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1、函数函数的性质函数的性质1 1函数的图象函数的图象图象变换主要有：平移变换、伸缩变换、对称变换等。引理函数图象对称性的判定1）若定义在R上的函数fx满足fx a fb x，则fx的图象关于直线x a b对称。22）若定义在R上的函数fx满足fx a fb x，则fx的图象关于点对称。引理1）函数y fa x与函数y fx b的图象关于直线x 2）函数y fa x与函数y fb x的图象关于直线x a b对称。2a b对称。2注：引理中）是对一个函数而言的，引理中的两个命题是对两个函数而言的。证明的思路是一样的，即任取一点求其对称点验证对称点是否在函数图象上最后由点的任意性得证。2 2函数的值域
2、（最值）的求法函数的值域（最值）的求法常用方法有：（1）配方法：如果所给的函数是二次函数或可化为二次函数的形式，一般采用配方法，但在求解时，要注意作为二次函数形式的自变量的取值范围。（2）判别式法：将所给函数y fx看作是关于x的方程。若是关于x第 1 页的一元二次方程，则可利用判别式大于等于来求y的取值范围，但要注意取等号的问题。（3）换元法：将一个复杂的函数中某个式子当作整体，通过换元可化为我们熟知的表达式，这里要注意所换元的表达式的取值范围。（4）利用函数单调性法：如果所给的函数是熟悉的已知函数的形式，则可利用函数的单调性来示值域，但要注意其单调区间。（5）反函数法：若某函数存在反函数，
3、则可利用互为反函数两个函数的定义域与值域互换，改求反函数的定义域。（6）（7）利用均值不等式法。构造法：通过构造相应图形，数形结合求出最值。.函数的单调性与其应用函数的单调性与其应用（）函数与其反函数在各自的定义域上具有相同的单调性。（）对于复合函数y fgx，若y fu与u gx的单调性相同，则y fgx是增函数；若y fu与u gx的单调性相反，则y fgx是减函数。（）若fx与gx是定义在同一区间上的两个函数，当fx与gx都是增（减）函数时，fx gx也必为增（减）函数；当fx与gx恒大于，且fx与gx都是单调递增（减）的，则fxgx也是单调递增（减）的。（）函数的单调性主要有以下应用：
4、第 2 页利用函数的单调性求函数的值域（或最值）；利用函数的单调性解不等式；利用函数的单调性确定参数的取值范围；利用函数的单调性解方程等等。.函数的奇偶性与其应用函数的奇偶性与其应用（）函数是奇函数的充要条件是图象关于原点对称；函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称。（）定义域关于原点对称的任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和的形式。（）若函数是奇函数，则其反函数也为奇函数，反之亦然。（）函数的奇偶性主要有以下应用：求函数值；求函数表达式；判断函数的单调性：如果已知具有奇偶性的函数fx在区间a,b0 a b上的单调性，由奇偶函数的对称性可直接判断fx在b,a上的单调性。函数
5、的周期性函数的周期性对于函数fx，如果存在一个不为零的正数T，使得当x取定义域中的每一个数时，fx T fx总成立，那么称fx是周期函数，T称为这个周期函数的周期。1）若定义在R上的函数fx满足fx a fx b，a b，则fx是周期函数，且周期为b a。2）若定义在R上的函数fx满足fx a fx b，a b，则fx是周期函数，且周期为2 ba。函数的对称与周期的关系：函数的对称与周期的关系：第 3 页1）若定义在R上的函数fx既关于直线x a对称，又关于直线x b对称，且a b，则fx是周期函数，且2 ba是周期。2）若定义在R上的函数fx既关于直线x a对称，又关于点b,0对称，且a b
6、，则fx是周期函数，且4 b a是周期。第 4 页巩固练习：巩固练习：一选择题下面列举的四个函数中，满足性质（）。已知fx asin x b3x 4（a,b为实数），且flglog310 5，则flglg3的值是（）。5 x y 1ffx fy的函数f22是33随a,b的值而定设fx是定义在实数集R上的函数，且满足：（）f10 x f10 x；（）f20 x f20 x。则fx是（）。偶函数，又是周期函数偶函数，但不是周期函数奇函数，又是周期函数奇函数，但不是周期函数对于一切实数x、y，函数f满足方程fx y fx fy1 xy，且f11，那么，fn nn 1的整数n的个数共有（）个。函数fx
