《2022年高中数学基本不等式的解法十例.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学基本不等式的解法十例.docx（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学基本不等式问题求解十例一、 基本不等式的基础形式1a2b22 ab ,其中a b2R ,当且仅当 ab 时等号成立；,当且仅当 ab时等号成立；2ab2ab ,其中a b0,当且仅当 ab 时等号成立；3常考不等式：a22b2b2ab121,其中a b0,aab二、常见问题及其处理方法问题 1：基本不等式与最值解题思路：名师归纳总结 - - - - - - -1积定和最小：假设ab 是定值,那么当且仅当ab 时,abmin2ab ；其中a b0,2和定积最大：假设ab 是定值,那么当且仅当ab 时,abmaxa2b2,其中a bR ；例
2、题 1：假设实数a b 满意 2a2 b1,就 ab 的最大值是解析：很明显,和为定,依据和定积最大法就可得：2a2b2a22b212ab22ab2,4当且仅当ab1时取等号；变式：函数yax1a0,a1的图象恒过定点A,假设点在直线mxny1上,就 mn 的最大值为 _；解析： 由题意可得函数图像恒过定点A1,1,将点A1,1代入直线方程mxny1中可得mn1,明显,和为定,依据和定积最大法就可得：mnm2n21,当且仅当mn1时取等号；42例题 2：已知函数fx2x212,就 fx 取最小值时对应的x 的值为 _x解 析 ： 很 明 显 , 积 为 定 , 根 据 积 定 和 最 小 法
3、就 可 得 ：2x2122 2x2121, 当 且 仅 当xx2x12x1时取等号；x 2变式： 已知x2,就xx12的最小值为；解 析 ： 由 题 意 可 得x20,x2x121, 明 显 , 积 为 定 , 根 据 和 定 积 最 大 法 就 可 得 ：第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - x2x122x2x122,当且仅当x2x12x21x1时取等号,此时可名师归纳总结 得xx120；第 2 页,共 6 页例题 3：假设对任意x0,x x 23x1a 恒成立,就a 的取值范畴是 _解析： 分式形式的不等式,可以考虑采纳常数别离的方法；2 xxx1aax2
4、xx1max33解法1：将2 xxx1化简可得x2xx1x13x0,观看分母,很明显可以得到积为定值,331x依据积定和最小的法就可得：x12x12,当且仅当x1x1时取等号； 故而可得分式的xxx分母x1350x131x2x3xmax1,因此可得：a1；x15155x解法 2：将2 xx1化简可得x2xx1x13x0,令fxx1x0,这是一个对3 x31xx勾函数,故而可得fxx1f12；故而分母x13fx35,代入分式函数取倒数xx可得0x131x2x3xmax1因此可得：a1；15155x问题 2：“1” 的代换解题思路：依据fxmfxm0,对所求内容进行乘除化简即可；m例题 4：假设两
5、个正实数x、y 满意1 x41,且不等式xy2 m3 m有解,就实数m 的取值范畴y4是；解析： 由题意可得1 x41,左边乘以1 x41可得：xyxy114,化简可得：4xyyy4xy141 1y4x,很明显y4x中积为定值,依据积定和最小的法就可得：4xy4xy4xy- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y4x2y4 x2,当且仅当y4x1x2时取等号； 故而可得xy144；4xy4xy4xyy84xy不等式xym23m有解,亦即2 m3 mxymin4,亦即m23 m40,解得m4或者44m1,故而可得m, 14,；3y 的最小值为 _变式： 假设x
6、0,y0,且1yx2y2,就 4x2x解析： 由 2xy2xy4x3 y,化简题干条件可得2x1y2x42y2乘以所求内容可得：4x3y2x1y2x42y4x3y21y2x42y22xy2x2y,化简后可得：2x4x3y2x2y4 2x2y41,很明显2x2y2xy4 2x2y中二者积为定值,依据积定和最2xy2xy2xy2小法就可得2x2y4 2x2y22x2y4 2x2y4,当且仅当2x2y4 2x2y2,2xy2xy2xy2xy2xy2xy亦即x0时取等号；此时可得4x3ymin9；y322问题 3：方程中的基本不等式解题思路：将需要利用不等式的项移到方程的一边,利用基本不等式求解即可；
7、例题 5： 2022 湖南高考假设实数a, b 满意1 a2 bab,就 ab 的最小值为 _2 2,当且仅解析： 由题意可知可以利用基本不等式,依据基本不等式可得：ab12212aba bab1当1 a2b2a时取等号,化简后可得：ab22,此时a24b25b4变式： 假设 lg3 x lgylgxy1,就 xy 的最小值为 _名师归纳总结 解析： 将题干条件化简可得：lg 3x ylgxy113 xyyxy1,由题意需要求解xy ,故而可第 3 页,共 6 页知利用不等式xy2xy ,将条件化简可得：3xyx2xy 当且仅当 xy 时等号成立,化- - - - - - -精选学习资料 -
