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1、-第一章第二章第三章 大学物理教案(第一章质点运动学)-第 9 页第四章 质点运动学物理学是研究物质最普遍、最基本的运动形式的基本规律的一门学科,这些运动形式包括机械运动、分子热运动、电磁运动、原子和原子核运动以及其它微观粒子运动等。机械运动是这些运动中最简单、最常见的运动形式 ,其基本形式有平动和转动。在平动过程中,若物体内各点的位置没有相对变化,那么各点所移动的路径完全相同,可用物体上任一点的运动来代表整个物体的运动,从而可研究物体的位置随时间而改变的情况。在力学中,这部分内容称为质点运动学。11参考系 时间和空间的测量11.1参考系 坐标系一、参考系在自然界中所有的物体都在不停地运动,绝
2、对静止不动的物体是没有的。在观察一个物体的位置及位置的变化时,总要选取其他物体作为标准,选取的标准物不同,对物体运动情况的描述也就不同，这就是运动描述的相对性。为描述物体的运动而选的标准物叫做参考系。不同的参考系对同一物体运动情况的描述是不同的。因此,在讲述物体的运动情况时,必须指明是对什么参考系而言的。参考系的选择是任意的。在讨论地面上物体的运动时,通常选地球作为参考系 。二、坐标系：建立在参照系上的计算系统确定好参照系后，只能定性地描述物体的运动情况，为了定量地描述运动规律，即为了能给出物体运动的数学表达式，则需在参照系中建立坐标系。常用的坐标系是直角坐标系，另外还有极坐标系、球面坐标系和
3、柱面坐标系。1.1.2时间和空间1、时间：时间反映物理事件的先后顺序和持续性。2、空间反映物体位置的变化和物体的大小。1.1.3长度的测量1.2 质点运动的矢量描述1.2.1质点物体都有大小和形状,运动方式又都各不相同。例如,太阳系中,行星除绕自身的轴线自转外, 还绕太阳公转；从枪口射出的子弹,它在空中向前飞行的同时,还绕自身的轴转动；有些双原子分子,除了分子的平动、转动外,分子内各个原子还在振动。这些事实都说明,物体的运动情况是十分复杂的。物体的大小、形状、质量也都是千差万别的。如果我们研究某一物体的运动,可以忽略其大小和形状,或者可以只考虑其平动,那么, 我们就可把物体当作是一个有一定质量
4、的点,这样的点通常叫做质点。质点是经过科学抽象而形成的物理模型。把物体当作质点是有条件的、相对的,而不是无条件的、绝对的,因而对具体情况要作具体分析。例如研究地球绕太阳公转时，由于地球至太阳的平均距离约为地球半径的 104 倍, 故地球上各点相对于太阳的运动可以看作是相同的,所以在研究地球公转时可以把地球当作质点。但是,在研究地球上物体的运动情况时,就不能再把地球当作质点处理了。应当指出, 把物体视为质点这种抽象的研究方法,在实践上和理论上都有重要意义的。当我们所研究的运动物体不能视为质点时,可把整个物体看成是由许多质点组成的,弄清这些质点的运动,可以弄清楚整个物体的运动。所以,研究质点的运动
5、是研究物体运动的基础。1.2.2 位置矢量 运动方程和轨迹方程一位置矢量描述质点在空间所处位置的矢量称为位置矢量，一般为坐标系的原点指向质点所在位置的矢量，位置矢量也称为位矢或矢径。在如右图所示的直角坐标系中，在时间，质点在坐标系里的位置可用位置矢量来表示。位置矢量简称位矢，它是一个有向线段，其始端位于坐标系的原点，末端则与质点在时刻的位置重合。从图中可以看出，位矢在ox轴、oy轴和oz轴上的投影(即质点的坐标)分别为、和。所以，质点在直角坐标系中的位置，既可以用位矢来表示，也可以用坐标、和来表示。那么位矢亦可写成其值为位矢的方向余弦由下式确定二、运动方程当质点运动时，它相对坐标原点的位矢是随
