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1、平面向量应用举例（课时 1）一、教学目标1.掌握用向量方法解答几何中的平行、垂直、夹角和距离问题，体会解析法与向量法的区别与联系，培养应用所学知识解决问题的能力。2.通过用向量方法解决平面几何问题的过程，培养观察、分析、比较和判断的习惯，寻找问题捷径的能力。3.增强战胜困难的信心和百折不挠的人生观。二、重、难点重点：（体现向量的工具作用），用向量的方法解决简单的平面几何问题，体会向量在几何中的应用。难点：（体现向量的工具作用），用向量的方法解决简单的平面几何问题，体会向量在几何中的应用。三、教学方法：（1）自主性学习方法+探究式学习法（2）反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出为掌握的内
2、容及存在的差距。四、教学过程（一）课题引入1、提问：向量的加减运算和数量积运算是怎样的？2、讨论：若 O 为ABC的重心，则OAOBOC 0;水渠横断面是四边形 ABCD，DC AB,且 AD BC,则这个四边形为等腰梯形，类比几何元素之间的关系，你会想到向量运算之间都有什么关系？（二）新知探究（1）平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来。例如：平行四边形 ABCD 中，设AB=a，AD b，则AC AB BC,DB AB AD,向量AD,AB的夹角为DAB。（2）讨论：向量运算与几何中的结论“若a b，则a b，且a,b所在直线平行或重合”相类比，你有什么体
3、会？由学生举出几个具有线性运算的几何实例。（3）用向量方法解平面几何问题的步骤 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题。通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等。把运算结果“翻译”成几何关系。（三）典型例题例 1：求证：ABC的三条高交于一点。【证明】设 P 为ABC内一点，令PA a，PB b,PC c，则AB ba，BC cb,CA ac，当PA BC,PB CA时，有a(cb)0，b(ac)0。acab 0babc 0。+得acbc 0即c(ab)0，所以PCBA 0.可得PC BA,即 P 为三条高的交点，则ABC的 三条高交于
4、一点。变式（或跟踪）训练在ABC中，P 是 BC 的中点，角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若cAC aPA bPB 0，则ABC为（）A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等边三角形 D 等腰三角形但不等边例 2在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 A（-1，-2），B（2,3），C（-2，-1）.（1）求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长。（2）设实数 t 满足(ABtOC)OC 0，求 t 的值。（1）由题设知AB (3,5),AC (1,1),则AB AC (2,6),AB AC (4,4),所以AB AC 2 10,AB AC 4 2,故所求的两条对角线长分
5、别为4 2,2 10。（2）由题设知OC (2,1),ABtOC (32t,5 t)。由(ABtOC)OC 0,得(32t,5 t)(2,1)0从而 5t=-11,所以t 变式（或跟踪）训练11.513)，a与b不共线。例 2：设平面向量a (cos,sin)，（0 2），b (,22（1）证明：向量a b与a b垂直（2）当两个向量3a b与a 3b的模相等时，求 a(四)拓展提升例 3 若a cos,sin,b(cos,sin),且ka b 3 akb(k 0)。（1）用 k 表示数量积ab。（2）求ab的最小值，并求出此时a与b的夹角。（1）由ka b 3 akb得(ka b)23(ak
6、b)2，k2a 2ka bb 3a 6ka b3k b2222222，(k23)a 8ka b(13k2)b 0a 1,b 1,k238ka b13k2 0，2k22k21ab 8k4kk2111（2）ab(k)4k4k由函数单调性的定义容易证明f(k)11(k)在(0,1上单调递减，在1,)上单调递增。4k，此 时a与b的 夹 角 为，k 1，f(k)min f(1)11(11)421ab21cos,60o。a b12（五）归纳小结1、用向量方法解决平面几何问题的基本方法。2、向量知识在解析几何中的应用，主要涉及直线中的平行、垂直。五、作业布置1、书面作业：课本 P113 习题 2.5A 组
