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1、普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试卷三大题 21 小题，全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。祝考试顺利注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、准考证号填写在试题卷和答题卡上。并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。在用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效。3填空题和解答题的作答：用 05 毫米黑色墨水签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。4考生必须保持答题卡的
2、整洁。考试结束后，请将本试题和答题卡一并交上。一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1i 1i为虚数单位，则1iA-i2011=CiD1B-12已知U y|y log2x,x 1,P y|y 1,x 2,则CUP=xC0,D(,0,)A,)12B0,12123已知函数f(x)3sin xcos x,xR，若f(x)1，则 x的取值范围为Ax|kCx|k x k,k Z3Bx|2k x 2k,k Z36 x k255,kZDx|2k x 2k,kZ6664将两个顶点在抛物线y 2px(p 0)上，另一个顶点是此抛物线焦
3、点的正三角形个数记为n，则An=0Dn3Bn=1Cn=225已知随机变量服从正态分布N 2，a06B04，且（4）0.8，则（02）C03D02226已知定义在 R 上的奇函数fx和偶函数gx满足fx gx a a若g2 a，则f2=a 0）2（a0,且A2B154C174Da27如图，用 K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统。当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知 K、A1、A2正常工作的概率依次为 09、08、08，则系统正常工作的概率为A0960B0864C0720D05768已知向量a=（x+z,3）,b=（2,y-z），且a b若x,y 满足不等式x
4、y 1，则z 的取值范围为A-2，2B-2，3C-3，2D-3，39若实数 a,b 满足a 0,b 0,且ab 0，则称 a 与 b 互补，记(a,b)a2b2ab,，那么a,b0是 a 与 b 互补的A必要而不充分的条件B充分而不必要的条件C充要条件D即不充分也不必要的条件10放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137 的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M(t)M02t30，其中 M0为 t=0 时铯 137 的含量。已知 t=30 时，铯 137 含量的变化率是-10In2（太贝克年
5、），则 M（60）=A5 太贝克B75In2 太贝克C150In2 太贝克D150 太贝克二、填空题：本大题共5 小题，每小题 5 分，共 25 分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其中答案按先后次序填写。答错位置，书写不清，模棱俩可均不给分。1 15x11x的展开式中含的项的系数为（结果用数值表示）3 x 12在 30 瓶饮料中，有 3 瓶已过了保质期。从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为。（结果用最简分数表示）13 九章算术“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4 节的容积共为 3 升，下面 3 节的容
6、积共 4 升，则第 5 节的容积为升。14如图，直角坐标系xOy所在的平面为，直角坐标系xOy（其中y轴一与y轴重合）所在的平面为，xOx 45。（）已知平面内有一点P(2 2,2)，则点P在平面内的射影P的18坐标为；22（）已知平面内的曲线C的方程是(x 2)2y 2 0，则曲线C在平面内的射影C的方程是。15给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当n 4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n 6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有种，（结果用数值表示）三、解答题：本大题共6 小题，共 75 分解答应写
7、出文字说明、证明过程或演算步骤16（本小题满分 10 分）设ABC的内角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，已知a 1.b 2.cosC（）求ABC的周长（）求cosAC的值17（本小题满分 12 分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度 v（单位：千米/小时）是车流密度 x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时，研究表明；当20 x 200时，车流速度v 是车流密度 x 的一次函数1.4（）当0 x 200时，求函数vx的
