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1、精选优质文档-倾情为你奉上二次函数复习专题（二）、知识要点1.二次函数解析式的几种形式：一般式：（a、b、c为常数，a0）顶点式：（a、h、k为常数，a0），其中（h，k）为顶点坐标。交点式：，其中是抛物线与x轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a0，（也叫两根式）。2.二次函数的图象二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：左加右减，上加下减，具体平移方法如下表所示。在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）
2、左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。然后取图象与y轴的交点（0，c），及此点关于对称轴对称的点（2h，c）；如果图象与x轴有两个交点，就直接取这两个点（x1，0），（x2，0）就行了；如果图象与x轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。3.二次函数的性质函数二次函数（a、b、c为常数，a0）（a、h、k为常数，a0）a0a0a0a0图象(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开
3、口向下，并向下无限延伸性(2)对称轴是x，顶点是（）(2)对称轴是x，顶点是（）(2)对称轴是xh，顶点是（h，k）(2)对称轴是xh，顶点是（h，k）质(3)当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大(3)当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小(3)当时，y随x的增大而减小；当xh时，y随x的增大而增大。(3)当xh时，y随x的增大而增大；当xh时，y随x的增大而减小(4)抛物线有最低点，当时，y有最小值，(4)抛物线有最高点，当时，y有最大值，(4)抛物线有最低点，当xh时，y有最小值(4)抛物线有最高点，当xh时，y有最大值4.求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法配方法
4、：将解析式化为的形式，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线，若a0，y有最小值，当xh时，；若a0，y有最大值，当xh时，。公式法：直接利用顶点坐标公式（），求其顶点；对称轴是直线，若若，y有最大值，当5.抛物线与x轴交点情况：对于抛物线当时，抛物线与x轴有两个交点，反之也成立。当时，抛物线与x轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。当时，抛物线与x轴无交点，反之也成立。（三）、考点解读例1.已知某二次函数的图象经过点A（1，6），B（2，3），C（0，5）三点，求其函数关系式。分析：设，其图象经过点C（0，5），可得，再由另外两点建立关于的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可。解：设所
5、求二次函数的解析式为因为图象过点C（0，5），又因为图象经过点A（1，6），B（2，3），故可得到：所求二次函数的解析式为说明：当已知二次函数的图象经过三点时，可设其关系式为，然后确定a、b、c的值即得，本题由C（0，5）可先求出c的值，这样由另两个点列出二元一次方程组，可使解题过程简便。例2.已知二次函数的图象的顶点为（1，），且经过点（2，0），求该二次函数的函数关系式。分析：由已知顶点为（1，），故可设，再由点（2，0）确定a的值即可解：，则图象过点（2，0），即：说明：如果题目已知二次函数图象的顶点坐标（h，k），一般设，再根据其他条件确定a的值。本题虽然已知条件中已设，但我们可以不用
6、这种形式而另设这种形式。因为在这种形式中，我们必须求a、b、c的值，而在这种形式中，在顶点已知的条件下，只需确定一个字母a的值，显然这种形式更能使我们快捷地求其函数关系式。例3.已知二次函数图象的对称轴是，且函数有最大值为2，图象与x轴的一个交点是（1，0），求这个二次函数的解析式。分析：依题意，可知顶点坐标为（3，2），因此，可设解析式为顶点式解：设这个二次函数的解析式为图象经过（1，0），所求这个二次函数的解析式为即：说明：在题设的条件中，若涉及顶点坐标，或对称轴，或函数的最大（最小值），可设顶点式为解析式。例4.已知：抛物线在x轴上所截线段为4，顶点坐标为（2，4），求这个函数的关系式分
7、析：由于抛物线是轴对称图形，设抛物线与x轴的两个交点为（x1，0），（x2，0），则有对称轴，利用这个对称性很方便地求二次函数的解析式解：顶点坐标为（2，4）对称轴是直线x2抛物线与x轴两交点之间距离为4两交点坐标为（0，0），（4，0）设所求函数的解析式为图象过（0，0）点，所求函数的解析式为例5.已知某抛物线是由抛物线经过平移而得到的，且该抛物线经过点A（1，1），B（2，4），求其函数关系式。分析：设所求抛物线的函数关系式为，则由于它是抛物线经过平移而得到的，故a2，再由已知条件列出b、c的二元一次方程组可解本题。解：设所求抛物线的函数关系式为，则由已知可得a2，又它经过点A（1，1），
8、B（2，4）故：解得：所求抛物线的函数表达式为：说明：本题的关键是由所求抛物线与抛物线的平移关系，得到例6.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m。（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式。（2）在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，试求出用d表示h的函数关系式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？分析：（1）拱桥是一个轴对称图形，对称轴为图中y轴，因此可知抛物线上一些特殊点坐标，用待定系数法可求解析式。（2）当水位上升
