线性代数总复习题.pdf

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1、一、单项选择题111.n行 列 式D 110111101111的 值为0 1 A.1 B.(1)n1 C.0 D.-122.设n阶 矩 阵A满 足A 0,E是n阶 单 位 矩 阵，则：_ A.E A 0,但EA 0 B.E A 0但EA 0 C.E A 0,且EA 0 D.E A 0且EA 0)3.设t()表 示 排 列 的 逆 序 数,则t(314 7 289 65)(1 A.10 B.12.C.0.D.11.t(64 27531)=1212124.设A 212,B 314,C cij AB.则c23_340205 A.22 B.10 C.3 D.11235.设F 014,E(3(2)是 3

2、阶 给 单 位 矩 阵 的 第 3 行(列)乘 以 2 所230得 的初 等 方 阵,则E(3(2)F等 于 _132123 A.041.B.230.203014123126 C.014.D.018.4602306.设A为n阶 阵，秩(A)n 3,且1,2,3是AX 0的 三 个 线 性 无 关的 解 向 量,AX 0的 基 础 解 系 为：_ A.12,23,31 B.21,32,13127.设A为mn矩 阵，且mn,若A的 行 向 量 组 线 性 无 关，b为m维 非 C.221,32,13 D.123,32,123零列 向 量，则_ A.AXb有 无 穷 多 解 B.AXb仅 有 唯 一

3、 解,C.AXb无 解 D.AXb仅 有 零 解.8.设t()表 示 排 列 的 逆 序 数,则t(7564132)t(6312 54)t(2 35 41)A.0 B.1 C.2 D.29设n维 向 量 组1,2,m线 性 无 关，则：_ A.组 中 增 加 一 个 任 意 向 量 后 也 线 性 无 关 B.组 中 去 掉 一 个 向 量 后 仍 线 性 无 关 C.存 在 不 全 为0的 数k1,km，使kii 0i1m D.组 中 至 少 有 一 个 向 量 可 由 其 余 向 量 线 性 表 示10.设 三 阶 矩 阵A的 特 征 值 为1、则A的 伴 随 矩 阵 的 特 征4，3、A

4、*值 为_1134 C.2、5、6 D.1、6、911.若 方 程 组AmnXB(mn)对 于 任 意m维 列 向 量B都 有 解，则 A.12、4、3 B.1、_ A.R(A)n.B.R(A)m.C.R(A)n.D.R(A)m.100103112.设AB 110,且A 211,则B_0011213 10113 A.112 B.231121131103112 C.311 D.21132112113.设t()表 示 排 列 的 逆 序 数,则t(134782695)A.1 B.2 C.3 D.10a11x1 1 14.已知线性方程组1a1x21有无穷多个解，则a _11ax3 2(A)2；(B)

5、2；(C)1；(D)1.1115.n 阶（n1）行列式D 1111111111的值为_ 1111 (A)0（B）1（C）(1)n1（D）-116.已 知 向 量 组1,m线 性 相 关，则_ A.该 向 量 组 的 任 何 部 分 组 必 线 性 相 关 B.该 向 量 组 的 任 何 部 分 组必 线 性 无 关 C.该 向 量 组 的 秩小 于m D.该 向 量 组 的 最 大 线 性 无 关组 是 唯一 的17.线 性 方 程 组AmnXB有 解 的 必 要 条 件 是_ A.B 0 B.m n C.m n D.R(A)R(A|B)(其 中(A|B)表 示 方 程 组 的 增 广 阵)1

6、8.设 向 量 组1,2,3,4线 性 无 关，则_ A.12,23,34,41,线 性 无 关 B.12,23,34,41,线 性 无 关 C.12,23,34,41,线 性 无 关 D.12,23,34,41,线 性 无 关19.设 D为 九 阶 行 列 式,t(k1,k2,k9)表 示k1,k2,k9排 列 的 逆 序数,则t(12 34 56 7 8 9)D等 于 A.1 B.D C.0 D.120.设 1 1 （k k,1,1),1,1),2 2 （0,2,3),0,2,3),3 3 （1,0,1),1,0,1),如它们线性相关，则k=_ (A)1/2；(B)-1/2；(C)2；(D