7、xx（x122）。是偶函数但不是奇函数是奇函数但不是偶函数既是偶函数又是奇函数既不是偶函数也不是奇函数若log23xlog53xlog23ylog53y，则（）。二解答题设A 0,1。若f是从A到R的一个映射，且满足（）fx 0，对任何x0,1；（），对任何x,y0,1。第 5 页证明：存在一个实数b0，使得对任何x0,1均有fx b0。函数fx定义在,00,上，对定义域中任意数x，在定义域中存在x1，x2，使x x1 x2，fx1 fx2，且满足以下三个条件：若x1,x2,00,，fx1 fx2或0 x1 x2 a，则fx1 x2fx1 fx21fx2 fx1；fa1（a是正常数）；当0 x
8、 2a时，fx 0。试证：（）fx是奇函数；（）fx是周期函数，并求出其周期；（）fx在0,4a内是减函数。.若函数f(x)1x213在区间a,b上的最小值为2a，最大值为2b，求a,b.22.函数fx在0,1上连续，f0 f1，且对任意不同的x,x 0,1，都有12fx1 fx2 x1 x2，求证：fx fx1。212第 6 页答案提示：一、选择题：二、解答题：.分析：要证此问题，因f是从A到R的映射，所以只要证明对任意x,y0,1均有fx fy即可。证明：由（），（）得令x s，y 1 s，任意s0,1。则f2s f21 s 2 fsf1 s2即 f s f 1 s 0又fs f1 s 0
9、2 fs f1 s 0，即fs f1 s fs关于x 1对称。2由fx的对称性可知fx f1 x，fy f1 y，任意的x,y0,1（）式变成即fx fy。再由x,y的任意性可知，又有fy fx，于是fx fy。存在一个实数b0使得，对任意x0,1均有fx b0。.证明：（）对任意x,00,，由条件知，在定义域内存在x1,x2，使x x1 x2，且fx1 fx2，有所以fx为奇函数。（）因fx是奇函数，fa1，故fa 1，于是第 7 页f2a fa afafa1 0，fa fa（）若fx 0fx f2a1则fx 2a f x 2a f2a fx1fx，则fx 4a f x 2a 2a（）若fx
10、 011 fx1fx 2afxfx fa1则fx a f x afa fx1 1，1可见仍有fx 4a fx综上所述，fx为周期函数，4a是一个周期。（）先证fx在区间0,2a上是减函数。事实上，任取x，x满足0 x121 x2 2a，则0 x2 x1 2a，又有f2a f 4a 2a f2a 0，根据题设条件，有fx 0，fx 0，且fx fx1 fx2112fx1 fx22 x1 0，故fx fx，知fx在区间0,2a上是减函数。12当x2a,4a时，又任取x，x，满足2a x343 x4 4a，则0 x32a x42a 2a，有所以，fx在2a,4a内也是减函数。虽然，由上述推导过程知，
11、对于任意的0 x即fx在区间0,4a内是减函数。3.解：由条件知函数fx是顶点为0,，对称轴为x 0，开口向下的抛21 x2 4a，总有fx1 fx2，物线，在区间a,b上的最小值为2a，最大值为2b，对区间a,b的位置分别讨论如下：第 8 页（）若0 a b，则fx在区间a,b上单调递减，故满足，即，解得a 1，b 3，区间a,b1,3。（）若a 0b，则fx在a,0上单调递增，在0,b上单调递减，故1313f0 2b，即b 24。由a 0，故2a 0，而1131339fb 0，所以242322113fx在x a时取最小值2a，即2a a2，解得a 2 1722。所以。（）若a b0，则fx在区间a,b上单调递增，即，即，由于方程1213x 2x 0两根相异，故满足a b0的区间不存在。22故所求区间a,b为1,3或。.证明：因为fx在0,1上连续，所以fx在0,1上有最大值和最小值。不妨设最大值M ft，最小值m ft，t,t 0,1。1212（1）（2）当t当t1t2t21时，fx1 fx2 ft1 ft2 t1t21，所以fx1 fx212221时，若t1t2，即t2t11221。21212。1，若t2t1，同样可得fx1 fx2由（）（）可知，对任意不相等的x,x 0,1，都有fx fx1。2第 9 页