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1、第二章第二章函数函数一、一、函数的概念与表示函数的概念与表示1 1、映射（1）映射：设A、B 是两个集合，如果按照某种映射法则 f，对于集合 A 中的任一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合 A、B 以及 A 到 B 的对应法则 f）叫做集合 A 到集合 B的映射，记作 f：AB。（2）象与原象：如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么集合 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象，a 叫做 b 的原象。注意点：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。2、函数（1）函数的定义原始定义：设在某变化过程中有两个变量 x、y，
2、如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称 y 是 x 的函数，x 叫作自变量。近代定义：设 A、B 都是非空的数的集合，f：xy 是从 A 到 B 的一个对应法则，那么从 A 到 B 的映射 f：AB 就叫做函数，记作 y=f(x)，其中x A,叫做函数的值域。CyB，原象集合 A 叫做函数的定义域，象集合 C B（2）构成函数概念的三要素定义域对应法则值域3、函数的表示方法解析法列表法图象法注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。二、函数的解析式与定义域二、函数的解析式与定义域1、函数解析式：函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连结
3、而成的式子叫解析式，解析式亦称“解析表达式”或“表达式”，简称“式”。（注意分段函数）求函数解析式的方法：（1）定义法（2）变量代换法（3）待定系数法（4）函数方程法（5）参数法（6）实际问题2、函数的定义域：要使函数有意义的自变量 x 的取值的集合。求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于 1；如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集。3。复合函数定义域：已知 f(x)的定义域为xa,b,其复合函数fg(x
4、)的定义域应由不等式a g(x)b解出。三、函数的值域1函数的值域的定义在函数 y=f(x)中，与自变量 x 的值对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。2确定函数的值域的原则当函数 y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数 y 的集合；当函数 y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在 y 轴上的投影所覆盖的实数 y 的集合；当函数 y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数 y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。3求函数值域的方法直接法：从自变量 x 的范围出发，推出 y=f(x)的取值范围；二次函
5、数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域；反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域；判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出 y 的取值范围；单调性法：利用函数的单调性求值域；不等式法：利用不等式的性质求值域；图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。四四函数的奇偶性1 1 定义定义:设 y=f(x)，xA，如果对于任意xA，都有xA，如果对于任意xA，都有偶函数，则称函数 y=2.2.性质性质：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于f(x)f(x)，则称 y=f(x)为偶函数
6、。设 y=f(x)，f(x)f(x)，则称 y=f(x)为奇函数。如果函数f(x)是奇函数或f(x)具有奇偶性。y轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数无反函数，奇函数的反函数还是奇函数，若函数 f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和11f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)22奇 奇=奇 偶偶=偶奇奇=偶偶偶=偶奇偶=奇两函数 的定义 域D1，D2，D1D2要关 于原点对称 对于F(x)=fg(x):若g(x)是偶函数，则F(x)
7、是偶函数若g(x)是奇函 数且f(x)是奇 函数，则 F(x)是奇函数若g(x)是奇函 数且f(x)是偶 函数，则 F(x)是偶函数3 3奇偶性的判断奇偶性的判断看定义 域是否 关于原 点对称看f(x)与f(-x)的关系五、函数的单调性五、函数的单调性1、函数单调性的定义；2、判断函数单调性（求单调区间）的方法：（1）从定义入手，（2）从图象入手，（3）从函数运算入手，（4）从熟悉的函数入手（5）从复合函数的单调性规律入手注：函数的定义域优先3、函数单调性的证明：定义法“取值作差变形定号结论”。4、一般规律（1）若 f(x),g(x)均为增函数，则 f(x)+g(x)仍为增函数；（2）若 f(
