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1、次不等式：次不等式：一一 元元 二二一元一次不等式的解轴表示）例 1、已知关于 x围例 2关于 x 的不等式对所有实数 xR 都成立，求 a 的取值范围.例 3、若关于x的不等式x2 ax a 0的解集为(,)，则实数a的取值范围是_；若关于x的不等式x2 ax a 3的解集不是空集，则实数a的取值范围是_。（-4,0）,6 2,几个重要不等式几个重要不等式（1）若aR,则|a|0,a2x(3a)x2a1022法：（依据、步骤、注意的问题，利用数y y loglog2 2(axax2 2axax 1 1)的不等式在(2，0)上恒成立，求实数 a 的取值范 0（2）若a、bR,则a2b2 2ab
2、(或a2b2 2|ab|2ab)（当仅当 a=b 时取等号）（3）如果 a,b 都是正数，那么(4)若a、b、cR,则ab ab（当仅当.2a=b 时取等号）一正、二定、三相等.abc3abc（当仅当3a=b=c 时取等号）ba(5)若ab 0,则 2（当仅当ab22a=b 时取等号）2|x|a x a x a 或 x a;|x|a x(6)a 0时，（7）若a、bR,则|a|b|a b|a|b|a2 a x a常用不等式常用不等式22a ba bab 2(根据目标不等式左右的运算结构选用)；（1）2211ab（2）a、b、cR R，a2 b2 c2 ab bc ca（当且仅当a b c时，取
3、等号）；（3）若a b 0,m 0，则babm（糖水的浓度问题）。如如am如果正数a、b满足aba b3，则ab的取值范围是_（答：9,）常用不等式的放缩法常用不等式的放缩法：1n11n1n(n1)1n2111(n 2)n(n1)n1nn1n 性1n n112 n1n n1n n1(n 1)利用函数的单调简单的一元高次不等式的解法简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意 奇穿过偶弹回奇穿过偶弹回；（3）根据
4、曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如（如（1 1）解不等式(x1)(x2)2 0。（答：x|x 1或x 2）；（2 2）不等式(x2)x22x3 0的解集是_（答：x|x 3或x 1）；（3 3）设函数f(x)、g(x)的定义域都是 R，且f(x)0的解集为x|1 x 2，g(x)0的解集为，则不等式f(x)g(x)0的解集为_（答：(,1)2,)）；（4 4）要使满足关于x的不等式2x29x a 0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式x2 4x 3 0和x26x 8 0中的一个，则实数a的取值范围是_.（答：7,)）分式不等式的解法分式不等式的解法：先移项使右边为0，再通
5、分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如（1 1）解不等式5 x；1（答：(1,1)(2,3)）x22x3ax b 0的解x 2818（2 2）关于x的不等式axb 0的解集为(1,)，则关于x的不等式集为_（答：(,1)(2,)）.绝对值绝对值不等式的解法不等式的解法：（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集最后结果应取各段的并集）：如如x1 x2a在xR上有解,则a的取值范围是（,3）（2）利用绝对值的定义；x a(a 0)a x a，x a(a 0)x a或x a（3）数形结合；如如解
6、不等式|x|x1|3（答：(,1)(2,)）（4）两边平方：如如若不等式|3x 2|2x a|对xR恒成立，则实数a的取值范围为_。（答：）含参不等式的解法含参不等式的解法：求解通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。注意注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如（如（1 1）若loga1，则a的取值范围是_（答：a 1或0 a）；ax2 x(aR)（2 2）解不等式ax1232343（答：a 0时，x|x 0；a 0时，x|x 或x 0；a 0时，x|x 0或x 0）提醒：提醒：（1 1）
7、解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2 2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如如关于x的不等式axb 0的解集为(,1)，则不等式含绝对值不等式的性质含绝对值不等式的性质：a、b同号或有0|a b|a|b|a|b|a b|；a、b异号或有0|ab|a|b|a|b|ab|.x 2（1,2）0的解集为_（答：ax b1a1a如设f(x)x2 x13，实数a满足|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1)不等式的恒成立不等式的恒成立,能成立能成立,恰成立等问题恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量