8、- - - - - - - - 简上式可得 3 xy12xy03xy1xy10xy1xy1,此时xy1问题 4：含参基本不等式问题解题思路：利用含参不等式的解法求解即可；2例题 6：已知 a 2 a 22 41 对于任意的 x 1, 恒成立,就x x xA a 的最小值为 3 B a 的最小值为 4 C a 的最大值为 2 D a 的最大值为 4解析： 由题意可知参数为 a ,将自变量移项可得：a 22 a 2 2 4 xx 4x,观看等式右侧,x x x 1可知等式右侧经配凑可得积为定值,依据积定和最小可得：4x 1 2 4x 1 4,当且仅x 1 x 1当 4x 1 x 3 时取等号, 此
9、时可得 4x 5；由 a 22 a 2 4x 对于任意的x 1 x 1 min x 1x 1, 恒成立可得：a 22 a 2 4x 5,化简可得 a 3 a 1 0,解得 3 a 1；x 1 min22 1 m 8 m变式 6：已知 a0, b0,假设不等式 恒成立,就 m 的取值范畴是；a b 2 a b解析： 由题意可知参数为 m,将双自变量 a 、 b 移项可得：m 28 m 2 1 2 a b 恒成立,故而可a b得 m 28 m 2 1 2 a b,将不等式右侧化简可得 2 1 2 a b 5 2 b 2 a,很明显积a b min a b a b为定值,依据积定和最小法就可得：2
10、b 2 a2 2 b 2 a4,当且仅当 2 b 2 aa b 1 时取等a b a b a b号；故而 2 12 a b 9,代入不等式中可得 m 28 m 9 化简为 m 9 m 1 0 解不等式a b min可得 1 m 9；问题 5：不等式与其他问题结合向量与不等式 例题 7：已知OAaOBbOC a0,b0,且A B C 三点在同一条直线上,就1 a1b的最小值为 _名师归纳总结 解析： 由三点共线可得ab1,观看形式采纳“ 1”的代换,故而11111ab2ba,ababab第 4 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 等式右侧积为
11、定值,故而利用积定和最小法就可得：ba2ba2,当且仅当baab1aba bab2名师归纳总结 - - - - - - -时取等号；故而可得112ba3；abab不等式与解析几何例题 8：假设直线axby20a0,b0被圆x2y22x4y10截得的弦长为4,就1 a1的最小值为；b解析： 将圆化为标准方程可得x12y224,依据弦长为4 可得直线经过圆心；将圆心1,2代入直线方程可得a2b2；观看求解形式可得采纳“ 1”的代换方法, 即11112a2b,化abab简可得1132 ba很明显积为定, 依据积定和最小法就可得：2ba22b a2 2,当且a 2bababab仅当2baa2 222时
12、取等号,故而可得1132 ba32 2；a 2babb2ab23xy60 基 本 不 等 式 与 线 性 规 划 例 题 9： 设x y 满 足 条件xy20, 假 设目 标函 数 zaxbyx0,y0a0,b0的最大值为12,就3 a2的最小值为；b解 析 ： 作 出 可 行 域 如 下 图 ： 故 而 可 得zax by 在 点H4,6取 最 大 值 , 即4a6 b122a3 b6,由题意可得采纳“1”的代换求解；即323262 a3 b129b4 a,观看分子可得分子积为定值,依据积ababab6定和最小法就可得：9 b4a29 b4a12,当且仅当9b4aa3时取2ababbab1等
13、号,故而可得32129 b4 a4；a 6bab不等式与解三角形例题7：. 中,角 .,., .的对边分别为 .,.,.,且 .2+ .2- .2+ .= 0.第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1求角 .的大小；2假设 .= 3,求 . 的最大值 .3求ABC 周长的最值； .名师归纳总结 解析： 1由题意与余弦定理可得a2b2c22 bccosAb2c2bc ,解得cosA1,故而A322由余弦定理可得a2b2c2bc3,故而bc3b22 c ,由基本不等式a22b2ab 可得bc3b2c22bcbc3, 当 且 仅 当bc3时 取 “=”号 ； 故 而 可 得 三 角 形 的 面 积SABC1bcsinA133333；22242c23,由基本不等式a2b2ab可得：3由余弦定理可得a2b2c2bc3,故而bcbb2c22 bc33 bcbc233bc3b2c2b4c23bc2 3,当且仅当bc3时取 “ =”号；故而可得三角形的周长CABCabc3 3；第 6 页,共 6 页- - - - - - -