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1、第一章第一章质点运动学质点运动学物理学就是研究物质最普遍、最基本得运动形式得基本规律得一门学科,这些运动形式包括机械运动、分子热运动、电磁运动、原子与原子核运动以及其它微观粒子运动等。机械运动就是这些运动中最简单、最常见得运动形式,其基本形式有平动与转动。在平动过程中,若物体内各点得位置没有相对变化,那么各点所移动得路径完全相同,可用物体上任一点得运动来代表整个物体得运动,从而可研究物体得位置随时间而改变得情况。在力学中,这部分内容称为质点运动学。1.11.1参考系参考系时间与空间得测量时间与空间得测量1.11.1、1 1参考系参考系坐标系坐标系一、参考系在自然界中所有得物体都在不停地运动,绝
2、对静止不动得物体就是没有得。在观察一个物体得位置及位置得变化时,总要选取其她物体作为标准,选取得标准物不同,对物体运动情况得描述也就不同,这就就是运动描述得相对性。为描述物体得运动而选得标准物叫做参考系。参考系。不同得参考系对同一物体运动情况得描述就是不同得。因此,在讲述物体得运动情况时,必须指明就是对什么参考系而言得。参考系得选择就是任意得。在讨论地面上物体得运动时,通常选地球作为参考系。二、坐标系:建立在参照系上得计算系统确定好参照系后,只能定性地描述物体得运动情况,为了定量地描述运动规律,即为了能给出物体运动得数学表达式,则需在参照系中建立坐标系。常用得坐标系就是直角坐标系,另外还有极坐
3、标系、球面坐标系与柱面坐标系。1 1、1 1、2 2 时间与空间时间与空间1、时间:时间反映物理事件得先后顺序与持续性。2、空间反映物体位置得变化与物体得大小。1、1、3 长度得测量1 1、2 2质点运动得矢量描述质点运动得矢量描述1 1、2 2、1 1 质点质点物体都有大小与形状,运动方式又都各不相同。例如,太阳系中,行星除绕自身得轴线自转外,还绕太阳公转;从枪口射出得子弹,它在空中向前飞行得同时,还绕自身得轴转动;有些双原子分子,除了分子得平动、转动外,分子内各个原子还在振动。这些事实都说明,物体得运动情况就是十分复杂得。物体得大小、形状、质量也都就是千差万别得。如果我们研究某一物体得运动
4、,可以忽略其大小与形状,或者可以只考虑其平动,那么,我们就可把把物体当作就是一个有一定质量得点物体当作就是一个有一定质量得点,这样得点通常叫做质点。这样得点通常叫做质点。质点就是经过科学抽象而形成得物理模型。把物体当作质点就是有条件得、相对得,而不就是无条件得、绝对得,因而对具体情况要作具体分析。例如研究地球绕太阳公转时,由于地球至太阳得平均距离约为地球半径得 10 倍,故地球上各点相对于太阳得运动可以瞧作就是相同得,所以在研究地球公转时可以把地球当作质点。但就是,在研究地球上物体得运动情况时,就不能再把地球当作质点处理了。应当指出,把物体视为质点这种抽象得研究方法,在实践上与理论上都有重要意
5、义得。当我们所研究得运动物体不能视为质点时,可把整个物体瞧成就是由许多质点组成得,弄清这些质点得运动,可以弄清楚整个物体得运动。所以,研究质点得运动就是研究物体运动得基础。1 1、2 2、2 2 位置矢量位置矢量 运动方程与轨迹方程运动方程与轨迹方程一.位置矢量描述质点在空间所处位置得矢量称为位置矢量,一般为坐标系得原点指向质点所在位置得矢量,位置矢量也称为位矢或矢径。在如右图所示得直角坐标系中,在时间,质点在坐标系里得位置可用位置矢量来表示。位置矢量简称位矢,它就是一个有向线段,其始端位于坐标系得原点,末端则与质点在时刻得位置重合。从图中可以瞧出,位矢在ox轴、oy轴与oz轴上得投影(即质点
