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1、第一章第一章 数列数列高一数学备课组高一数学备课组2015.3.182015.3.18 1 1 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法教学目标1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；了解数列是一种特殊的函数；2、过程与方法：通过三角形数与正方形数引入数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。重点难点教学重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型
2、。教学难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。教学设计一、引入新课一、引入新课有人说，大自然是懂数学的，不知你注意过没有，树木的分叉、花瓣的数量、植物种子的排列等等，都遵循着某种数学规律，大家能想到它们涉及了那些数学规律吗？通过本课时的学习，这些问题都会得到解决。二、新课二、新课学生阅读课本完成下列题目：（一）、考考你 寻找规律，在空格出填写数字11、11111、（）、（）、568232.2、-4、（）、-8、10、（）143.（）、22、32
3、、42、52、（）、72思考 1：以上几组数有什么特征？观察、讨论、分析归纳特点：上面的数字都是有规律的。从具体例子引出数列概念，激发学生的兴趣。（二）、知识探究1、根据上面几组数归纳出数列的概念：数列是一列按一定次序排列的数。数列是一列按一定次序排列的数。思考 2：数列 1、2、3、4与 4、3、2、1是同一数列吗？答：不是，数列的有序性；2、数列的项如何表示数列的一般表示：a1,a2,an，表示法an练习：请大家举几个生活中数列的例子3、数列的分类1按项数分有穷数列和无穷数列按项的大小关系分递增数列、递减数列、常数列、摆动数列4、常数列：各项均为常数的数列（为等差、等比数列进一步学习作铺垫
4、）5、数列的通项公式项数：12345 n12345 n项：1491625（n2）246810（2n）仔细观察上面两个数列的项与它对应的项数，你能发现它们的关系吗？请写出项数与项之间的一个关系式。数列中的每一个数都对应着一个序号，反过来，每个序号也都对应着一个数。引出数列通项公式的定义：如果数列引出数列通项公式的定义：如果数列an的第的第 n n 项与序号项与序号 n n 之间的关系可以用一个式之间的关系可以用一个式子表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。子表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。6、数列与函数的关系观察上面的数列 2、4、6、8、10的通项公式与函数y=2x 的图像你有什
5、么发现？该数列通项公式为an 2n它的图像是一个个孤立的点，并且这些点都在函数 y=2x 的图像上。数列可以看作特殊的函数，序号是其自变量，项是序号所对应的函数值，数列的定义数列可以看作特殊的函数，序号是其自变量，项是序号所对应的函数值，数列的定义域是正整数集，或是正整数集的有限子集。域是正整数集，或是正整数集的有限子集。讲解注意讲解注意：（三）、解题研究学生上黑板完成课堂练习规范书写，落实目标1、根据下列数列的前几项写出数列的通项公式（1）1、3、5、7an 2n1（2）11111、an12233445nn1（3）1、2、3、2、5（4）-1、1、-1、1、-1、1annan1n（5）0、2
6、、0、2、0、20n奇数an2n偶数2、根据数列an的通项公式写出它的前 3 项，并求出a10。（1）annn 12解：由题意可知2211a2213112101033a3a1010 111314a1（2）an(1)n解：由题意可知na1(1)1 11a2(1)2 2a10(1)10 10102a3(1)3 33（强调规范书写过程。巩固概念，使学生对an与 n 的关系有更深刻的认识。）3、画出下列数列的图像（1）4、5、6、7、8、9（2）1、2、4、8、16通过图像进一步加深同学们对数列是一种特殊函数的理解。讲解注意讲解注意：三、课后作业三、课后作业习题 2.12,3,4 题四、小结四、小结1
7、、数列的定义2、数列的分类3、数列的通项公式4、数列的实质特殊的函数（离散函数）第二课时第二课时等差数列等差数列教学目标1、知识与技能：通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。2、过程与方法：让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。3、情态与价值：培养学生观察、归纳的能力，培
8、养学生的应用意识。重点难点教学重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差3数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。教学设计一、复习引入：一、复习引入：1回忆数列的定义，请举出一个具体的例子。表示数列有哪几种方法列举法、通项公式、递推公式。我们这节课接着学习一类特殊的数列等差数列。2
9、由生活中具体的数列实例引入（1）国际奥运会早期，撑杆跳高的记录近似的由下表给出：年份190019043.5319083.7319123.93高度（M）3.33你能看出这 4 次撑杆条跳世界记录组成的数列，它的各项之间有什么关系吗？（2）某剧场前 10 排的座位数分别是：48、46、44、42、40、38、36、34、32、30引导学生观察：数列、有何规律?引导学生得出“从第2 项起，每一项与前一项的差都是同一个常数”，我们把这样的数列叫做等差数列.（板书课题）二二.新课探究，推导公式新课探究，推导公式1.等差数列的概念：如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就
