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1、高等数学知识在物理学中的应用举例（高等数学）知识在物理学中的应用举例一导数与微分的应用分析利用导数与微分的概念与运算，可解决求变化率的问题。求物体的运动速度、加速度的问题是典型的求变化率问题。在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量求变化率。在此基础上，灵敏运用各类导数和微分公式解决详细问题。例1如图，曲柄,rOA=以均匀角速度饶定点O转动.此曲柄借连杆AB使滑块B沿直线Ox运动.求连杆上C点的轨道方程及速度.设,aCBAC=,?=AOB.=ABOy解1)如图，点C的坐标为：?coscosarx+=，(1).sinay=(2)由三角形的正弦定理，有,sin2sin?ar=ox
2、故得.2sin2sinryra=?(3)由(1)得ryaxrax22coscos-=-=?(4)由,1cossin)4()3(2222=+=+?得,12422222222=-+ryaxyaxry化简整理,得C点的轨道方程为:.)3()(422222222rayxyax-+=-2)要求C点的速度,首先对(1),(2)分别求导,得,sincos2cossin?rrx-=,2cos?ry=其中.?=又由于,sin2sin?ar=对该式两边分别求导,得.cos2cos?ar=所以C点的速度22yxV+=4cos)sincos2cossin(2222?rrr+-=.)sin(cossin4coscos2
3、2?+=r例2若一矿山升降机作加速度运动时,其加速度为),2sin1(Ttca-=式中c及T为常数,已知升降机的初速度为零,试求运动开场t秒后升降机的速度及其所走过的路程.解:由题设及加速度的微分形式dtdva=,有,)2sin1(dtTtcdv-=对等式两边同时积分?-=vtdtTtcdv0,)2sin1(得:,2cos2DTtTcctv+=其中D为常数.由初始条件:,0,0=tv得,2cTD-=于是).12(cos2-+=TtTtcv又由于,dtdsv=得,)12(cos2dtTtTtcds-+=对等式两边同时积分,可得:).2sin2(2212tTtTTtcs-+=例3宽度为d的河流，其
4、流速与到河岸的距离成正比。在河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为.c一小船以相对速度u沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点。解以一岸边为x轴，垂直岸的方向为y轴，如图建立坐标系。所以水流速度为?-=.2),(,20,dydydkdykyv由河流中心处水流速度为c，故)2(2ddkdkc-?=?=，所以dck2=.当20dy时，ydcv2=，即,2ydcdtdx=,uty=(1)得tdtdcudx2=.两边积分，有?=xtdttdcudx00,22tdcux=,(2)由(1)-(2)，得,2yudcx=20dy.(3)同理，当dyd2时，)(2yddcv-=，即),(2
5、)(2utddcyddcdtdx-=-=?-=dtutddcdx)(2，Dyudcyucx+-=22，(4)其中D为一常数。由(3)知，当2dy=时，ucdx4=，代入(4)，得ucdD2-=，于是,222ucdyudcyucx-=dyd2.所以船的轨迹为?-=.2,22,20,22dyducdyudcyucxdyyudcx船在对岸的靠拢地点，即dy=时有.2ucdx=例4将质量为m的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比，即.22gvmkR=如上掷时的速度为0v，试证此质点又落至投掷点时的速度为.12201vkvv+=解：质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降两阶段。取向上的力为
6、正，如图，两个经过的运动方程为：vR上升：,22ygmkmgym-=。下降：.22ygmkmgym+-=-mgv上升时R下降时mg对上升的阶段：)1(22vkgdtdv+-=，即),1(22vkgdyvdvdtdydydv+-=于是gdyvkvdv-=+221.两边积分?-=+002201vhgdyvkvdv，得质点到达的高度)1ln(212022vkgkh+=.(1)对下降的阶段：),1(22vkgdyvdvdtdydydv-=即得?=-100221vhgdyvkvdv,得)1ln(212122vkgkh-=.(2)由(1)=(2)得.120201vkvv+=二积分的应用分析利用积分的概念与
7、运算，可解决一些关于某个区域累积量的求解问题。求物体的转动惯量、求电场强度等问题都是典型的求关于某个区域累积量的问题。在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量，在哪个区域上进行累积。并应充分利用区域的对称性，这样可将复杂的积分问题简化，降低积分的重数，较简捷地解决详细问题。例5一半径为R的非均质圆球，在距中心r处的密度为：),1(220Rr-=式中0和都是常数。试求此圆球饶直径转动时的回转半径。解：设dm表示距球心为r的一薄球壳的质量，则drRrrdrrdm)1(22202-=，所以此球对球心的转动惯量为.3557)1(502204002-=-=?RdrRrrdmrIRR(1