6、时间而变化的。因此，是时间的函数，即上式叫做质点的运动方程；而、和则是运动方程的分量式，从中消去参数便得到了质点运动的轨迹方程, 所以它们也是轨迹的参数方程。应当指出, 运动学的重要任务之一就是找出各种具体运动所遵循的运动方程。1.2.3速度和加速度一、位移在如图平面直角坐标系中，有一质点沿曲线从时刻的点运动到时刻的点，质点相对原点的位矢由变化到。显然，在时间间隔内，位矢的长度和方向都发生了变化。我们将由起始点指向终点的有向线段称为点到点的位移矢量，简称位移。位移反映了质点位矢的变化。如把写作，则质点从点到点的位移为亦可写成上式表明，当质点在平面上运动时，它的位移等于在轴和轴上的位移矢量和。若
7、质点在三维空间运动，则在直角坐标系Oxyz中其位移为 应当注意,位移是描述质点位置变化的物理量, 它只表示位置变化的实际效果,并非质点所经历的路程。如在上图中,曲线所示的路径是质点实际运动的轨迹,轨迹的长度为质点所经历的路程, 而位移则是。当质点经一闭合路径回到原来的起始位置时,其位移为零,而路程则不为零。所以,质点的位移和路程是两个完全不同的概念。只有在t 取得很小的极限情况下,位移的大小|才可视为与路程 AB 没有区别。二、速度在力学中,若仅知道质点在某时刻的位矢,而不能同时知道该质点是静还是动,是动又动到什么程度,就不能确定质点的运动状态。所以，还应引入一物理量来描述位置矢量随时间的变化
8、程度，这就是速度。1、平均速度和平均速率如图所示，一个质点在平面上沿轨迹曲线运动。在时刻，它处于点，其位矢为。在时刻，它处于点，其位矢为。在时间内，质点的位移为。在时间间隔内的平均速度为平均速度可写成 其中 是平均速度在轴和轴上的分量。 说明：与时间间隔相对应。平均速率：2、 瞬时速度和瞬时速率当时，平均速度的极限值叫做瞬时速度(简称速度)，用表示，有结论：质点的速度等于位矢对时间的一阶导数。或 其中是速度在Ox轴和Oy轴上的分量，又称为速度分量。显然，如以分别表示速度在轴和上的分速度(注意:它们是分矢量!)，那么有上式亦可以写成 速度的方向与时的极限方向一致。当时，趋于和轨道相切，即与点的切
9、线重合。所以当质点作曲线运动时，质点在某一点的速度方向就是沿该点曲线的切线方向。 只有当质点的位矢和速度同时被确定时，其运动状态才被确知。所以位矢和速度是描述质点运动状态的两个物理量。这两个物理量可以从运动方程求出，所以知道了运动方程可以确定质点在任意时刻的运动状态。因此，概括说来，运动学问题有两类:一是由已知运动方程求解运动状态；另一是由已知运动状态求解运动方程。 瞬时速率：例： 设质点的运动方程为其中，求时的速度。 (2)作出质点的运动轨迹图。解 这是已知运动方程求运动状态的一类运动学问题，可以通过求导数的方法求出。(1)由题意可得速度分量分别为故时的速度分量为于是时，质点的速度为速度的值
10、为，速度与之间的夹角为(2)由已知运动方程消去可得轨迹方程并可作如图所示的质点运动轨迹图 三、加速度上面已经指出，作为描述质点状态的一个物理量，速度是一个矢量，所以，无论是速度的数值发生改变，还是其方向发生改变，都表示速度发生了变化。为衡量速度的变化，我们将从曲线运动出发引出加速度的概念。1、平均加速度如图所示，设在时刻，质点位于点，其速度为，在时刻，质点位于点，其速度为，则在时间间隔内，质点的速度增量为，它在单位时间内的速度增量即平均加速度为 2、瞬时加速度 当时，平均加速度的极限值叫做瞬时加速度，用表示，有，的方向是时的极限方向，而的数值是的极限值。 应当注意，加速度既反映了速度方向的变化