8、法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).1).恒成立问题恒成立问题若不等式fx A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmin A若不等式fx B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmax B如（如（1 1）设实数x,y满足x2(y 1)21，当x y c 0时，c的取值范围是_（答：2 1,）；（2 2）不等式x 4 x 3 a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围_（答：；a 1）（3 3）若不等式2x1 m(x21)对满足m 2的所有m都成立，则x的取值范围_（答：（7 131,）；22(1)n1（4 4）若不等式(1)a 2对于任意正整数n恒成立，
9、则实数a的取值范围是nn_（答：2,)）；（5 5）若不等式x22mx 2m1 0对0 x1的所有实数x都成立，求m的取值范围（.答：1m ）2322).2).能成立问题能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式fx A成立,则等价于在区间D上fxmax A；若在区间D上存在实数x使不等式fx B成立,则等价于在区间D上的fxmin B.如如已知不等式（答：a 1）两个重要函数两个重要函数：|x|x1|3函数 y=x+练习：1、已若x 1，求23x1x9y451的最小值已知 x，求函数 y=4x-2+的最大值4x 5x141xx 4 x 3 a在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围_2、
10、知x,yR R且1，则x y的最小值是_若x2y 1，则2x4y的最小值是_3、知 a，b，c，d 均为实数，有下列命题：若ab 0，bcad 0，则若bc ad 0，cacadcd 0；若ab 0，0，则bcad 0babd 0，则ab 0其中正确命题是（）b(x x 1)1)2 2 4 4f f(x x)(x x 1)1)x x 1 14 4.求函数的最小值.5、求证：1112232111 24 2x(1 x)22x(1 x)(1 x)()32n22 327二元一次不等式组与简单线性规划问题二元一次不等式组与简单线性规划问题1.1.二元一次不等式表示的平面区域：二元一次不等式表示的平面区域
11、：直线 l:ax+by+c=0 把直角坐标平面分成了三个部分：（1）直线 l 上的点（x,y）的坐标满足 ax+by+c=0（2）直线 l 一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标都满足 ax+by+c0（3）直线 l 另一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标满足 ax+by+c0所以，只需在直线 l 的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（x0,y0）,从 a0 x+b0y+c 值的正负，即可判断不等式表示的平面区域。2.2.线性规划：线性规划：如果两个变量 x,y 满足一组一次不等式，求这两个变量的一个线性函数的最大值或最小值，称这个线性函数为目标函数目标函数，称一次不等式组为约束条件约束条件，像这
12、样的问题叫作二元线性规划问题元线性规划问题。其中，满足约束条件的解(x,y)称为可行解可行解，由所有可行解组成的集合称为可行域可行域，使目标函数取得最大值和最小值的可行解称为这个问题的最优解最优解。3.3.线性规划问题应用题的求解步骤：线性规划问题应用题的求解步骤：（1）先写出决策变量，找出约束条件和线性目标函数；（2）作出相应的可行域；（3）确定最优解例题分析：例题分析：x 0例例 1 1若A为不等式组y 0表示的平面区域，则当a从2 连续变化到 1 时，动直线y x 2x y a扫过A中的那部分区域的面积为()A34B1CD5742x y 2 0例例 2.2.如果点 P 在平面区域x y
13、2 0上，点 O 在曲线x2(y 2)21上，2y 1 0那么|PQ|的最小值为（）(A)(A)(B)32451(C)2 2 1(D)2 1x y 3 0 x2y 5 0例例 3 3、已知实数x,y满足，则y2x的最大值是_.x 0y 01、点 P（x，y）在直线 4x+3y=0 上，且满足14xy7，则点 P 到坐标原点距离的取值范围是（）A.0，5B.0，10 C.5，10 D.5，15x y 20，y2已知变量x，y满足约束条件x1，则的取值范围是（）x y 70，x，C，,6AB3 6，6，5599D3，6x2y 10，2x y 3,3.设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P（x,y）到直线x+y=10 距离0 x 4,y 1的最大值是.x 1,4.已知x y 1 0,则x2 y2的最小值是.2x y 2 0例例 1 1C;例例 2.2.A;A;例例 3 3、_0_.1、B;2.A;3.4 2;4.5;