8、x)为增函数，则-f(x)为减函数；（3）互为反函数的两个函数有相同的单调性；（4）设y fgx是定义在 M 上的函数，若 f(x)与 g(x)的单调性相反，则y fgx在 M 上是减y fgx在 M 上是增函数。函数；若 f(x)与 g(x)的单调性相同，则六、反函数六、反函数1、反函数的概念：设函数y=f(x)的定义域为 A，值域为C，由y=f(x)求出x y，若对于C 中的每一个值 y，在 A 中都有唯一的一个值和它对应，那么x叫函数 y=f(x)的反函数，记作xy叫以 y 为自变量的函数，这个函数x yf1 f1y，通常情况下，一般用x 表示自变量，所以记作y x。注：在理解反函数的概
9、念时应注意下列问题。（1）只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数；（2）反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；2、求反函数的步骤（1）解关于 x 的方程 y=f(x)，达到以 y 表示 x 的目的；（2）把第一步得到的式子中的 x 换成 y，y 换成 x；（3）求出并说明反函数的定义域（即函数 y=f(x)的值域）。3、关于反函数的性质（1）y=f(x)和 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称；（2）y=f(x)和 y=f-1(x)具有相同的单调性；（3）y=f(x)和 x=f-1(y)互为反函数，但对同一坐标系下它们的图象相同；（4）已知 y=f(x)，求 f-
10、1(a)，可利用 f(x)=a，从中求出 x，即是 f-1(a)；（5）f-1f(x)=x;（6）若点 P(a,b)在 y=f(x)的图象上，又在 y=f-1(x)的图象上，则 P(b,a)在 y=f(x)的图象上；（7）证明 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称，只需证得 y=f(x)反函数和 y=f(x)相同；七二次函数1二次函数的解析式的三种形式(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a0)，其中 a 是开口方向与大小，c 是 Y 轴上的截距，而(2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k 其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。(3)两根式（因式分解）：f(x)=a(x-x1)
11、(x-x2),其中 x1,x2是抛物线与 x 轴两交点的坐标。求一个二次函数的解析式需三个独立条件，如：已知抛物线过三点，已知对称轴和两点，已知顶点和对称轴。又如，已知 f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程 f(x)-x=0 的两根为x1,x2，则可设f(x)-x=b是对称轴。2afx x ax x1x x2,或fx ax x1x x2 x。22二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴x b，顶点坐标(b,4 ac b)2 a4 a2a（1）a0 时，抛物线开口向上，函数在(,b上单调递减，在b,)上单调递增，x2 a2 a4 ac b2时，f(x)m in4
12、 ab2a（2）a0)情况=b2-4ac一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)一元二次不等式解集ax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0)0 b 2a b x22ax1x x x 或x xx x121 x x2图象与解=0bx1 x2 2ax x x00,a0,M0,N0logaM logaM logaNlogaMn nlogaMNN(4)对数换底公式：logalogmN(N 0,a 0且a 1,m 0且m 1)logma（5）对数的降幂公式：log九指数函数与对数函数amNnnlogaN(N 0,a 0且a 1)m1、指数函数 y=ax与对数函数 y=logax(a0,a1)互为反函数
13、，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系名称一般形式定义域值域过定点指数函数Y=ax(a0 且 a1)(-,+)(0,+)（，1）对数函数y=logax(a0,a1)(0,+)(-,+)（1，）指数函数 y=ax与对数函数 y=logax(a0,a1)图象关于 y=x 对称图象单调性值分布a1,在(-,+)上为增函数a1?y1,在(0,+)上为增函数a0?y0?比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：3、研究指数，对数函
14、数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制的单调性是解决问题的重要途径。十函数的图象十函数的图象1 1、作函数图象的基本方法有两种：、作函数图象的基本方法有两种：4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数（1 1）描点法：描点法：1、先确定函数定义域，讨论函数的性质（奇偶性，单调性，周期性）2、列表（注意特殊点，如：零点，最大最小，与轴的交点）3、描点，连线如：作出函数（2）图象变换法：图象变换法：利用基本初等函数变换作图h 0,右移;h 0,左移 y f(x h)平移变换：平移变换：（左正右负，上正下负）即（左正右负，上正下负）即y f(x)0,下移;k 0,上移y f(x)k y f(x)ky x 1的图象x对称变换：对称变换：（对称谁，谁不变，对称原点都要变）x 轴y f(x)y f(x)y 轴y f(x)y f(x)y f(x)原点 y f(x)y xy f(x)y f 1(x)y 轴右边不变，左边为右边部分的对称图y f(x)y f(x)x 轴上方图，将x 轴下方图上翻y f(x)保留 y f(x)y f(x)伸缩变换伸缩变换：y f(x)来的A倍y f(x)仍一点的纵坐标变为原 y Af(x)1 仍一点的横坐标变为原来的倍