8、)在对称球中，饶直径转动时的转动惯量为II32=，(2)又因球的质量为?-=-=RRRdrRrrdmm03022020.1535)1(3)又饶直径的回转半径,mIk=(4)由(1)-(4)，得.21351014Rk-=例6试证实立方体饶其对角线转动时的回转半径为23dk=，式中d为对角线的长度。解：建立坐标系，设O为立方体的中心，轴,Ox,OyOz分别与立方体的边平行。由对称性知，,Ox,OyOz轴即立方体中心惯量的主轴。设立方体的边长为.a由以上所设，平行于Ox轴的一小方条的体积为adydz，于是立方体饶Ox的转动惯量为.6)(2222222amdydzzyaIaaaax=+=?-根据对称性
9、得：.62amIIIzyx=易知立方体的对角线与,Ox,OyOz轴的夹角都为,且,31cos=故立方体饶对角线的转动惯量为.6coscoscos2222amIIIIzyx=+=(1)又由于ad3=,(2)饶其对角线转动时的回转半径为,mIk=(3)由(1)-(3)得.23dk=例7一个塑料圆盘，半径为,R电荷q均匀分布于外表，圆盘饶通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度为，求圆盘中心处的磁感应强度。解：电荷运动构成电流，带电圆盘饶中心轴转动，相当于不同半径的圆形电流。圆盘每秒转动次数为2，圆盘外表上所带的电荷面密度为2Rq=，在圆盘上取一半径为r，宽度为dr的细圆环，它所带的电量为rdrdq2?=，
10、圆盘转动时，与细圆环相当的圆环电流的电流强度为rdrrdrdI?=?=22，它在轴线上距盘心x处的P点所产生的磁感应强度为rdrxrrxrdIrdB232220232220)(2)(2+=+=,)(2232230drxrr+=故P点处的总磁感应强度为?+=RdrxrrB0232230,)(2变换积分?+-+=+drxrrxdrxrrdrxrr23222212223223)()()(所以22222220xxRxxRB-+=222222220xxRxRRq-+=，B的方向与方向一样(0q)或()0对(5)两边积分：,0?=rattddr得,atr+=(6)将(6)代入(2)，得.)(31atkm+
11、=(7)3以雨滴下降的方向为正，分析(1)式,)()(3131gatkvatkdtd+=+(8),)()(301310gdtatkvatkdtv+=+?,)(41)(34131katgkvatk+=+3k为常数当0=t时，0=v，故,4413gakk-=.)(434ataatgv+-+=三曲线、曲面积分的应用分析曲线、曲面积分的概念与运算在物理学中应用非常广泛，灵敏应用曲线、曲面积分，往往能使问题得到简化。在求磁感应强度、磁通量这类问题时，高斯公式往往是有效的。例9设力,kFjFiFFzyx+=其中,206233ybxyabzFx-=36abxzFy=,104ybx-,182abxyzFz=验
12、证F为保守力，并求出其势能。解：为验证F能否为保守力，将题设中力F的表达式代入F?，得xxxFFFzyxkjiF?=?kyFxFjxFzFizFyFxyzxyz)()()(?-?+?-?+?-?=jyabzyabziabxzabxz)1818()1818(2222-+-=kyabxabzyabxabz)406406(3333+-+,0=于是F是保守力。故其势能为?-=drFV)(),()0,0,0(dzFdyFdxFzzyxyx+-=?=?-)0,0,()0,0,0()0,()0,0,(43233)106()206(xyxxdyybxabxzdxybxyabz?-),()0,(218zyxyx
13、dzabxyz.65324abxyzybx-=例10一个半径为R的球体内，分布着电荷体密度,kr=式中r是径向距离，k是常量。求空间的场强分布，并求E与r的关系。解：(1)由于在球体内电荷是球对称分布的，故产生的电场也是球对称分布的，因而可用高斯定理求解。取与球面同心的球面作为高斯面。1)当Rr时，由高斯定理?=?qdsE01,有?=?24rEdsE,(3),4111420RkdrrkrdvqR=?(4)由(3)=(4)，得,4)(204rkRrE=方向沿径向方向。例11一根很长的铜导线，载有电流10A，在导线内部通过中心线作一平面S试计算通过导线m1长的S平面内的磁感应通量。解：由电流分布具有轴对称性可知，其产生的磁场也具有轴对称性，下面用安培环路定理求解。取以轴线为圆心的半径为r的同心圆环为积分环路，由安培环路定理?=?IdlB0，有rBdlB2?=?,(1):)(Rr,422rQD=02DE=.420rQ=2)由电势定义，有:)(RrR?=?=rrdrEdlEV2.44020rQdrrQr=?3)当Rr=时，有?+?=?=RRRRRdrEdrEdlEV21).11(410RRrr-+=