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1、函数的单调性（一）教学目标：使学生理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法，培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合，辩证思维的能力；通过本节课的教学，启示学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯.教学重点：函数单调性的概念教学难点：函数单调性的判断和证明.教学过程：.复习回顾师前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，讨论了函数的定义域、值域的求法.今天我们再进一步来研究一下函数的性质(板书课题).讲授新课师 在初中我们已经学习了函数图象的画法，为了研究函数的性质，按照取值、列表、描点、作图等步骤分别画出yx2和 yx3的图象如图.我们先着重来观察一下
2、 yx2的图象，图象在 y 轴右侧的部分是上升的，也就是说在 y轴右侧越往右，图象上的点越高，这说明什么问题呢?生随着 x 的增加，y 的值在增加师怎样用数学语言来表示呢?生设 x1、x20，)得 y1f（x1），y2f（x2）当 x1x2时，f（x1）f（x2）(学生经过预习可能答得很准确，但为什么也许还囫囵吞枣；或许答得不一定完整，或许怎样用数学语言来表示还感到困惑，教师应抓住时机予以启发)师好，同学的回答很好，设x1、x20，)，体现了在y 轴右侧，按照函数关系式得到了 y1f（x1），y2f（x2），即有了两个点(x1，y1)、（x2，y2）而当 x1x2时，f（x1）f（x2），则体
3、现了越往右图象上的点越高，即体现了图象是上升的，这时我们说 yx2在0，)上是增函数.下面大家来看图象在 y 轴左侧的部分情形是怎样的?生甲图象在 y 轴的左侧也是上升的(或许生甲是别出心裁).师何以见得?生甲越往左，图象上的点越高.师生甲所谈对不对呢?生对(部分同学这样说，还有部分同学不吭气，感到和预习时的情况不一样，但又不清楚究竟该怎样，有无所适从之感).师生甲同学所述是完全有道理的!不过请同学们注意：他观察的视线是从右向左看的，为了与在 y 轴右侧部分观察的视线方向一致.我们对 y 轴的左侧部分也从左向右看，图象的情形是怎样的呢?生甲从左向右看，图象是下降的，也就是在y 轴的左侧，越往右
4、，图象上的点越低.师 我们研究任何问题都要遵循一定的程序，都要在一定的条件下，否则将一塌糊涂，搞不出任何名堂.(或者在研究 y 轴右侧部分、研究 y 轴左侧部分图象的变化趋势时，就直载了当地指出随着 x 的增加，图象的变化趋势是怎样的，这样给学生指定观察方向，会减少不应有的麻烦)那么同学们考虑一下，在 y 轴的左侧，越往右，图象上的点越低，说明什么问题呢?怎样用数学语言表示呢?生在 y 轴右侧，越往右图象上的点越低，说明随着x 的增加，y 的值在减小，用数学语言表示是：设 x1、x2（，0）得 y1f（x1），y2f（x2）当 x1x2时，f（x1）f（x2）师好，这时我们说 yx2在（，0）
5、上是减函数.一般地，设函数 f（x）的定义域为：如果对于属于内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2当 x1x2时，都有 f（x1）f（x2），那么就说 f(x)在这个区间上是增函数.(打出幻灯片2.3.1C)如果对于属于内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当 x1x2时，都有 f（x1）f（x2），那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.如果函数 yf（x）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做 yf（x）的单调区间，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.注意：函数的单调性也叫函数的增减性.函数的单调性是对某
6、个区间而言的，它是一个局部概念.判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：a.设 x1、x2给定区间，且 x1x2b.计算 f（x1）f（x2）至最简b.判断上述差的符号d.下结论(若差0，则为增函数；若差0，则为减函数).例题分析例 1(课本 P34例 1，与学生一块看，一起分析作答)师 要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又粗略的方法，严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明.下面举例说明例 2证明函数 f（x）3x2 在 R R 上是增函数.证明：设任意 x1、x2R R，且 x1x2则 f（x1）f（x2）（3x12）（3x22）3（x1x2）由 x1x2
