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1、专题一专题一 浅析中心投影与平行投影浅析中心投影与平行投影中心投影与平行投影是画空间几何体的三视图和直观图的基础，弄清楚中心投影与平行投影能使我们更好地掌握三视图和直观图，平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同下表简单归纳了中心投影与平行投影，结合实例让我们进一步了解平行投影和中心投影投影中心投影定义光由一点向外散射形成的投影在一束平行光线照射下形成的投影特征投影线交于一点分类正投影和斜投影投影线互相平行平行投影例例 1 1如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等？解析：解析：方法一：方法一：可在同一方向上画出与
2、原长相等的影长，分别连结它们影子顶点与树的顶点，此时为平行投影.方法二：方法二：可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子，连结影子顶点与树的顶点相交于P，此时为中心投影，P 为光源位置.点评：点评：这是一道平行投影和中心投影相结合的题目，答案不唯一.连结物体顶点与其影子顶点，如果得到的是平行线，即为平行投影；如果得到的是相交线，则为中心投影，这是判断平行投影与中心投影的方法，也是确定中心投影光源位置的基本作法，还应注意，若中心投影光源在两树同侧时，图中的两棵树的影子不可能与原长相等.例例 2 2如图所示，点 O 为正方体 ABCD-ABCD的中心，点 E 为面 BBCC的中心，点 F 为BC
3、的中点，则空间四边形DOEF 在该正方体的面上的正投影可能是_(填出所有可能的序号)1解析：解析：在下底面 ABCD 上的投影为，在右侧面 BBCC上的投影为，在后侧面 DDCC上的投影为.答案：答案：点评：点评：画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影专题二专题二 不规则几何体体积的求法不规则几何体体积的求法当所给几何体形状不规则时，无法直接利用体积公式求解，可尝试用以下几种常用的方法求出原几何体的体积，下面逐一介绍，供同学们参考一、等积转换法一、等积转换法当所给几何体的体积不能直接
4、套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积例例 1 1在边长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N，P1分别是棱 A1B1，A1D1，A1A 上的点，且满足 A1M=A1B1，23A1N=2ND1，A1P=A1A（如图 1），试求三棱锥A1MNP 的体4积1分析：分析：若用公式 V=Sh 直接计算三棱锥 A1MNP 的体积，3则需要求出MNP 的面积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出，但若将三棱锥 A1MNP 的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥 PA1MN 的体积，便能很容易的求出其高和
5、底面A1MN 的面积，从而代入公式求解11111 1231解：解：VA1-MNP=VA1MNP=SA1MNh=A1M1A1NA1P=aaa=a333232 234242评注：评注：转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法，也是以后学习求点到平面距离的一个理论依据二、分割法二、分割法分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法例例 2 2如图 2，在三棱柱 ABCA1B1C1中，E,F 分别为 AB,AC 的中点，平面 EB1C1F将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比分析：分析：截面 EB1C1F 将三棱柱分成两部分，一部分是
6、三棱台AEFA1B1C1；另一部分是一个不规则几何体，其体积可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得解：解：设棱柱的底面积为 S，高为 h，其体积 V=Sh1则三角形 AEF 的面积为S41ss7由于 VAEF-A1B1C1=h(+S+)=Sh,3421275则剩余不规则几何体的体积为V=V-VAEF-A1B1C1=Sh-Sh=Sh，1212所以两部分的体积之比为VAEF-A1B1C1：V=7：5.评注：评注：在求一个几何体被分成的两部分体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积，再进行计算三、补形法三、补形法某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在