11、，也反映了速度数值的变化。所以质点作曲线运动时，任一时刻质点的加速度方向并不与速度方向相同，即加速度方向不沿着曲线的切线方向。在曲线运动中，加速度的方向指向曲线的凹侧。加速度公式可以写成即 其中 例 有一个球体在某液体中垂直下落，球体的初速度为，它在液体中的加速度为。问:(1)任一时刻的球体的速度。(2)时刻球体经历的路程有多长？解：由题意知，球体作变速直线运动，加速度的方向与球体的速度的方向相反，由加速度的定义，有得有上式表明，球体的速率随时间的增长而减小。又由速度的定义，有得 四、 运动学的基本问题运动学的问题一般分为两大类 :第一类问题是已知质点的位置矢量 r=r(t),而求质点的速度和
12、加速度,这类问题可以通过矢径对时间的逐级微商得到。例 如图2-13,长为l的细棒,在竖直平面内沿墙角下滑,上端A下滑速度为匀速v。当下端B离墙角距离为x (xl)时, B端水平速度和加速度多大?解：建立如图所示的坐标系 设A端离地高度为y方程两边对t求导 图2-13加速度:例 质点作半径为R的圆周运动，其速率 ,求：质点任意时刻的加速度 ？解： 第二类问题是已知质点的加速度或速度,而反过来求质点的速度、位置及运动方程。第二类问题则是通过对加速度或速度积分而得到结果, 积分常数要由问题给定的初始条件,如初始位置和初始速度来决定。例1-5. 设某一质点以初速度作直线运动,其加速度为 . 问：质点在
13、停止前运动的路程有多长？解：质点作直线运动1.2.4 自然坐标系 圆周运动一、自然坐标系在右图中，BAC为质点轨迹，时刻质点P位于A点，、分别为A点切向及法向的单位矢量，以A为原点，切向和法向为坐标轴，由此构成的参照系为自然坐标系（可推广到三维）二、圆周运动的切向加速度及法向加速度1、切向加速度如图，质点做半径为的圆周运动，时刻，质点速度 （1）上式中，为速率。加速度为 （2）上式中，第一项是由质点运动速率变化引起的，方向与共线，称该项为切向加速度，记为 （3）其中， （4）为加速度的切向分量。结论：切向加速度分量等于速率对时间的一阶导数 。 2、法向加速度式2中，第二项是由质点运动方向改变引
14、起的。如图，质点由A点运动到B点，有因为，所以、夹角为。当时，有。因为，所以由A点指向圆心O，可有式2中第二项为：该项为矢量，其方向沿半径指向圆心。称此项为法向加速度，记为大小为 ， 是加速度的法向分量。结论：法向加速度分量等于速率平方除以曲率半径 。3、总加速度大小： （2-8）方向：与夹角满足1.43 相对运动质点的运动轨迹依赖于观察者( 即参考系 )的例子是很多的。例如一个人站在作匀速直线运动的车上,竖直向上抛出一块石子,车上的观察者看到石子竖直上升并竖直下落。但是,站在地面上的另一人却看到石子的运动轨迹为一抛物线。从这个例子可以看出,石子的运动情况依赖于参考系。在描述物体的运动时，总是
15、相对选定的参考系而言的。通常，我们选地面（或相对于地面静止的物体作为参考系,但是有时为了方便起见，往往也改选相对于地面运动的物体作为参考系。由于参考系的变换，就要考虑物体相对于不同参考系的运动及其相互关系，这就是相对运动问题。如图所示，先选定一个基本参考系K（地面 ），如果另一个参考系（车）相对于基本参考系K在运动，则称为运动参考系K。设一运动物体（球）P在某一时刻相对于参考系K和K 的位置，可分别用位矢和表示；而运动参考系K上的原点O在基本参考系K中的位矢为，它们之间有如下的关系，即 将上式对时间t求导，得1. ：:物体在基本参考系K中观察到的速度，称为物体的绝对速度，用表示； 2. : 物体在运动参考系K中观测到的速度，称为物体的相对速度，用表示； 3. : 运动参考系自身相对于基本参考系K的速度，称为物体的牵连速度，用u表示。于是，上式可以写成 即绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和，这一结论称为速度合成定理，它表述了不同参考系之间的速度变换关系。