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1、20212021 年高考理数真题试卷（全国乙卷）年高考理数真题试卷（全国乙卷）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共项是符合题目要求的。（共 1212 题；共题；共 6060 分）分）1.设 2（z+）+3(z-)=4+6i，则 z=（）.A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i【答案】C【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】设=,2(+)+3()=5 =4+6=4+6,所以 a=b=1，所以 z1+i。故答案为：C【分
2、析】先设 z 的代数式，代入运算后由复数相等的条件，即可求得结果。2.已知集合 S=s|s=2n+1，nZ，T=t|t=4n+1，nZ，则 ST=（）A.B.S C.T D.Z【答案】C【考点】交集及其运算【解析】【解答】当 n=2k()时，S=s|s=4k+1,当 n=2k+1()时,S=s|s=4k+3,所以 S,所以 =,故答案为：C.【分析】分 n 的奇偶讨论集合 S。3.已知命题 p：xR，sinx1；命题 q：xR，e|x|1，则下列命题中为真命题的是（）A.p q B.p q C.p q D.(pVq)【答案】A【考点】全称量词命题，存在量词命题，命题的否定，命题的真假判断与应用
3、【解析】【解答】因为命题 P 是真命题，命题 q 也是真命题，故答案为：A【分析】先判断命题 p，q 的真假，然后判断选项的真假。4.设函数 f(x)=1+，则下列函数中为奇函数的是（）A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1【答案】B【考点】函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质所以函数的对称中心是(-1,-1)，【解析】【解答】因为 f(x)=1+=1+1，所以函数 f(x)向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位后关于（0，0）中心对称，而四个选项中只有B 满足条件，故答案为：B。【分析】将 函数变形为 f(x)=1+1后，判断。21215.在正方
4、体 ABCD-A1B1C1D1中，P 为 B1D1的中点，则直线 PB 与 AD1所成的角为（）A.2B.3C.4D.6【答案】D【考点】直线与平面所成的角【解析】【解答】如图，连接 AC，设 AC 与 BD 交于 O，连接 OD1,AD1,BP,设正方体的棱长为 x，因为 D1P|OB|BD,且 D1P=BO=2BD,所以四边形 OD1PB 是平行四边形，所以 BP|OD1,所以1即为所求的角，易证 平面 BDD1B1,故 OD1,又=2=21,所以16.故答案为：D【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。6.将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4
5、 个项目进行培训，每名志愿者只分到 1 个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60 种B.120 种C.240 种D.480 种【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题213【解析】【解答】由题意知，必须有 2 个人一组，其他各组只有 1 个人，所以分配方法是：543=240，111故答案为：C.【分析】利用排列与组合来求解。7.把函数 y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3个单位长度，得到函数 y=sin(x-4)的图像，则 f(x)=（）1A.sin(212)B.sin(2+12)C.sin(212)D.sin(2
6、+12)【答案】B【考点】由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【解析】【解答】根据图象平移的规律可知，将y=y=sin(x-4)的图像 上所有的点向左平移平移3个单位，纵坐标不变，得到=sin(+12),再把所得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2 倍，即函数的周期变原来的 2 倍，就得到函数 y=sin(2+12)，故答案为：B。【分析】根据三角函数图象的相位，周期变化规律来解题。8.在区间（0，1）与（1，2）中各随机取 1 个数，则两数之和大于4的概率为（）A.4B.32C.32D.9【答案】B【考点】几何概型【解析】【解答】不妨设这两个数为a,b 且 0a1,1b4的 a,
7、b 取值的可行域如图中阴影部分表示，7772392777直线 a+b4与正方形的两个交点分别为(4,1),(0,4),则可计算事件(a+b4R 人 svyf 概率为 P13737742=32,4故选 B。【分析】利用几何概型解答。9.魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点 E，H，G 在水平线 AC 上，DE 和 FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和 EH 都称为“表目距”，GC 与 EH 的差称为“表目距的差”。则海岛的高 AB=（）.3123A.B.表高表距+表高表目距的差表高表距表高表目距的
8、差C.表高表距+表距表目距的差表高表距表距表目距的差D.【答案】A【考点】解三角形的实际应用【解析】【解答】如图，连接 DF,直线 DF 交 AB 于 M，则 ABAM+BM,设=,=,则tantan=,因为tan=,tan=,所以tantan=(tantan)=(11)=(),所以=表高表距表目距的差+表高。故答案为：A.【分析】通过作辅助线，(如图)，然后利用解直角形的知识来解答。10.设 a0，若 x=a 为函数f(x)=a(xa)2(xb)的极大值点，则（）A.abB.abC.aba2D.aba2【答案】D【考点】二次函数的图象，二次函数的性质【解析】【解答】当 a0 时，若 a 为极