7、 1、2六、教学反思现行高中平面向量是高中数学内容之一。该内容的引入既丰富了高中数学的内容，又体现了向量作为数学工具的重要性。通过利用向量去解决一些实际问题，深化了数学知识间的关联性和系统性，为更好地学好高中数学奠定了良好的基础。七、超级链接01.若向量a,b满足|a|b|1,a,b的夹角为60，则aa ab等于（）313A.B.C.1 D.2 22222.已知向量a,b满足|a|1,|b|4,ab 2,则a,b的夹角为（）。3.若向量a,b满足|a|2,|b|2,且(ab)a,则(a b)等于（）A.3 B.2 2 C.10 D.104.若非零向量a,b满足|a|b|,(2ab)b 0，则a
8、,b的夹角为（）。A.30 B.60 C.120 D.1505.已知向量a0000(3,1),b是不平行于 x 轴的单位向量，且ab 3,则b等于（）1 3 313(,)D.(1,0)A.(3,1)B.(,C.)4422226.在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线 OB 的两端点分别为 O(0,0),B(1,1),则AB AC（）。答案：B A C D B第二课时 平面向量应用举例（课时 2）学校凤城高中姓名张家滢高群一、教学目标1会用向量方法解决简单的力学问题和其他一些实际问题；2体会向量是一种处理几何问题、物理问题等工具，发展运算能力和解决实际问题的能力；3增强战胜困难的信心和百折
9、不挠的人生观。二、重、难点掌握用向量解决物理问题的基本思路和步骤。三、教学方法（1）自主性学习方法+探究式学习法（2）反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出为掌握的内容及存在的差距。四、教学过程（一）课题引入（1）讨论：两个人提一个旅行包，夹角越大越费力。在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力。（2）提问：类比物理元素之间的关系，你会想到向量运算之间有什么关系？（二）1.教学物理中的向量物理中有许多量，比如力、速度、加速度都具有大小和方向。力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它们也符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则。力、速度、加速度、位移的分解就是向量的分解。用向量
10、研究物理问题的方法：首先把物理问题转化为数学问题，然后利用建立起来的数学模型解释和回答相关物理现象。（三）典型例题例 1原点O 在正六边形 ABCDEF 的中心，A(1，1)，D(1，1)，则O 的坐标是()A(2，0)B(2，0)C(0，2)D(0，-1)答案D变式（或跟踪）训练作用于同一点 O 的三个力F1,F2,F3处于平衡状态，已知F11,F2 2,F1与F2夹角为，求F3的大小。例 2.在风速为75（6-2）km/h的西风中，飞机以 150km/h 的航速向西北方向飞行，求没有风时，飞机的航速和航向。解：设w=风速，va=有风时飞机的航行速度，vb=无风时飞机的航行速度，23vbva
11、wvb,va,w构成三角形。AB va,CB w,AC vb作AD/BC,CD AD与D，BE AD于E.则BAD 450设AB 150,则 CB 75(6 2)CD BE EA 75 2DA 75 6AC 150 2,CAD 300 vb150 2km/h,变式（或跟踪）训练方向为北偏西600。已知a 2,b 3，a与b的夹角为450，求使向量ab与ab的夹角是锐角时，的取值范围。（四）拓展提升例 3 已知a 1,1,b,1，若a,b的夹角为钝角，求的取值范围.（五）归纳小结1、向量知识在解析几何中的应用，主要涉及直线中的平行、垂直。五、作业布置2、课本 P113 习题 2.5A 组 3、4
12、、5六、教学反思向量的基础知识较多，且与其他很多部分知识都有联系，如向量与函数的联系、向量与三角函数的联系、向量与立体几何的联系、向量与解析几何的联系等。因此，有必要加强对向量这一章节的进一步研究和总结。七、超级链接1一物体受到相互垂直的两个力f f1、f f2的作用，两力大小都为5N，则两个力的合力的大小为()A10N B0NC5 2ND.1N答案：C2、a与b为平面内互相垂直的单位向量，若向量c满足(b c)(a c)0，则大值为（）A、1B、2C、答案：C3、若向量a与b不共线，ab 0，且c a(aa)b，则向量a与c的夹角为（）abA、0B、c的最2D、22C、D、632答案：D4、已知向量a (1,2)，b(2,3)，若向量c满足(c a)/b，c(b a)，则c=（）A、(77B、77C、7 7D、77,)(,)(,)(,)933 93993答案：D5、已知单位向量e1、e2的夹角为60，则2e1e2（）答案：36、已知 a a 与 b b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量 a a+b b 与向量 ka a-b b 垂直则 k=()答案：1