7、)2。21.向量组 1 1 (1,2,3,4),(1,2,3,4),2 2 (2,3,4,5),(2,3,4,5),3 3 (3,4,5,6),(3,4,5,6),4 4 (4,5,6,7),(4,5,6,7),则向量组 1 1,2 2,3 3,4 4的秩为_ (A)1；(B)2；(C)3；(D)4。12322.已知Q Q 24t，则关于 Q 的秩的下列结论369（1）t 6时，Q 的秩为 1；（2）t 6时，Q 的秩为 2；（3）t 6时，Q 的秩为 2；（4）t 6时，Q 的秩为 1中有_个是对的A.1B.2C.3D.4*23.设 A 为 n 阶方阵，且A a 0,则 A。(A)a (B)

8、1n1n (C)a (D)aa24.n 阶实对称矩阵 A 为正定矩阵的充要条件是。（A）所有k级子式为正(k 1,2,n)(B)A 的所有特征值非负（C）A为正定矩阵（D）r(A)n125.n 阶方阵 A 与对角矩阵相似的充要条件是。（A）矩阵 A 有 n 个特征值。（B）矩阵 A 的行列式A 0。（C）矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量。（D）矩阵 A 的秩为 n。二、填空题1.已知1 i 2 5 j 4 8 9 7为 偶排 列,则i _ ,j _.ab2.行 列 式00ba0000ab00_.ba3.如 果 向 量 组 I 的 某 个 部 分 组 线 性 相 关，那 么 向 量 组 I

9、 本 身 线 性_ 关。4.行 列 式x1x31x2 x1=_.,a1,a1),2(1,a2,a2),3(1,a3,a3),则当常数5.已知向量组1(1222a1,a2,a3满 足_ 时 该 向 量 组 线 性 无 关。6.设 向 量(3,4,2,4),则的 长 度 等 于_.7.设A为mn矩 阵，当 非 齐 次 线 性 方 程 组AXb有 解 时,它 有 唯一 解 的 充 要 条 件是_.8.设A,1,2,B,1,2均 是3阶 方 阵,1,2是三 维 列 向 量，若A 2,B 3,则A2B_.9.如 果 一 个 向 量 组 线 性 无 关，那 么 它 的 任 意 一 个 部 分 组 线 性_

10、 关。10.设1(1,k,0),2(0,1,k),3(k,0,1).如 果 向 量 组1,2,3线 性 无关，则 实 数k的取 值 范 围 是_.11.设 t()表 示 排 列 的逆 序 数,则t(n,n 1,1)_.t(2,4,6,2n,1,3,2n 1)2212.设二次型f(x1,x2)2x1 2x2 4kx1x2为正定二次型，则k的取值范围为a013.行 列 式0000c00b0000_.0d14.设 三 阶 可 逆 矩 阵A的 特 征 值 是1、2，则A的 特 征 值 为_。131x1 2x2 a1x2 2x3 a215.方 程 组x 2x a有解的充要条件是_.343x13x2 x3

11、2x4 a416.设 向 量 组11t,3,0,20,2t,2,31t,5,0是 线 性 相关 组，则t _。17.设A 12n1,B 12n1其 中,1,n是n维 列 向量，若Aa,Bb则AB_.0 00 03 318.0 02 22 2 1 11 11 15 6 32 1 474 5a221的代数余子式_。19.3 阶行列式元素2020.设A 010000,则A1等 于 _.1621.已知5(1,0,5(1,0,1)1)3 3 (1,0,2)(1,0,2)(2,(2,3,3,1)1)则（）2 0 001103 2=_。22.1 1 12 20 0 1 123.A A 0 01 10 0，则

12、A A 0 00 01 1 1 1 24.(1,2,3)(1,2,3)1 1 。1 1 25.设 A 为 3 阶方阵，且A 4，则2A _。26两个等价的线性无关向量组有_ _个数的向量。1227设四阶行列式342341341241，Aij是其i,j元的代数余子式，则23A31 A32A33 A34 _ax128.线性方程组x13x1x22x33x3ax300有非零解的充要条件是a满足_0ax24x229.设1(1,k,0),2(0,1,k),3(k,0,1).如 果 向 量 组1,2,3线 性 无关，则 实 数k的取 值 范 围 是_*AA30.设A为3阶方阵，|A|=2，则|=_.2313