7、得 x1x20f（x1）f（x2)0即 f（x1）f（x2）f（x）3x2 在 R R 上是增函数1例 3证明函数 f（x）x在（0，）上是减函数.证明：设任意 x1、x2（0，）且 x1x2x2x111则 f（x1）f（x2）xxx x1212由 x1，x2（0，）得 x1x20又 x1x2得 x2x10f（x1）f（x2）0即 f（x1）f（x2）1f（x）x在（0，）上是减函数注意：通过观察图象、对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法.证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.课堂练习课本 P37练习 1，2，5，6，7.课时小结本节课我们学习了函数单调性
8、的知识，同学们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明.课后作业课本 P43习题14函数的单调性（二）教学目标：使学生理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法，培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合，辩证思维的能力；通过本节课的教学，启示学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯.教学重点：函数单调性的判断和证明.教学难点：函数单调性的判断和证明.教学过程：2例 1已知函数f（x）在其定义域 M 内为减函数，且 f（x）0，则 g（x）1在f（x）M 内为增函数。证明：在定义域 M 内任取 x1
9、、x2，且 x1x2，则：22g（x1）g（x2）11f（x1）f（x2）2f（x2）f（x1）22f（x1）f（x2）f（x1）f（x2）对于任意 xM，有 f（x）0 f（x1）f（x2）0f（x）在其定义域 M 内为减函数，f（x1）f（x2）g（x1）g（x2）0即 g（x1）g（x2）g（x）在 M 内为增函数3例 2函数 f（x）在（0，）上是减函数,求 f（a2a1）与 f（4）的大小关系?解：f（x）在（0，）上是减函数133a2a1（a2）24403f（a2a1）f（4）评述：体会“等价转化”思想的运用，注意解题时的层次分明和思路清晰.例 3已知函数 f（x）ax1在区间（2
10、，+）上单调递增，求 a 的取值范围。x2解：在区间（2，+）内任取 x1、x2，使2x1x2，则：ax11ax21（2a1）（x1x2）f（x1）f（x2）x12x22（x12）（x22）f（x1）f（x2）（2a1）（x1x2）0而 x1x21必须 2a10即 a2例 4已知函数 f（x）x22axa21 在区间（，1）上是减函数，求 a 的取值范围。解：顶点横坐标为 a，且开口向上a1例 5写出函数 f（x）x22x3 的单调区间。解：tx22x30 x1 或 x3当 x（，1时：x 递增，t 递减，f（x）递减当 x3，+）时：x 递增，t 递增，f（x）递增当 x（，1时，f（x）是
11、减函数；当 x3，+）时，f（x）是增函数.1例 6判断函数 f（x）2的增减情况。x 4x1解：设 tx24x，则 t4 且 t0yt11当 t4，0时，yt递减；当 t0，+）时，yt递减.又当 x0，4时，t4，0当 x（，0）或 x（4，+）时，t0，+）当 x（，0）时，x 递增，t 递减，y 递增当 x0，2时，x 递增，t 递减，y 递增当 x（2，4时，x 递增，t 递增，y 递减当 x（4，+）时，x 递增，t 递增，y 递减当 x（，0）0，2时，f（x）是增函数当 x（2，4（4，+）时，f（x）是减函数例 7已知 f(x)的定义域为（0，），且在其定义域内为增函数，满足
12、f（xy）f（x）f（y），f（2）1，试解不等式 f（x）f（x2）3.解：由 f（2）1 及 f（xy）f（x）f（y）可得3f（2）3f（2）f（2）f（2）f（4）f（2）f（8）f（x）f（x2）3f（x）f（x2）3f（x2）f（8）f 8（x2）又函数 f（x）在定义域（0，）上是增函数x016x20即 2x7x8（x2）评述：（1）例 7 是利用函数的单调性解不等式的重要应用，这类问题解决时要特别注意必须首先考虑定义域，进而结合函数单调性去求不等式的解集.（2）建议在教学中指导学生树立“定义域优先”的原则,即：在解题时必须时时考虑到.例 8设 f（x）定义在 R+上，对于任意 a、bR+，有 f（ab）f（a）f（b）1求证：（1）f（1）0；（2）f（x）f（x）；（3）若 x（1，+）时，f（x）0，则 f（x）在（1，+）上是减函数.证明：（1）令 ab1，则：f（1）f（1）f（1）f（1）01（2）令 ax，bx，则：11f（1）f（x）f（x）f（x）f（x）（3）令 1x1x2，则：1x2f（x1）f（x2）f（x2）f（x）f（x）11xx21x2x11即 f（x1）f（x2）f（x）在（1，+）上是减函数.1f（x2x1）0