8、表达式;（）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）fx x.vx可以达到最大，并求出最大值（精确到1 辆/小时）18（本小题满分 12 分）如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1的各棱长都是 4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合（）当CF=1 时，求证：EFA1C；（）设二面角C AF E的大小为，求tan的最小值19（本小题满分 13 分）已知数列an的前n项和为Sn，且满足：a1 a(a 0)，an 1 rSn(nN*，rR,r 1)（）求数列an的通项公式；（）若存在kN*，使得Sk 1，是判断：对于任意的mN*，且m 2，
9、Sk，Sk 2成等差数列，am 1，am，am 2是否成等差数列，并证明你的结论20（本小题满分 14 分）平面内与两定点A1(a,0)，A2(a,0)(a 0)连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线（）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值得关系；（）当m 1时，对应的曲线为C1；对给定的m(1,0)U(0,)，对应的曲线为C2，设F1、F2是C2的两个焦点。试问：在C1撒谎个，是否存在点N，使得F1NF2的面积S|m|a。若存在，求tanF1NF2的值；若不存在，请说明理由。21（本小题满分 14 分）（）已知函数f(x)Inx x1，x
10、(0,)，求函数f(x)的最大值；（）设ak,bk(k 1,2，n)均为正数，证明：（1）若a1b1a2b2anbnb1b2bn，则a11a22（2）若b1b2bn=1，则kkknan1；21k2b1k1b2nkn2bnb12b22bn.参考答案一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算，每小题5 分，满分 50 分。1-10AABCCBBDCD二、填空题：本题主要考查基础知识和基本运算，每小题5 分，满分 25 分。1117122867221314（2，2），(x1)y 11521，4314566三、解答题：本大题共6 小题，共 75 分。16本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基
11、础知识，同时考查基本运算能力。（满分 10 分）解：（）c2 a2b2 2abcosC 1 4 41 44c 2.ABC的周长为a bc 1 2 2 5.cosC 1115,sinC 1cos2C 1()2.444（）15asinC15sin A 4c28a c,A C，故 A 为锐角，cos A 1sin2A 1(1527).8871151511.848816cos(AC)cos AcosC sin AsinC 17本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满分12 分）解：（）由题意：当0 x 20时,v(x)60；当20 x 200时,设v(x)ax
12、b1a ,200a b 0,3解得再由已知得20a b 60,200b.30 x 20,60,故函数v(x)的表达式为v(x)1(200 x),20 x 20030 x 20,60 x,（）依题意并由（）可得f(x)1x(200 x),20 x 2003当0 x 20时,f(x)为增函数，故当x 20时，其最大值为 6020=1200；11 x(200 x)210000 x(200 x)3323当且仅当x 200 x，即x 100时，等号成立。10000所以，当x 100时,f(x)在区间20，200上取得最大值.310000 3333。综上，当x 100时，f(x)在区间0，200上取得最大
13、值3当20 x 200时，f(x)即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333 辆/小时。18本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。（满分 12 分）解法 1：过 E 作EN AC于 N，连结 EF。（I）如图 1，连结 NF、AC1，由直棱柱的性质知，底面 ABC侧面 A1C。又度面ABC侧面 A，C=AC，且EN 底面 ABC，所以EN 侧面 A1C，NF 为 EF 在侧面 A1C 内的射影，在RtCNE中，CN CEcos60=1，则由CFCN1，得 NF/AC1，CC1CA4又AC1 A
14、C1,故NF A1C。由三垂线定理知EF A1C.（II）如图 2，连结 AF，过 N 作NM AF于 M，连结 ME。由（I）知EN 侧面 A1C，根据三垂线定理得EM AF,所以EMN是二面角 CAFE 的平面角，即EMN，设FAC,则0 45在RtCNE中，NE EC sin60 3,在RtAMN中,MN AN sina 3sin a,故tanNE3.MN3sin a2,2又0 45,0 sina 故当sina 2,即当 45时，tan 达到最小值；2tan362，此时 F 与 C1重合。33解法 2：（I）建立如图 3 所示的空间直角坐标系，则由已知可得A(0,0,0),B(2 3,2