13、1齐次线性方程组AX 0的基础解系含有 3 个解向量，其中A是35矩阵，则秩R(A)_。32两个等价的线性无关向量组有_ _个数的向量。33设A为n阶方阵，满足A3E 0,则 _一定为A的一个特征值。三、简答题1.设 矩 阵A及B的 两 个 乘 积AB和BA都 存 在,且ABBA，问A,B是否 一 定 是 同 阶 方 阵，为 什 么？2.设1,2,3是 齐 次 线 性 方 程 组AX 0的 基 础 解 系，问12,2 23,3 31是 否 也 是 它 的 基 础 解 系?为 什 么?3.在 秩 为r的 矩 阵 中，有 没 有 等 于 零 的r1阶 子 式？举 例 说 明。4.如 果 将n阶 行

14、 列 式 所 有 元 素 变 号，问 行 列 式 如 何 变 化？5.求 排 列nn 121的 逆序 数，并 讨 论 它 的 奇 偶 性.22226.判定二次型f(x1,x2,x3,x4)x1 x214x3 7x4 6x1x2 4x1x4 4x2x3是否正定。11x11nxn 0有 非 零 解，记7.设 齐 次 线 性 方 程 组x x 0nnnn1 1111nb1使得方 程 组ATXB有唯一解?A,问能否找到向量B n1nnbn3x1 x2 x40 x1 x2 x3 x418.试 将 方 程 组x x 2x x 2表 示 为 矩 阵 的 形 式.1234x 2x x 1342 x1 2x2

15、x3 09.判 别 下 列 方 程 组 是 否 有 非 零 解:2x13x2 x3 04x x x 02315 6 310.求 3 阶行列式2 1 4元素a221的代数余子式74 5四、计算题 135212112121.计 算:21031311231 213,B 1212,求AB及BA2.设A 30111 2303.计 算行 列 式：2131D 12504121D 326222.000111101212112200011110D 1212114.设 1 1 (1,1,0),(1,1,0),2 2 (1,0,1),(1,0,1),3 3 (0,1,1),(0,1,1),及 (2,0,0),(2,

16、0,0),试求数x x1 1,x x2 2,x x3 3,使 x x1 1 1 1 x x2 2 2 2 x x3 3 3 3.00 4 00020的逆 矩 阵.5.求 方 阵A 1000510000 113 1，求A的 秩.6.设A 211701 197.求向 量 组的一个极大无关组及秩，并将其余向量用此极大无关组线性表示：11,2,1,22,1,3,33,0,4,45,1,611,2,1,1,21,2,1,0,30,3,0,4,41,5,1,2T12,1,3,1T，23,1,2,0T，31,3,4,2，44,3,1,1T8.求 解 方 程 组x 2y 3z 4w 4 x x1 1 x x2

17、 2 x x3 3 x x4 4 0 0y z w 3 x x1 1 x x2 2 x x3 3 3 3x x4 4 0 0 x 3y w 1 x x x x 2 2x x 3 3x x 0 02 23 34 4 1 17y 3z w 3.4x1 x23x3 x4 0 x y 3z w 03x y 3z 4w 02x13x2 x35x4 0 x 5y 9z 8w 0 x 2x 2x 3x 012349求矩阵X，满足 12 101 0 X 21 2-11 1 01031 2110.设A ,求AB BA.,B 223211.设向量组1(a,2,10),2（-2,1，5），3（1,1，4），（1，b

18、,c）。试问：TTTTa,b,c满足什么条件时，（1）可由1,2,3线性表示，且表示法唯一；（2）不能由1,2,3线性表示；（3）可由1,2,3线性表示，但表示法不唯一。x1 x2 x3 112.设线性方程组2x1 kx2 2x3 0kx 2x x k231（1）k为何值时，方程组有唯一解、无解；（2）k为何值时，方程组有无穷多解？并求出其通解。13.用正交变换把二次型化为标准形,写出所用的正交变换并确定该二次型的正定性：22f(x1,x2,x3)2x1 x24x1x24x2x32fx1,x2 9x124x1x26x2五、证明题1.设1、2、3线性无关，证明123，2123，1223线性无关。2设方阵A满足A2 A2E 0，证明A可逆，并求A-1。3.设A与B可交换，且A可逆,A为A的伴随矩阵,试证明A与B也可交换.4.对 任 意 的n阶 矩 阵A，证 明AA为 对 称 矩 阵.5.若A为 可 逆 的n阶 矩 阵，B是n阶 矩 阵，且AB 0,证 明B 0.6.证明上三角矩阵的特征值是它主对角线上的元素.7设A可 逆，证 明A的 伴 随 矩 阵A*可 逆,并 求(A*)1.8.设向量1,2,r的线性无关，非零向量与1,2,r都正交，证明：与*1,2,r线性无关。