9、大值点，则(如图 1)，必有 ab,aba2.故 B,C 项错；当 aba2,故 A 错。故答案为：D.【分析】对 a 的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。11.设 B 是椭圆 C：x2+y2=1（ab0）的上顶点，若 C 上的任意一点 P 都满足|PB|2b，则 C 的ab22离心率的取值范围是（）A.2,1)B.2,1)C.(0,2D.(0,22211【答案】C【考点】椭圆的定义，椭圆的简单性质【解析】【解答】依题意，点 B(0,b),设 P(x0,y0),则有|2=02+(0)2=2(1 02 20+2+22 42,移项并用十字相乘法得到：(0+)(0022)+02
10、 20+2)0,2+202222因为 ,故0+0,故20+2222 0恒成立，即2()+2222 0恒 成立，据此解得2 22,故 (0,2，2故答案为：C。【分析】由两点间的距离公式，表示出|PB|2，再根据椭圆上任意点的纵坐标y0的取值范围，解相关不等式得到结果。12.设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=1.04 1，则（）A.abc B.bca C.bac D.cab【答案】B【考点】指数函数的图象与性质，对数函数的图象与性质则 b-c=f(0.02)，【解析】【解答】构造函数 f(x)=ln(1+x)-1+2+1，则/()=当 x0 时，1+=(1+)2=(1+2+2(1+2,
11、所以 f/(x)0,所以 f(x)在(0,+)单调递减，所以 f(0.02)f(0),即 b-c0,所以 bc;再构造函数()=2ln(1+)1+4+1,则 =(0.01),而/()=当0 (0)=0,即 ,所以 bc 0),一条渐近线是3+=0,则=3，x2my2=1（m0）的一条渐近线为3x+my=0，则 C 的焦距为_.2=1,2=2+1=4,0，所以(3,4)(1 3,3 4)0 5，3故答案为：5.【分析】先计算出的坐标式，再根据两向量垂直，列式求解。15.记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 3，B=60，a2+c2=3ac，则 b=_.【答案】22【考
12、点】余弦定理，三角形中的几何计算【解析】【解答】=sin=sin600=3 =4,224于是=2+2 2cos=2+2 =2=22【分析】根据面积的值，计算出ac，再由余弦定理求解。16.以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_（写出符合要求的一组答案即可）.1133【答案】或【考点】由三视图还原实物图【解析】【解答】当俯视图为 时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择为侧视图；当俯视图为时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择为侧视图，故答案为：或【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。三、解答题：共三、解答题：共
13、 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17211721 题为必考题，题为必考题，每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。（共（共 5 5 题；共题；共6060 分）分）17.某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7新设备 10.
14、1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5，样本方差分别记为 s12和 s22旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和，s12，s22；（1）求 ，-212，则认为（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 222新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.【答案】（1）解：各项所求值如下所示=10(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0 =10(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10
15、.6+10.5+10.4+10.5)=10.32=110111x(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2=0.36，2222222=x(10.0-10.3)+3x(10.1-10.3)+(10.3-10.3)+2x(10.4-10.3)+2x(10.5-10.3)+(10.6-10.3)=0.4.2101-=0.3，2 120.34（2）由(1)中数据得 1022-2 12，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。显然 1022【
16、考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差【解析】【分析】（1）先计算新旧样本平均数,，再直接用公式计算 s12，s22；(2)由(1)中的数据，计算得：-=0.3，2 120.34，显然 -2 12，可得到答案。1010222218.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形，PD底面 ABCD，PD=DC=1，M 为 BC 的中点，且 PBAM，（1）求 BC；（2）求二面角 A-PM-B 的正弦值。，【答案】（1）解：因为 PD平面 ABCD，且矩形 ABCD 中，ADDC，所以以，分别为 x，y，z 轴正方向，D 为原点建立空间直角坐标系D-xyz。设 BC=t，A（t，0，0），B
17、（t，1，0），M（2，1，0），P(0，0，1)，所以 =（t，1，-1），（12，1，0），因为 PBAM，所以 =-22+1=0，所以 t=2，所以 BC=2。（2）设平面 APM 的一个法向量为 =（x，y，z），由于=（-2，0，1），则 AP=2+=0 AM=22+=0令 x=2，得 =（2，1，2）。设平面 PMB 的一个法向量为 =（xt，yt，zt），则=2=PB=CB02+=0令=1，得 =(0，1，1).所以 cos（，）=331470|=72=14，所以二面角 A-PM-B 的正弦值为14.【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理，用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【