15、,0),C(0,4,0),A1(0,0,4),E(3,3,0),F(0,4,1),于是CA,1).1(0,4,4),EF(3,1则CA,1)044 0,1EF(0,4,4)(3,1故EF A1C.（II）设CF,(0 4)，平面 AEF 的一个法向量为m (x,y,z)，则由（I）得 F（0，4，）AE (3,3,0),AF (0,4,)，于是由m AE,m AF可得3x3y 0,m AE 0,即m AF 0,4y z 0.取m (3,4).又由直三棱柱的性质可取侧面AC1的一个法向量为n (1,0,0)，|mn|3216于是由为锐角可得cos，,sin22|m|n|2424216116所以t
16、an2，333由0 4，得11161,，即tan3334故当 4，即点 F 与点 C1重合时，tan取得最小值6,319本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想。（满分 13 分）解：（I）由已知an1 rSn,可得an2 rSn1，两式相减可得an2an1 r(Sn1Sn)ran1,即an2(r 1)an1,又a2 ra1 ra,所以 r=0 时，数列an为：a，0，0，；*当r 0,r 1时，由已知a 0,所以an 0（nN），于是由an2(r 1)an1,可得a2,a3,an2 r 1(nN)，an1,an成等比数列，n2当n 2时，an r
17、(r 1)a.综上，数列an的通项公式为an*anr(r 1)n 1,n2a,n 2（II）对于任意的mN，且m 2,am1,am,am2成等差数列，证明如下：a,n 1,当 r=0 时，由（I）知，am0,n 2对于任意的mN，且m 2,am1,am,am2成等差数列，当r 0，r 1时，*Sk2 Skak1ak2,Sk1ak1.*若存在kN，使得Sk1,S1,Sk2成等差数列，则Sk1 Sk2 2Sk，2Sk2ak1ak2 2Sk,即ak2 2ak1,由（I）知，a2,a3,am,的公比r 1 2，于是*对于任意的mN，且m 2,am1 2am,从而am2 4am,am1 am2 2am,
18、即am1,am,am2成等差数列，综上，对于任意的mN，且m 2,am1,am,am2成等差数列。20本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。（满分 14 分）解：（I）设动点为 M，其坐标为(x,y)，*当x a时，由条件可得kMA1kMA2即mx y ma(x a)，222yyy22 m,2xa xax a又A1(a,0),A2(A,0)的坐标满足mx y ma,222故依题意，曲线 C 的方程为mx y ma.222x2y21,C是焦点在 y 轴上的椭圆；当m 1时,曲线 C 的方程为2ama2当m 1时，曲线 C 的方程为x
19、 y a，C 是圆心在原点的圆；222x2y21，C 是焦点在 x 轴上的椭圆；当1 m 0时，曲线 C 的方程为2ama2x2y21,C 是焦点在 x 轴上的双曲线。当m 0时，曲线 C 的方程为22ama（II）由（I）知，当 m=-1 时，C1的方程为x y a;当m(1,0)222(0,)时，C2的两个焦点分别为F1(a 1m,0),F2(a 1m,0).对于给定的m(1,0)(0,)，2C1上存在点N(x0,y0)(y0 0)使得S|m|a的充要条件是22x0 y0 a2,y0 0,122a 1m|y0|m|a.2由得0|y0|a,由得|y0|m|a.1m当0|m|a15 a,即 m
20、 0,21m15时，2或0 m 存在点 N，使 S=|m|a2；当|m|a15 a,即-1m,21m15时，2或m 不存在满足条件的点 N，当m15,02150,2时，由NF1(a 1m x0 y0),NF2(a 1m x0,y0)，2222可得NF1NF2 x0(1m)a y0 ma,令|NF1|r1,|NF2|r2,F1NF2，ma2则由NF1NF2 r1r2cos ma,可得r1r2，cos21ma2sin1 ma2tan，从而S r1r2sin 22cos2于是由S|m|a，可得2122|m|ma tan|m|a2,即tan.2m152时，在 C1上，存在点 N，使得S|m|a,且ta
21、n F1NF2 2;,02综上可得：当m当m0,152时，在 C1上，存在点 N，使得S|m|a,且tan F1NF2 2;21515)(,)时，在 C1上，不存在满足条件的点N。22当m(1,21本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想。（满分 14 分）解：（I）f(x)的定义域为(0,)，令f(x)11 0,解得x 1.x当0 x 1时,f(x)0,f(x)在（0，1）内是增函数；当x 1时，f(x)0,f(x)在(1,)内是减函数；故函数f(x)在x 1处取得最大值f(1)0.（II）（1）由（I）知，当x(0,)
22、时，有f(x)f(1)0,即ln x x1.ak,bk 0，从而有lnak ak1，得bklnak akbkbk(k 1,2,求和得n,n)，lnak1nk1kakbkbk.k1k1nk2knna b b,lnakkkk1k1k1kkn 0,knan1.即ln(a11a22kknk2an)0,a1k1a2（2）先证b11b22令aknk1knbn.n,n),1(k 1,2,nbknn1则akbk1bk,于是k1k1nk1由（1）得(1k11k2)()nb1nb2(1kn1k1k2)1，即k1k2 nknnbnb1b2bnkn n,b11b22kkk1knbn.nkkn2bn b12b22bn.再证b11b22n记S nbk2,令akk1bk(k 1,2,S,n)，n1n2则akbkb11bk，Sk1k1k1于是由（1）得(即b11b22b11b22kkkkb1k1b2k2)()SSkn(bnkn)1.Sknbn Sk1k2 S,2bn.knbn b12b22综合，（2）得证。