7、解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略补形法常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形.对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题例例 3 3已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_._.分析：分析：由三视图画出直观图，补一个大小相同的几何体，构成一个圆柱即可求其体积.3解：解：由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4 的圆柱被从母线的中点处截去了13圆柱的，根据对称性，可补全此圆柱如图，故体积V 1243.44评注：评注：“对称”是数学中的一种重要关系，在解决空间几何体中的问题时善于发
8、现对称关系对空间想象能力的提高很有帮助专题三专题三 处理球的内切与外接问题处理球的内切与外接问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图可使这类问题迎刃而解。一、棱锥的内切、外接球问题一、棱锥的内切、外接球问题例例 1 1 已知正四面体的棱长为a，外接球半径为R,内接球半径为 r,则 R 和 r 的关系为_解：解：如图 1 所示，设点O是内切球的球心，由图形的对称性知，点O也是外接球的球心设内切球半径为r，外接球半径为R正四
9、面体的表面积 S表=432a=3 a241332体积 VA-BCD=a2AE=aAB2-BE23412=32a1212a2-a2=a3.312图 11r=VA-BCD,3S表23a3123VA-BCD6r=aS表3 a212.在 RtBEO 中，BO2=BE2+EO2，即 R2=(R=3r.3226a)+r，解得 R=a34.4点评：点评：由正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高h3h的四等分点，即内切球的半径为(h 为正四面体的高)，且外接球的半径，从而可以通44过截面图中 RtOBE 建立棱长与半径之间的关系。二、球与棱柱的组合体问题二、球与棱柱的组合体问
10、题1.正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心.设正方体的棱长为 a，球半径为 R.如图 2，截面图为正方形 EFGH 的内切圆，a得 R=；22.与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图 3 作截面2图，圆 O 为正方形 EFGH 的外接圆，易得 R=a；2 3.正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图 4，以对角面 AC1作截面图得，圆 O 为矩形 AA1C1C 的外接圆，易得 R=A1O=图 2图 3图 43a.2例例 2 2 在球面上有四个点P,A,B,C.如果 PA,PB,PC 两两互相垂直，且 PA=PB
11、=PC=a,那么这个球的表面积是_.解：解：由已知可得 PA,PB,PC 实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，容易求得对角线的长为 3 a,3S表面积=4（a）2=3a2.2点评：点评：求解球与多面体的组合问题时，其关键是确定球心的位置，通过作出辅助线或辅助平面确定球的半径和多面体中各个几何元素的关系，达到求解解题需要的几何量的目的三构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题三构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。例例 3 3 已知三棱柱 ABC-A1B
12、1C1的六个顶点在球 O1上，又知球 O2与此正三棱柱的 5 个面都相切，求球 O1与球 O2的表面积之比与体积之比.解：解：如图 5，由题意得两球心 O1，O2是重合的，过正三棱柱的一条侧棱AA1和它们的球心作截面，设正三棱柱图 5533底面边长为 a，则 R2=a，正三棱柱的高为 h=2R2=a.63在 Rt A1D1O 中，由勾股定理得3335R12=（a）2+R22=（a）2+（a）2=a2，33612R1=5a，12S1:S2=R12:R22=5:1,V1:V2=5 5:1.点评：点评：内切和外接等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关
13、的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。专题四专题四 直线、平面平行的判定及其性质错解分析直线、平面平行的判定及其性质错解分析同学们在学习直线、平面平行的判定及其性质时，经常遇到困难，下面就同学们在解题中容易出现的错误分析如下，供大家参考.一、未理解平行的意义一、未理解平行的意义例例 1 1给出下面说法：（1）如果一条直线和一个平面平行，那么它就和这个平面内的任何直线平行；（2）如果一条直线和另一条直线平行，那么它就和经过另一条直线的任何平面平行；（3）平行于同一个平面的两条直线平行.其中正确的个数是（）A.0B.1C.2D.3错解：