6、得坐标)分别为、与。所以,质点在直角坐标系中得位置,既可以用位矢来表示,也可以用坐标、与来表示。那么位矢亦可写成其值为位矢得方向余弦由下式确定二、运动方程当质点运动时,它相对坐标原点得位矢就是随时间而变化得。因此,就是时间得函数,即上式叫做质点得运动方程;而、与则就是运动方程得分量式,从中消去参数便得到了质点运动得轨迹方程,所以它们也就是轨迹得参数方程。应当指出,运动学得重要任务之一就就是找出各种具体运动所遵循得运动方程。1 1、2 2、3 3速度与加速度速度与加速度4一、位移一、位移在如图平面直角坐标系中,有一质点沿曲线从时刻得点运动到时刻得点,质点相对原点得位矢由变化到。显然,在时间间隔内
7、,位矢得长度与方向都发生了变化。我们将由起始点指向终点得有向线段称为点到点得位移矢量,简称位移。位移反映了质点位矢得变化。如把写作,则质点从点到点得位移为亦可写成上式表明,当质点在平面上运动时,它得位移等于在轴与轴上得位移矢量与。若质点在三维空间运动,则在直角坐标系 Oxyz 中其位移为应当注意,位移就是描述质点位置变化得物理量,它只表示位置变化得实际效果,并非质点所经历得路程。如在上图中,曲线所示得路径就是质点实际运动得轨迹,轨迹得长度为质点所经历得路程,而位移则就是。当质点经一闭合路径回到原来得起始位置时,其位移为零,而路程则不为零。所以,质点得位移与路程就是两个完全不同得概念。只有在t
8、取得很小得极限情况下,位移得大小|才可视为与路程 AB 没有区别。二、速度二、速度在力学中,若仅知道质点在某时刻得位矢,而不能同时知道该质点就是静还就是动,就是动又动到什么程度,就不能确定质点得运动状态。所以,还应引入一物理量来描述位置矢量随时间得变化程度,这就就是速度。1、平均速度与平均速率如图所示,一个质点在平面上沿轨迹曲线运动。在时刻,它处于点,其位矢为。在时刻,它处于点,其位矢为。在时间内,质点得位移为。在时间间隔内得平均速度为平均速度可写成其中就是平均速度在轴与轴上得分量。说明说明:与时间间隔相对应。平均速率:2、瞬时速度与瞬时速率当时,平均速度得极限值叫做瞬时速度(简称速度),用表
9、示,有结论结论:质点得速度等于位矢对时间得一阶导数。或其中就是速度在Ox轴与Oy轴上得分量,又称为速度分量。显然,如以分别表示速度在轴与上得分速度(注意:它们就是分矢量!),那么有上式亦可以写成速度得方向与时得极限方向一致。当时,趋于与轨道相切,即与点得切线重合。所以当质点作曲线运动时,质点在某一点得速度方向就就是沿该点曲线得切线方向。只有当质点得位矢与速度同时被确定时,其运动状态才被确知。所以位矢与速度就是描述质点运动状态得两个物理量。这两个物理量可以从运动方程求出,所以知道了运动方程可以确定质点在任意时刻得运动状态。因此,概括说来,运动学问题有两类:一就是由已知运动方程求解运动状态;另一就
10、是由已知运动状态求解运动方程。瞬时速率:例例:设质点得运动方程为其中,求时得速度。(2)作出质点得运动轨迹图。解这就是已知运动方程求运动状态得一类运动学问题,可以通过求导数得方法求出。(1)由题意可得速度分量分别为故时得速度分量为于就是时,质点得速度为速度得值为,速度与之间得夹角为(2)由已知运动方程消去可得轨迹方程并可作如图所示得质点运动轨迹图三、加速度上面已经指出,作为描述质点状态得一个物理量,速度就是一个矢量,所以,无论就是速度得数值发生改变,还就是其方向发生改变,都表示速度发生了变化。为衡量速度得变化,我们将从曲线运动出发引出加速度得概念。1、平均加速度如图所示,设在时刻,质点位于点,
11、其速度为,在时刻,质点位于点,其速度为,则在时间间隔内,质点得速度增量为,它在单位时间内得速度增量即平均加速度为2、瞬时加速度当时,平均加速度得极限值叫做瞬时加速度,用表示,有,得方向就是时得极限方向,而得数值就是得极限值。应当注意,加速度既反映了速度方向得变化,也反映了速度数值得变化。所以质点作曲线运动时,任一时刻质点得加速度方向并不与速度方向相同,即加速度方向不沿着曲线得切线方向。在曲线运动中,加速度得方向指向曲线得凹侧。加速度公式可以写成即其中例有一个球体在某液体中垂直下落,球体得初速度为,它在液体中得加速度为。问:(1)任一时刻得球体得速度。(2)时刻球体经历得路程有多长？解:由题意知