18、分析】（1）建立空间直角坐标系，定义相关点的坐标，通过计算求解；（2）呈上，分别求二面角的两个平面的法向量，用法向量的夹角计算。19.记 S2n为数列an的前 n 项和，bn为数列Sn的前 n 项和，已知+1=2.（1）证明：数列bn是等差数列；（2）求an的通项公式.【答案】（1）由已知2+1=2，则+1=Sn(n2)211=2 2bn-1+2=2bn bn-bn-1=13+2(n2)，b1=2故bn是以312为首项，2为公差的等差数列。=（2）由（1）知 bn=2+（n-1）2=n=1 时，a1=S1=2n2 时，an=Sn-Sn-1=1-322133122，则+2=2 Sn=1222=(
19、1)1故 an=1(1),2【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和，数列递推式【解析】【分析】（1）根据等差数列及前 n 项和的定义，由递推关系，求证。（2）呈上，先写出 bn,再求bn前 n 磺的和 Sn，再由 an与Sn的关系，进一步求得结果。20.设函数 f（x）=ln（a-x），已知 x=0 是函数 y=xf（x）的极值点。（1）求 a；（2）设函数 g（x）=f（x）f（x）,=1，证明：g（x）1.【答案】（1）xf(x)=xf(x)+xf(x)当 x=0 时，xf(x)=f(0)=lna=0，所以 a=1（2）由 f(x)=ln(1-x)，得 x1当 0 x1 时，f(
20、x)=ln(1-x)0，xf(x)0；当 x0 时，f(x)=ln(1-x)0，xf(x)0故即证 x+f(x)xf(x)，x+ln(1-x)-xln(1-x)0令 1-x=t(t0 且 t1)，x=1-t，即证 1-t+lnt-(1-t)lnt0令 f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt，则 f(t)=-1-(-1)lnt+11=-1+lnt-11=lnt所以 f(t)在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，故 f(t)f（1）=0，得证。【考点】利用导数研究函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【分析】（1）先对函数 y=xf（x）求导：xf(x)=xf(x)+x
21、f(x)，因为 x=0 是方程的根，代入求得a值。（2）首先由（1）写出函数 f(x),并求其定义域，将问题转化为证明 x+f(x)xf(x)，即证：x+ln(1-x)-xln(1-x)0，然后通过换元，构造函数，用导数研究相关函数的单调性，从而证明命题成立。21.己知抛物线 C：x2=2py（p0）的焦点为 F，且 F 与圆 M：x2+（y+4）2=1 上点的距离的最小值为4.（1）求 p；（2）若点 P 在 M 上，PA，PB 是 C 的两条切线，A，B 是切点，求PAB 的最大值.)到x2(y4)2=1 的最短距离为P3=4，所以 p=2.【答案】（1）解：焦点F(0,P22（2）抛物线
22、y=4x2，设 A(x1，y1），B(x2，y2)，P(x0，y0)，则1l2=y=2x1(x)+y1=21 41=21 1，122=22 2，且x0=y0 8y0 15.11111l:=x1x0y1,112:=0.P(xy，都过点，），则故，即00001lll220y0=2x2x0y2,y0=2x0 y02，得x2 2x0 x+4y0=0，=4x0 16y0.联立 2x=4所以|SAB|=1+12x0114222 x0 4y0，d 4x0 16y0=4+x013=24|002+40，所以321222=|d=|x0 4y0|x0 4y0=1(x42=(4)0yy022222 12y0 15).
23、而y0 5,3.故当 y0=-5 时，S达到最大，最大值为 205.【考点】圆的标准方程，抛物线的标准方程，抛物线的应用【解析】【分析】（1）因为 F 点到圆上距离最小的即为F 到圆心的距离减去半径1，据此得到结果；（2）由（1）写出抛物线的标准方程，分别设出切点A,B 的坐标，及 P（在圆 M 上）的坐标，分别写出两条切线的方程，利用 A,B 都过 P 点，建立方程求解。最后通过三角形PAB 面积表达式，研究最值。四、选修四、选修 4 4 一一 4 4：坐标系与参数方程（共：坐标系与参数方程（共 1 1 题；共题；共 1010 分）分）22.在直角坐标系 xOy 中，C 的圆心为 C（2，1
24、），半径为 1.（1）写出 C 的一个参数方程；（2）过点F（4，1）作 C 的两条切线，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.=2+（为参数).【答案】（1）因为 C 的圆心为(2，1)，半径为 1.故 C 的参数方程为 =1+（2）设切线 y=k（x-4)+1，即 kx-y-4k+1=0.故|214+1|1+2=1即|2k|=1+2，4 2=1+2，解得 k=.333故直线方程为 y=(x-4)+1，y=(x-4)+13333故两条切线的极坐标方程为sin=cos-33+1 或sin=cos+33+1.33443【考点】点的极坐标和直角坐标的互化，参数
25、方程化成普通方程【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程的定义，不难得到圆的参数方程；（2）设出过点（4，1）的圆的切线方程，利用直线与相切求出切线的斜率，进而求得两条切线的方程，并将它们化为极坐标方程。五、五、选修选修 4 4 一一 5 5：不等式选讲：不等式选讲（共（共 1 1 题；共题；共 1010 分）分）23.已知函数 f（x）=|x-a|+|x+3|.（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）6 的解集；（2）若 f（x）-a，求 a 的取值范围.【答案】（1）解：a=1 时，f(x)=|x-1|+|x+3|，即求|x-1|+|x-3|6 的解集.当 x1 时，2x 十 26，得 x2;当-3x-a，而由绝对值的几何意义，即求x 到 a 和-3 距离的最小值.当 x 在 a 和-3 之间时最小，此时 f(x)最小值为|a+3|，即|a+3|-a.A-3 时，2a+30，得 a-2；a-a，此时 a 不存在.综上，a-2.【考点】不等式的综合【解析】【分析】（1)当 a=1，写出 f(x)=|x-1|+|x+3|，进一步分段讨论去值，解不等式；（2）只要保证 f(x)最小值-a，而由绝对值的几何意义，即求x 到 a 和-3 距离的最小值.33