9、时，抛物线与水面交点在变化，设为（）代入抛物线解析式可得d与h关系式；（3）根据逆向思维可求水面宽度为18m，即d18时，水位上升多少米？解：（1）设抛物线的解析式为yax2，且过点（10，4） 故（2）设水位上升hm时，水面与抛物线交于点（）则 （3）当d18时，当水深超过2.76m时会影响过往船只在桥下顺利航行。说明：要求抛物线的函数关系式，关键是确定其上的点的坐标，再选用适当的形式求其关系式。本题第（2）小题中，还可以求出抛物线上纵坐标为7的点的坐标（有两个），再比较这两点间的水平距离是否大于4。例7.求抛物线的顶点坐标写出对称轴与坐标轴交点坐标，当x取何值时，y随x的增大而增大，当x取
10、何值时，y随x的增大而减小？解：抛物线的顶点坐标是（1，2），对称轴是直线x1令抛物线与y轴交点（0，）令的解为抛物线与x轴交于点（3，0），（1，0）当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小。例8.已知抛物线如图所示，直线是其对称轴（1）确定a，b，c，的符号；（2）求证：（3）当x取何值时，当x取何值时，。分析：（1）由抛物线的开口向下，得由抛物线与y轴的交点在x轴上方，得由由抛物线与x轴有两个不同的交点（2）由抛物线的顶点在x轴上方，对称轴为当（3）由图象可知，当时，由例9.如图，半圆的直径AC2，点B在半圆上，CB不与CA重合，F在AC上，且AEBC，EFAC于F，设BCx，
11、EFy，求y与x的函数关系式和自变量的取值范围，并在直角坐标系中画出它的图象。分析：求几何图形中的函数关系式，通常就是寻求自变量与函数之间的一个等量关系式，可用几何的方法证AEFACB得到比例式求出y与x的函数关系式。解：AC是直径，B90°又EFAC，BAFE，AAAEFACB当B为的中点时，E与B重合，此时，自变量x的取值范围是，它的图象如图所示例10.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单位不得高于每千克70元，也不得低于30元，市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克，在销售过
12、程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算），设销售单价为x元，日均获利为y元。（1）求y与x的二次函数关系式，并注明x的取值范围。（2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标，在如图所示的坐标系中画出草图，观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？分析：首先明确获利的含义，即每千克获利销售单价购进单价，其次注意自变量的取值范围由此在画图象时只能是原函数图象的一部分。在（3）中必须分别计算这两种销售方式的总获利，通过比较大小作答：解：（1）若销售单
13、价为x元，则每千克降低了（70x）元，日均多售出2（70x）千克，日均销售量为602（70x）千克，每千克获利（x30）元。依题意得：（2）由（1）有顶点坐标为（65，1950），其图象如图所示，经观察可知，当单价为65元时，日均获利最多是1950元。（3）当日均获利最多时：单价为65元，日均销售量为那么获总利为元，当销售单价最高时：单价为70元，日均销售60kg，将这批化工原料全部售完需天，那么获总利为元，而时且元。销售单价最高时获总利最多，且多获利26500元。（四）、智能训练练习四（二次函数）（一）、精心选一选：1.已知：抛物线的最小值为1，那么c的值是（ ）A.10B.9C.8D.72
14、.已知二次函数的图象过点（1，1），（2，4），（0，4）三点，那么它的对称轴是直线（ ）A.B.C.D.3.一个二次函数的图象过（1，5），（1，1）和（3，5）三个点，则这个二次函数的关系式为（ ）A.B.C.D.4.已知函数的图象如图1，则此函数的关系式为（ ）A.B.C.D.5.下列命题中，错误的是（ ）A.抛物线不与x轴相交B.函数的图象关于直线对称C.抛物线形状相同，位置不同D.抛物线经过原点6.已知函数的图象经过第一、二、三象限，那么的图象大致为（ ）（二）、细心填一填7.抛物线与形状_，位置_。当a>0时，抛物线的开口_；当a<0时，开口_。8.抛物线的对称轴是直线
15、_，顶点坐标是_。9.，配方后可得到y=_。因此，抛物线的对称轴是_，顶点坐标是_。10.抛物线向上平移两个单位，则抛物线的解析式为_，它的顶点坐标为_，它的对称轴方程为_。11.抛物线的图象向右平移2个单位，那么抛物线的解析式为_，顶点为_，对称轴为_。12.如果函数的图象过，则c的值为_。13.如果函数的图象的顶点的横坐标为1，则a的值为_。14.把二次函数化成的形式，结果是_。（三）、用心做一做：15根据下列条件，求二次函数的解析式（1）图象经过点（1，3），（1，3），（2，6）（2）抛物线顶点坐标为（1，9），并且与y轴交于（0，8）（3）抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点为（2
16、，0），与y轴交于点（0，12）（4）图象顶点坐标是（2，5），且过原点（5）图象与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0）且函数有最小值5。（6）当x2时，函数的最大值是1，且图象与x轴两个交点之间的距离为2。16.某商场以每台2500元进口一批彩电，如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？17.某一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，若行车道总宽度AB为6m，请计算车辆经过隧道时的限制高度是多少米？（精确到0.1m）。【智能训练答案】一、精心选一选1.A2.D3.B4.A5.B6.A二、细心填一填： 7. 相同，不同，向上，向下。8 9. 10. 11. ，（2，0）， 12 。 13. -2。 14. 三、用心做一做15、（1） （2） （3）（4） （5） （6）16.定价为3000元时，可获最大利润元。17.货车限高为3.2m。专心-专注-专业