上512、婚姻状况单身男性离婚女性离婚男性已婚女性已婚男性513、是否本地户口不是是214、住宅性质不固定租赁自己所有315、个人财产不清楚无财产不动产储蓄/保险汽车/其他516、本地定居时间1年2年3年4年4年以上51二、职业情况171、工作类别无工

26、作非技能技能/公务员管理者/高级雇员/职员/警察312、工作年限待业一年以下一至四年四至七年七年以上513、分期付款占收入的比例10%20%30%40%214、活期存款余额（元）小于0无活期存款0,200大于200415、存款账户金额（元）无储蓄账户小于200200,10001000,200031三、持卡状况191、信用额度（元）130003001500050011000010000以上312、信用历史出现过逾期还款非该银行的信用可出现过逾期还款曾经出现过逾期还款但目前已还清在该银行的所有信用卡都按时还款所有信用卡都按时还款313、持卡时间半年以内半年至1年12年23年3年以上514、持卡消费

27、种类汽车/商业旧汽车/教育必需品/家具电器215、担保时间无担保人担保人共同财产担保人216、担保人数0个1个2个2个以上217、分期付款计划无商业银行21信用程度14偿还能力38其他因素9商业银行客户登记表4打分统计属性评分(1-5分,分数越高表示信用卡持有者该属性表现越好)注:要选的选项填148一、顾客特征201、年龄（岁）30岁以下3040岁4049岁5065岁65岁以上312、婚姻状况单身男性离婚女性离婚男性已婚女性已婚男性413、是否本地户口不是是214、住宅性质不固定租赁自己所有315、个人财产不清楚无财产不动产储蓄/保险汽车/其他316、本地定居时间1年2年3年4年4年以上51二

28、、职业情况81、工作类别无工作非技能技能/公务员管理者/高级雇员/职员/警察112、工作年限待业一年以下一至四年四至七年七年以上113、分期付款占收入的比例10%20%30%40%114、活期存款余额（元）小于0无活期存款0,200大于200215、存款账户金额（元）无储蓄账户小于200200,10001000,200031三、持卡状况201、信用额度（元）130003001500050011000010000以上212、信用历史出现过逾期还款非该银行的信用可出现过逾期还款曾经出现过逾期还款但目前已还清在该银行的所有信用卡都按时还款所有信用卡都按时还款513、持卡时间半年以内半年至1年12年2

29、3年3年以上514、持卡消费种类汽车/商业旧汽车/教育必需品/家具电器315、担保时间无担保人担保人共同财产担保人216、担保人数0个1个2个2个以上217、分期付款计划无商业银行11信用程度15偿还能力25其他因素8商业银行客户登记表5打分统计属性评分(1-5分,分数越高表示信用卡持有者该属性表现越好)注:要选的选项填147一、顾客特征171、年龄（岁）30岁以下3040岁4049岁5065岁65岁以上212、婚姻状况单身男性离婚女性离婚男性已婚女性已婚男性413、是否本地户口不是是214、住宅性质不固定租赁自己所有315、个人财产不清楚无财产不动产储蓄/保险汽车/其他116、本地定居时间1

30、年2年3年4年4年以上51二、职业情况71、工作类别无工作非技能技能/公务员管理者/高级雇员/职员/警察112、工作年限待业一年以下一至四年四至七年七年以上113、分期付款占收入的比例10%20%30%40%114、活期存款余额（元）小于0无活期存款0,200大于200315、存款账户金额（元）无储蓄账户小于200200,10001000,200011三、持卡状况231、信用额度（元）130003001500050011000010000以上112、信用历史出现过逾期还款非该银行的信用可出现过逾期还款曾经出现过逾期还款但目前已还清在该银行的所有信用卡都按时还款所有信用卡都按时还款513、持卡时

31、间半年以内半年至1年12年23年3年以上514、持卡消费种类汽车/商业旧汽车/教育必需品/家具电器415、担保时间无担保人担保人共同财产担保人316、担保人数0个1个2个2个以上217、分期付款计划无商业银行31信用程度18偿还能力21其他因素8商业银行客户登记表6打分统计属性评分(1-5分,分数越高表示信用卡持有者该属性表现越好)注:要选的选项填154一、顾客特征211、年龄（岁）30岁以下3040岁4049岁5065岁65岁以上412、婚姻状况单身男性离婚女性离婚男性已婚女性已婚男性513、是否本地户口不是是214、住宅性质不固定租赁自己所有315、个人财产不清楚无财产不动产储蓄/保险汽车

32、/其他316、本地定居时间1年2年3年4年4年以上41二、职业情况131、工作类别无工作非技能技能/公务员管理者/高级雇员/职员/警察212、工作年限待业一年以下一至四年四至七年七年以上313、分期付款占收入的比例10%20%30%40%314、活期存款余额（元）小于0无活期存款0,200大于200215、存款账户金额（元）无储蓄账户小于200200,10001000,200031三、持卡状况201、信用额度（元）130003001500050011000010000以上312、信用历史出现过逾期还款非该银行的信用可出现过逾期还款曾经出现过逾期还款但目前已还清在该银行的所有信用卡都按时还款所有

33、信用卡都按时还款413、持卡时间半年以内半年至1年12年23年3年以上414、持卡消费种类汽车/商业旧汽车/教育必需品/家具电器315、担保时间无担保人担保人共同财产担保人216、担保人数0个1个2个2个以上217、分期付款计划无商业银行21信用程度14偿还能力31其他因素9商业银行客户登记7打分统计属性评分(1-5分,分数越高表示信用卡持有者该属性表现越好)注:要选的选项填156一、顾客特征151、年龄（岁）30岁以下3040岁4049岁5065岁65岁以上112、婚姻状况单身男性离婚女性离婚男性已婚女性已婚男性513、是否本地户口不是是114、住宅性质不固定租赁自己所有215、个人财产不清

34、楚无财产不动产储蓄/保险汽车/其他416、本地定居时间1年2年3年4年4年以上21二、职业情况181、工作类别无工作非技能技能/公务员管理者/高级雇员/职员/警察412、工作年限待业一年以下一至四年四至七年七年以上513、分期付款占收入的比例10%20%30%40%414、活期存款余额（元）小于0无活期存款0,200大于200215、存款账户金额（元）无储蓄账户小于200200,10001000,200031三、持卡状况231、信用额度（元）130003001500050011000010000以上412、信用历史出现过逾期还款非该银行的信用可出现过逾期还款曾经出现过逾期还款但目前已还清在该银行的所有信用卡都按时还款所有信用卡都按时还款513、持卡时间半年以内半年至1年12年23年3年以上214、持卡消费种类汽车/商业旧汽车/教育必需品/家具电器315、担保时间无担保人担保人共同财产担保人316、担保人数0个1个2个2个以上317、分