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1、高中数学基本不等式问题求解十例一、基本不等式的基础形式基本不等式的基础形式1a2 b2 2ab，其中a,bR，当且仅当a b时等号成立。2a b 2 ab，其中a,b0,，当且仅当a b时等号成立。a2b2 a b 23 常考不等式：，其中a,b0,，当且仅当a b时等号成立。ab 1122ab二、常见问题及其处理办法二、常见问题及其处理办法问题问题 1 1：基本不等式与最值：基本不等式与最值解题思路：（1）积定和最小：若ab是定值，那么当且仅当a b时，a bmin 2 ab。其中a,b0,（2）和定积最大：若a b是定值，那么当且仅当a b时，abmax例题例题 1 1：若实数a,b满足2
2、 2 1，则ab的最大值是ab2 a b，其中a,bR。22 2a 2b1ab2 2 2ab 22 a b 2，解析：解析：很明显，和为定，根据和定积最大法则可得：42当且仅当a b 1时取等号。变式：变式：函数y ax12(a 0,a 1)的图象恒过定点A，若点在直线mx ny 1上，则mn的最大值为_。解析：解析：由题意可得函数图像恒过定点A1,1，将点A1,1代入直线方程mx ny 1中可得m n 1，明1 m n1显，和为定，根据和定积最大法则可得：mn，当且仅当时取等号。m n 224例题例题 2 2：已知函数fx 2 x212x2，则fx取最小值时对应的x的值为_x解解析析：很明显
3、，积为定，根据积定和最小法则可得：2 12x2 2 2x12x21，当且仅当2x12x2 x 1时取等号。1的最小值为。x 21解解析析：由题意可得x 2 0,x 21，明显，积为定，根据和定积最大法则可得：x 2变式：变式：已知x 2，则x x 21 2x 2x 211 2，当且仅当x 2 x 2 1 x 1时取等号，此时可x 2x 2得x 1 0。x 2xa 恒成立，则 a 的取值范围是_x23x1例题例题 3 3：若对任意 x0，解析：解析：分式形式的不等式，可以考虑采用常数分离的方法。xx a a 22x 3x 1x 3x 1max解法 1：将xx1化简可得x 0，观察分母，很明显可以
4、得到积为定值，221x 3x 1x 3x 1x 3x111 2 x 2，当且仅当x x 1时取等号。故而可得分式的xxx根据积定和最小的法则可得：x 分母x 1111x1a，因此可得：。3 5 0 215x5x 13x5maxx 3xx1x1f x x 化简可得，令x 0 x 0，这是一个对x23x 1xx23x 1x 13x11 f1 2。故而分母x 3 fx3 5，代入分式函数取倒数xx解法 2：将勾函数，故而可得fx x 可得0 111x1a 因此可得：。215x 35x 13xmax5x问题问题 2 2：“1 1”的代换”的代换解题思路：根据fxm fxm 0，对所求内容进行乘除化简即
5、可。m14y1，且不等式xm23m有解，则实数m 的取值范围是。xy4例题例题 4 4：若两个正实数x、y 满足y 14 x 4xy1414y解析：解析：由题意可得1，左边乘以1可得：x，化简可得：41xyxyy4xy 14 y4x，很明显中积为定值，根据积定和最小的法则可得：x 114xy4xy4xyx 2y4xy 14 y4xy4x当且仅当时取等号。故而可得x 4。1 2 2，4xy4xy4xy4xyy 8不等式xyy m23m有解，亦即m23m x 4，亦即m23m 4 0，解得m 4或者4min4m 1，故而可得m,14,。变式：变式：若x 0，y 0，且12 2，则4x3y的最小值为
6、_2x yx y14 2乘以所求内容可得：2x y2x 2y解析：解析：由2x y 2x y 4x 3y，化简题干条件可得11444x 3y2x y 2x 2y2x y2x 2y2x y2x 2y4x 3y，化简后可得：222x 2y42x y 412x 2y42x y2x y2x 2y4x 3y，很明显中二者积为定值，根据积定和最小2x y2x 2y2法则可得2x 2y42x y2x 2y42x y2x 2y42x y 2，亦 2 4，当且仅当2x y2x 2y2x y2x 2y2x y2x 2yx 09即时取等号。此时可得。4x 3y3min2y 2问题问题 3 3：方程中的基本不等式：方
7、程中的基本不等式解题思路：将需要利用不等式的项移到方程的一边，利用基本不等式求解即可。12例题例题 5 5：（2015湖南高考）若实数 a，b 满足 ab，则 ab 的最小值为_ab解析：解析：由题意可知可以利用基本不等式，根据基本不等式可得：ab 121 22 2，当且仅 2aba bab112a 24当 b 2a时取等号，化简后可得：ab 2 2，此时5abb 24变式：变式：若 lg(3x)lgylg(xy1)，则 xy 的最小值为_解析：解析：将题干条件化简可得：lg3x y lgx y 13xy x y 1，由题意需要求解xy，故而可知利用不等式x y 2 xy，将条件化简可得：3x