10、叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 来表示。强调：“从第二项起”满足条件；公差 d 一定是由后项减前项所得；每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数”）；所以上面的 2、3 都是等差数列，他们的公差分别为 0.20，-2。练习一 判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项 a1和公差 d，如果不是，说明理由。1.3，5，7，d=22.9，6，3，0，-3，d=-33.0，0，0，0，0，0，.;d=04.1，2，3，2，3，4，；45.1，0，1，0，1，通过练习，加深对概念的理解,由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是02等差数列通项公式
11、如果等差数列an首项是a1，公差是d，那么根据等差数列的定义可得：a2-a1=d 即：a2=a1+da3 a2=d 即：a3=a2+d=a1+2da4 a3=d 即：a4=a3+d=a1+3d猜想:a40=a1+39d进而归纳出等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d此时指出：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法-迭加法：n=a1+(n-1)da2-a1=da3-a2=da4a3=danan-1=d将这（n-1）个等式左右两边分别相加，就可以得到an-a1=(n-1)d即 an=a1+(n-
12、1)d（）当 n=1 时，（）也成立，所以对一切n N*，上面的公式（）都成立，因此它就是等差数列an的通项公式。讲解注意讲解注意：三应用举例三应用举例例 1：（1）求等差数列，12，8，4，0，的第 10 项；20 项；第 30 项；（2）-401 是不是等差数列-5，-9，-13，的项？如果是，是第几项？解：（1）由 a1=12，d=8-12=-4，n=10 得 a10=12+（10-1）（-4）=-24（2）解：由 a1=-5，d=-9-（-5）=-4，得5 an=-5+（n-1）（-4）=-4n-1令-4n-1=-401，解得 n=100即-401 是这个数列的第 100 项例 2 在
13、等差数列an中，已知 a4=7，a9=22，求首项 a1与公差 d。在前面例 1 的基础上将例 2 当作练习作为对通项公式的巩固讲解注意讲解注意：四反馈练习四反馈练习1练习 A 组第 1 题和第 2 题（要求学生在规定时间内做完上述题目，教师提问）。目的：使学生熟悉通项公式对学生进行基本技能训练。2.如果直角三角形的三条边的长度成等差数列，且较长的直角边的长度为a，求较短直角边与斜边的长度。目的：对学生加强建模思想训练。五归纳小结五归纳小结提炼精华提炼精华（由学生总结这节课的收获）1.等差数列的概念及数学表达式强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数2.等差数列的通项公式
14、an=a1+(n-1)d 会知三求一六课后作业六课后作业运用巩固运用巩固必做题：课本 P284 习题 A 组第 3，4，5 题选做题：已知等差数列an的首项 a=-22，第 10 项是第一个大于 1 的项。求公差 d 的取值范围。第三课时第三课时等差数列的前等差数列的前 n n 项和项和教学目标1知识与技能：通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。2.过程与方法：通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第 k 项与倒数第 k 项的和等于首项与末项的和这个规律；由
15、学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。3情态与价值：培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。重点难点教学重点：探索并掌握等差数列的前 n 项和公式；学会用公式解决一些实际问题，体会等差数列的前 n 项和与二次函数之间的联系。教学难点：等差数列前 n 项和公式推导思路的获得，灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题6教学设想（一）（一）、创设情景，提出问题、创设情景，提出问题印度著名景点-泰姬陵，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共
16、有 100 层。你知道这个图案一共花了多少颗宝石吗？从而提出问题怎样快速地计算1+2+3+100=？（学生思考），著名的数学家高斯十岁时就用简便的方法计算出 1+2+3+100=5050，介绍高斯的算法。（二）（二）、教授新课：、教授新课：数学的方法并不是单一的，还有其他的方法计算1+2+3+100 吗？（学生思考）老师介绍倒序相加求和法：记S=1+2+3+100 S=100+99+98+1可发现上、下这两个等式对应项的和均是101，所以2S=（1+100）+（2+99）+（3+98）+（100+1）2S=101100=1010010100S=50502如果要计算1,2,3,(n-1),n这
17、n 个数的和呢？（学生独立思考），老师引导，类似上面的算法，可得S=1 n n21,2,3，,(n-1),n这是一个以 1 为公差的等差数列，它的和等于S=对于公差为 d 的等差数列，它们的和也是如此吗？1 n n2，首先，一般地，我们称a1a2a3 an为数列an的前 n 项和，用Sn表示，即Sn a1 a2 a3 an类似地：Sn a1 a2 a3 an a1Sn an an 1 an2+：2Sna1 ana2 an 1a3 an 2an a1a1ana2an 1a3an 2ana12Sn n(a1 an)由此得：Snn(a1 an)公式 12由等差数列的通项公式an a1n1d有，Sn
18、na17nn 12d公式 2讲解注意讲解注意：（三）（三）、例题讲解：、例题讲解：（1）、利用上述公式求 1+2+3+100=?（学生独立完成）（2）、例：等差数列an中，已知：a1 4,a8 18,n 8,求前 n 项和Sn及公差 d.（教师引导，师生共同完成）选用公式：根据已知条件选用适当的公式Snn(a1 an)求出Sn2变用公式：要求公差 d，需将公式 2Sn na1nn 12d变形运用，求 d知三求二等差数列的五个基本量知三可求另外两个讲解注意讲解注意：（四）（四）、课堂小结：、课堂小结：1、公式的推导方法:倒序求和2、等差数列的前 n 项和公式nn 1n(a1 an)SnSn na1d223、公式的应用。8