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1、精选优质文档-倾情为你奉上函数的奇偶性一、知识回顾1.关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数的定义域内任意一个： 是偶函数；奇函数；注意：函数的定义域关于原点对称的函数不一定是奇（偶）函数，但是反过来一定成立。2、关于奇偶函数的图像特征 奇函数的图象关于 对称；偶函数的图象关于 对称。3、函数的奇偶性的几个性质、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；、可逆性： 是偶函数；奇函数；、等价性：、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇
2、非偶函数。4、函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查是否与、 相等，判断步骤如下：、 定义域是否关于原点对称；、 数量关系哪个成立；偶函数判断与的关系 定义域不关于定义域关于奇函数原点对称函数定义域举反例定义域不关于原点对称非奇非偶函数定义域第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。5、关于函数按奇偶性的分类全体实函数可
3、按奇偶性分为四类：奇偶数、偶函数、既是奇函数也是偶函数、非奇非偶函数。二典型例题考点1：奇偶性的判定例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 、 、 、 、 、 、解：为奇函数 为偶函数 为非奇非偶函数 为非奇非偶函数 为非奇非偶函数 既是奇函数也是偶函数注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。例2：判断函数的奇偶性。 练习：判断函数的单调性。考点2：关于函数奇偶性的简单应用题型1.利用定义解题例3.已知函数，若为奇函数，则_ _。题型2、利用奇偶性求函数值例4：已知且，那么 -26 .练习：已知且，那么 27 题型3、利用奇偶性比较大小例5：已知偶函数在上为减函数，比较，的大小。解： 在上为减
4、函数且为偶函数在上为增函数。练习:已知f (x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，设af (3)，bf (2)，cf (1)，则a，b，c的大小关系是 (D)A.c<b<a B.b<c<a C.c>a>b D.a<b<c题型4.利用奇偶性求解析式例6：已知为偶函数，求的解析式？练习：1.是定义在上的偶函数，且时，则当时，= .2. 已知函数f(x)是定义在(,+)上的偶函数. 当x(,0)时，f(x)=x-x4，则 当(0.+)时，f(x)= .题型5、利用奇偶性讨论函数的单调性例7：若是偶函数，讨论函数的单调区间？练习：在上定义的
5、函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数（ ）A.在区间上是增函数，区间上是增函数B.在区间上是增函数，区间上是减函数C.在区间上是减函数，区间上是增函数D.在区间上是减函数，区间上是减函数题型6、利用奇偶性求参数的值 例8：定义在R上的偶函数在是单调递减，若，则的取值范围是如何？练习、已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。题型7、利用图像解题例9.设奇函数f(x)的定义域为-5,5.若当x0,5时, f(x)的图象如右图,则不等式的解是 练习：若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)<0的x的取值范围是 ( )A.(-¥
6、,2) B. (2,+¥) C. (-¥,-2)È(2,+¥) D. (-2,2)三课后习题1下列说法中不正确的是 （ ）A图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数 B奇函数的图象一定经过原点 C偶函数的图象若不经过原点，则它与x轴的交点的个数一定为偶数 D图象关于y轴成轴对称的函数一定是偶函数2函数:,其中是非奇非偶函数的是 ( ) A. (1)(2)(3) B. (1)(3)(4) C. (1)(3) D.(1)3若是偶函数,则是 ( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数4. 如果奇函数在区间3,7上是增函数且最小值
7、是5,则在-7,-3上 ( ) A. 是增函数, 最小值是-5 B. 是增函数,最大值是-5 B. 是减函数, 最小值是-5 C. 是减函数, 最大值是-55.若y=f（x）（xR）是奇函数，则下列各点中，一定在曲线y=f（x）上的是（ ）A（a，f（a） B（sina，f（sina）C（lga，f（lg） D（a，f（a）6. 已知是R上的奇函数，则a = 7. 若f(x)为奇函数，且在(-,0)上是减函数，又f(-2)=0，则xf(x)<0的解集为_8. 已知y=f(x)是偶函数，且在上是减函数，则f(1x2)是增函数的区间是 9. 判断下列函数的奇偶性：（1） （2） （3）10.
8、设是上的奇函数，且当时，求当 时的解析式。11.已知函数是定义在R上的奇函数,当时，求在R上的解析式.12. 是定义在上的奇函数,且是单调递减函数,若,求实数的取值范围。13.已知函数是奇函数,且上是增函数,(1)求a,b,c的值;(2)当x-1,0)时,讨论函数的单调性.解(1)是奇函数，则 由, 由又.当当a=1时,b=1,14.定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k·3)+f(3-9-2)0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围 分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f
9、(-x)=-f(x)成立在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，yR)， 令x=y=0，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0令y=x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)即f(-x)=-f(x)对任意xR成立，所以f(x)是奇函数(2)解：f(3)=log30，即f(3)f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数f(k·3)-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k·3-3+9+2，3-(1+k)·3+20对任意xR都成立令t=30，问题等价于t-(1+k)t+20对任意t0恒成立令f(t)=t2(1+k)t+2,其对称轴当时,f(0)=2>0,符合题意;当时,对任意t>0,f(t)>0恒成立综上所述,所求k的取值范围是专心-专注-专业