8、y 1 x y 2 xy当且仅当x y时等号成立，化简上式可得3xy 1 2 xy 0 3 xy 1问题问题 4 4：含参基本不等式问题：含参基本不等式问题xy 1 0 xy 1 xy 1，此时x y 1解题思路：利用含参不等式的解法求解即可。a22a2421对于任意的x1,恒成立，则（）例题例题 6 6：已知xx xAa的最小值为3Ba的最小值为4Ca的最大值为 2Da的最大值为 4解析：解析：由题意可知参数为a，将自变量移项可得：a2 2a 2 4x4 x x，观察等式右侧，2x xx 1可知等式右侧经配凑可得积为定值，根据积定和最小可得：44 x 1 2x 1 4，当且仅x 1x 1当4
9、44 x 5。由a2 2a 2 x 1 x 3时取等号，此时可得 x对于任意的x 1x 1x 1min4a2 2a 2 x 5，化简可得a 3a 1 0，解得3 a 1。x1,恒成立可得：x 1min21m28m变式变式 6 6：已知 a0，b0，若不等式恒成立，则 m 的取值范围是。ab2a b解析：解析：由题意可知参数为 m，将双自变量a、b移项可得：m 8m 2 21 2a b恒成立，故而可ab得m 8m 2 212b2a 21 将不等式右侧化简可得2a b 5，很明显积2a b，abababmin2b2a2b 2a2b2a 2 4，当且仅当 a b 1时取等ababab为定值，根据积定
10、和最小法则可得：号。故而 21代入不等式中可得m28m 9化简为m9m1 0解不等式2a b 9，abmin可得1 m 9。问题问题 5 5：不等式与其他问题结合：不等式与其他问题结合（向量与不等式）（向量与不等式）例题例题 7 7：已知OA aOB bOC(a 0,b 0)，且A,B,C三点在同一条直线上，则的最小值为_11ab 11a b11baab 2，解析：解析：由三点共线可得a b 1，观察形式采用“1”的代换，故而ab1ab等式右侧积为定值，故而利用积定和最小法则可得：baab aba1 2 2，当且仅当 a b ba bab2时取等号。故而可得11ba 2 3。abab22（不等
11、式与解析几何）（不等式与解析几何）例题例题 8 8：若直线ax by 2 0（a 0，b0）被圆x y 2x4y 1 0截得的弦长为 4，则11的最小值为。ab22解析：解析：将圆化为标准方程可得x 1y 2 4，根据弦长为 4 可得直线经过圆心。将圆心1,2 11 a 2b11ab代入直线方程可得a 2b 2。观察求解形式可得采用“1”的代换方法，即，化ab2简可得11ab32baab很明显积为定，根据积定和最小法则可得：2ba 22ba 2 2，当且abab232baab3 2 2。222ba11a 2 2 2仅当时取等号，故而可得ababb 223x y6 0（基本不等式与线性规划）（基
12、本不等式与线性规划）例题例题 9 9：设x,y满足条件 x y2 0，若目标函数z axby（a 0,b 0）x 0,y 0的最大值为 12，则32的最小值为。ab解解析析：作出可行域如图所示：故而可得z ax+by在点H4,6取最大值，即4a6b 12 2a3b 6，由题意可得采用“1”的代换求解。322a 3b12 9b4a32abab，观察分子可得分子积为定值，根据积即ab663a 9b4a9b 4a9b4a 212，当且仅当定和最小法则可得：2时取abababb 1等号，故而可得32ab129b4aab 4。6（不等式与解三角形）例题（不等式与解三角形）例题 7 7：中，角，的对边分别
13、为，且2+2 2+=0.（1）求角的大小；（2）若=3，求的最大值.（3）求ABC周长的最值。.解析：（1）由题意与余弦定理可得a2 b2c22bccos A b2c2bc，解得cos A 222221，故而A 23a2b2 ab可得（2）由余弦定理可得a b c bc 3，故而bc 3 b c，由基本不等式2bc 3 b2c2 2bc bc 3，当且仅当b c 3时取“=”号。故而可得三角形的面积SABC1133bcsin A 333。22242 ab（3）由余弦定理可得a2 b2c2bc 3，故而bc b2c23，由基本不等式 ab可得：2bc 3 bc 2 3，2bc b2c22bc3 3bc bc3 3bc 34222当且仅当b c 3时取“=”号。故而可得三角形的周长CABC abc 3 3。