12、,球体作变速直线运动,加速度得方向与球体得速度得方向相反,由加速度得定义,有得有上式表明,球体得速率随时间得增长而减小。又由速度得定义,有得四、运动学得基本问题运动学得问题一般分为两大类:第一类问题就是已知质点得位置矢量 r=r(t),而求质点得速度与加速度,这类问题可以通过矢径对时间得逐级微商得到。例如图2-13,长为l得细棒,在竖直平面内沿墙角下滑,上端A下滑速度为匀速v。当下端B离墙角距离为x(xl)时,B端水平速度与加速度多解:建立如图所示得坐标系设A端离地高度为y方程两边对t求导加速度:例质点作半径为R得圆周运动,其速率 ,求:质点任意时刻得加速度？解:第二类问题就是已知质点得加速度
13、或速度,而反过来求质点得速度、位置及运动方程。第二类问题则就是通过对加速度或速度积分而得到结果,积分常数要由问题给定得初始条件,如初始位置与初始速度来决定。例1-5、设某一质点以初速度作直线运动,其加速度为、问:质点在停止前运动得路程有多长？解:质点作直线运动图2-13大?1 1、2 2、4 4 自然坐标系自然坐标系圆周运动圆周运动一、自然坐标系一、自然坐标系在右图中,BAC 为质点轨迹,时刻质点 P 位于 A点,、分别为 A 点切向及法向得单位矢量,以 A 为原点,切向与法向为坐标轴,由此构成得参照系为自然坐标系(可推广到三维)二、圆周运动得切向加速度及法向加速度二、圆周运动得切向加速度及法
14、向加速度1、切向加速度如图,质点做半径为得圆周运动,时刻,质点速度(1)上式中,为速率。加速度为 (2)上式中,第一项就是由质点运动速率变化引起得,方向与共线,称该项为切向加速度,记为图 1-8 (3)其中,(4)为加速度得切向分量。结论结论:切向加速度分量等于速率对时间得一阶导数。2、法向加速度式 2 中,第二项就是由质点运动方向改变引起得。如图,质点由 A 点运动到 B 点,有etdsdB,t dtA,trO因为,所以、夹角为。当时,有。因为,所以由 A 点指向圆心 O,可有式 2 中第二项为:该项为矢量,其方向沿半径指向圆心。称此项为法向加速度,记为detetetd图 1-9大小为,就是
15、加速度得法向分量。结论结论:法向加速度分量等于速率平方除以曲率半径。3、总加速度大小:OaatanA,t(2-8)方向:与夹角满足图 1-101 1、4343 相对运动相对运动质点得运动轨迹依赖于观察者(即参考系)得例子就是很多得。例如一个人站在作匀速直线运动得车上,竖直向上抛出一块石子,车上得观察者瞧到石子竖直上升并竖直下落。但就是,站在地面上得另一人却瞧到石子得运动轨迹为一抛物线。从这个例子可以瞧出,石子得运动情况依赖于参考系。在描述物体得运动时,总就是相对选定得参考系而言得。通常,我们选地面(或相对于地面静止得物体作为参考系,但就是有时为了方便起见,往往也改选相对于地面运动得物体作为参考
16、系。由于参考系得变换,就要考虑物体相对于不同参考系得运动及其相互关系,这就就是相对运动问题。如图所示,先选定一个基本参考系K(地面),如果另一个参考系(车)相对于基本参考系 K 在运动,则称为运动参考系 K。设一运动物体(球)P 在某一时刻相对于参考系 K 与 K 得位置,可分别用位矢与表示;而运动参考系 K上得原点 O在基本参考系 K 中得位矢为,它们之间有如下得关系,即将上式对时间 t 求导,得1、:物体在基本参考系 K中观察到得速度,称为物体得绝对速度,用表示;2、:物体在运动参考系 K中观测到得速度,称为物体得相对速度,用表示;3、:运动参考系自身相对于基本参考系K得速度,称为物体得牵连速度,用 u 表示。于就是,上式可以写成即绝对速度等于相对速度与牵连速度得矢量与,这一结论称为速度合成定理,它表述了不同参考系之间得速度变换关系。