14、错解：D分析：分析：对直线和平面平行的定义、判定和性质不理解，造成错误.（1）正方体的上底面的一条棱平行于下底面，显然下底面存在直线与这条棱是异面直线；（2）存在平面同时经过这两条直线；（3）平行于同一平面的两条直线可能平行、异面、相交.正解：正解：A二、思维定势二、思维定势例例 2 2已知直线 a、b，有 ab，b平面，a.求证：a平面.错解错解:如图，在 内任取一点 A，在 内过 A 点作直线 c，使 cb.abA6c因为 ab，所以 ac.又 a，c，所以 a平面.分析分析:错解中“在 内任取一点 A，在 内过 A 点作直线 c，使 cb”这一作图不符合立体几何作图的要求,错因是想当然地
15、把平面几何的有关知识迁移到立体几何中造成的.正解正解:如图，过 b 作平面 交平面于直线 c.由 b平面，b，c，得 bc.又因为 ab，所以 ac.而 a，c，所以 a平面.三、未平行的性质三、未平行的性质例例 3 3已知 AB，CD 为夹在两个平行平面，之间的异面线段，M，N 分别为 AB，CD的中点.求证：MN，MN.B错解：错解：如图，因为，所以 ACBD。又 M，N 分别为 AB，CD 的中点，所以 MNBD，MNAC。所以 MN，MN。MAacbDNC分析：分析：错解中“因为.，所以ACBD”这是错误的。假如 ACBD，则A，C，D，B 四点共面，即 AB 与 CD 共面，与题设
16、AB，CD 为异面线段矛盾。这是未弄清平面平行的性质造成的错误。正解：正解：如图，过 D 作 DEAB 交 于 E。设 DE 中点为 P，则在平行四边形 ABDE 中，MPAE。又在DCE 中，NPCE，所以平面 PMN，所以 MN。又，且 MN，所以 MN。MABDNPEC四、证明理由不充分四、证明理由不充分例例 4 4如图，两个全等的正方形ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB，M AC，N FB，且 AM FN。7求证：MN平面 BCE。错解：错解：过 M 作 MLBC 交 AB 于 L，连接 NL，则 MLBC，NLAF。所以平面 MNL平面 BCE，所以 MN平面 BCE。C分
17、析：分析：在证明 NLAF 以及证明面面平行时理由不充分，这也是学生经常犯的错误。正解：正解：过 M 作 MLBC 交 AB 于 L，连接 NL。AMAL则在ABC 中，MLBC，则=。MCLB由 AC FB 且 AM FN，得 MC=NB.FNAL所以=，所以 NLAF。NBLB又 AFBE，所以 NLBE。所以平面 MNL平面 BCE，所以 MN平面 BCE。五、循环论证五、循环论证例例 5 5 已知 a，b 是两条异面直线。求证：过直线 a 且平行于直线 b 的平面 必与过直线 b 且平行于直线 a 的平面 平行。错解：错解：如图，过 a 作平面 M 交平面 于 a，则 aa。b因为 a
18、，b 是两条异面直线，且 a与 b 都在平面 内，所以 a与 b 必相交。同理，过 b 作平面 N 交平面 于 b，可得 bb且 b于 a 相交。由 aa，bb，且 a与 b 相交，b与 a 相交，a 与 b都在平面 内，a与 b 都在平面 内，所以。分析：分析：错解中 aa，只有当 时才能成立。而题目本身要求证明，这样就犯了循环论证的逻辑错误。MDMALBNEFbaNabab8正解：正解：如图，过 b 作平面 交平面 于直线 b。因为 b，所以 bb。因为 a,b 是两条异面直线，bb，所以 a 与 b不平行。又 a 与 b都在平面 内，所以 a 与b必相交。因为 bb，b，所以 b。又 a
19、，所以。专题五专题五 线面垂直方法的总结线面垂直方法的总结学习了平面与直线垂直的定义、判定定理和性质定理，同学们可以体会线线垂直在证明线面垂直时的重要性，将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法.在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”，下简单分析常见的线面垂直证明方法.一、应用勾股定理一、应用勾股定理如果一个三角形的边长 a,b,c 满足 a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形，可以得到线线垂直的关系.例例 1 1如图所示，点P 是梯形 ABCD 所在平面外一点，PD平面 ABCD，ABCD，已知 BD=2AD=8，AB=4 5.设 M 是 PC 上的一点.求证:BD平面 PAD.证明证明:PD平面 ABCD,BD平面 ABCD,BDPD.BD=8，AD=4，AB=4 5，AD2+BD2=CD2,ADB=90，BDAD.又PD 平面 PAD,AD 平面 PAD,PD AD=D,PMDCAB9