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1、考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编 4 4(题后含答案题后含答案及解析及解析)题型有：1.选择题 2.填空题 3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在(，)内单调有界，xn为数列，下列命题正确的是A若xn收敛，则f(xn)收敛B若xn单调，则f(xn)收敛C若f(xn)收敛，则xn收敛D若f(xn)单调，则xn收敛正确答案：B解析：若xn)单调，则f(xn)单调，又 f(x)在(，)内有界，可见f(xn)单调有界，从而f(xn)收敛故应选(B)知识模块：函数、极限、连续2 设 an0(n
2、1，2，3，)，Sna1a2an，则数列Sn有界是数列an收敛的A充分必要条件B充分非必要条件C必要非充分条件D既非允分也非必要条件正确答案：B解析：由an0(n1，2，3，)，数列Sn单凋增加，若Sn有界，则Sn收敛，且即an收敛，故充分性成立但必要性不一定成立，即若 an0(n1，2，3，)，且数列an2收敛，则数列Sn不一定有界例如，an1(n1，2，3，)，则数列an收敛于 1，但数列Snn无界故应选(B)知识模块：函数、极限、连续3 设 x0 时，etanxex 与 xn 是同阶无穷小，则 n 为A1B2C3D4正确答案：C解析：因为知，n3故应选(C)知识模块：函数、极限、连续4
3、设当 x0 时，(1cosx)ln(1x2)是比 xsinxn 高阶的无穷小，xsinxn 是比(ex21)高阶的无穷小，则正整数，n 等于A1B2C3D4正确答案：B解析：分析直接按无穷小量的定义进行讨论详解由题设，有知，n2；又由知 n2故 n2故应选(B)知识模块：函数、极限、连续5 把 x0时的无穷小量排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是A，B，C，D，正确答案：B解析：分析先两两进行比较，再排出次序；也可先求出各无穷小量关于x 的阶数，再进行比较详解 1，可排除(C)，(D)选项，又可见是比低阶的无穷小量，故应选(B)详解 2由存在且不为零，知n1；存在且不
4、为零，知n3；存在且不为零，知 n2；故应选(B)知识模块：函数、极限、连续6 当 x0时，与等价的无穷小量是ABCD正确答案：B解析：分析利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案详解当 x0时，有；利用排除法知应选(B)评注本题直接找出的等价无穷小有些困难，但由于另三个的等价无穷小很容易得到，因此通过排除法可得到答案事实上，知识模块：函数、极限、连续7 当 x0 时，f(x)xsinax 与 g(x)x2ln(1bx)是等价无穷小，则Aa1，Bn1，Ca1，Da1，正确答案：A解析：详解f(x)xsinax，g(x)x2ln(1bx)为
5、等价无穷小，则由洛必塔法则只需因为，从而 a1 再由，故应选(A)评注本题主要考查等价无穷小的概念、无穷小等价代换、洛必塔法则及重要结论：知识模块：函数、极限、连续8 已知当 x0 时，函数 f(x)3sinxsin3x 与 cxk 是等价无穷小，则Ak1，c4Bk1，C4Ck3，c4Dk3，C4正确答案：C解析：分析由等价无穷小的定义及泰勒公式或洛必塔法则可得，属基本题型详解 1用泰勒公式由题意所以 k3，c4故应选(C)详解 2欲使，由洛必塔法则，只需，和差化积得所以k3，c4故应选(C)知识模块：函数、极限、连续9 设 cosx1xsina(x)，其中，则当 x0 时，a(x)是A比 x
6、 高阶的无穷小B比 x 低阶的无穷小C与 x 同阶但不等价的无穷小D与 x 等价的无穷小正确答案：C解析：由 cosx1xsina(x)，有因此 sina(x)是与 x 同阶但不等价无穷小，又 sina(x)与 a(x)是等价无穷小，所以，a(x)是与 x 同阶但不等价的无穷小故选(C)知识模块：函数、极限、连续10 设函数在(，)内连续，且，则常数 a，b 满足Aa0，b0Ba>0，b0Ca0，b0Da0，b0正确答案：D解析：分析根据 f(x)的连续性和条件确定常数详解由题设 f(x)在(，)内连续，因此对任意的 x(，)，有 aebr0，这只需a0 即可；另外，由，所以必有 b0故
7、应选(D)评注事实上，本题由 a0 即可选择正确答案为(D)知识模块：函数、极限、连续11 设函数，则Ax0，x1 都是 f(x)的第一类间断点Bx0，x1 都是 f(x)的第二类间断点Cx0 是 f(x)的第一类间断点，x1 是 f(x)的第二类间断点Dx0 是 f(x)的第二类间断点，x1 是 f(x)的第一类间断点正确答案：D解析：分析显然 x0，x1 为间断点，其分类主要考虑左、右极限详解由于函数 f(x)在 x0，x1 点处无定义，因此是间断点且，所以 x0为第二类间断点，所以 x1 为第一类间断点，故应选(D)评注应特别注意：。知识模块：函数、极限、连续12 设 f(x)是奇函数，
8、除x0 外处处连续，x0 是其第一类间断点，则0 xf(t)dt 是A连续的奇函数B连续的偶函数C在 x0 间断的奇函数D在 x0 间断的偶函数正确答案：B解析：分析由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数f(x)去计算 F(x)0 xf(t)dt，然后选择正确选项详解取则当 x0 时，而 F(0)0所以 F(x)为连续的偶函数，故应选(B)评注对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效 知识模块：函数、极限、连续13 函数在，上的第一类间断点是 xA0B1CD正确答案：A解析：分析f(x)为初等函数，找出其无定
9、义点即为间断点，再根据左、右极限判断其类型 详解f(x)在，上的无定义点，即间断点为 x0，1，又可见 x0 为第一类间断点，故应选(A)评注本题尽管可计算出，从而x1，均为第二类间断点，但根据四个选项的答案，已经确定 x0 为第一类间断点后，后面三个极限问题事实上没必要再计算 知识模块：函数、极限、连续14 设函数，则 f(x)有A1 个可去间断点，1 个跳跃间断点B1 个可去间断点，1 个无穷间断点C2 个跳跃间断点D2 个无穷问断点正确答案：A解析：详解f(x)的间断点为 x0，x1 因为可见 x0 为可去间断点 又，可见 x1 为跳跃间断点，故应选(A)知识模块：函数、极限、连续15
10、函数的可去间断点的个数为A1B2C3D无穷多个正确答案：C解析：详解当 x 取任何整数时，f(x)均无意义，f(x)的间断点必有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故由 xx30 的解 x1,2,30，1 有所以可去间断点为 3 个，即 0，1，故应选(C)知识模块：函数、极限、连续16 函数的无穷间断点数为A0B1C2D3正确答案：B解析：分析间断点为 x0，1，计算各点处的极限以判断间断点的类型详解有间断点 x0，1又因为，所以 x0 为跳跃间断点又，所以 x1 为可去间断点，且，所以 x1 为无穷间断点，因而选择(B)评注x0时的极限要考虑单侧极限 知识模块：函数、极限、连续填空题17
11、正确答案：应填 0解析：分析两次利用分部积分法求出，In01exsinnxdx，然后计算极限详解 知识模块：函数、极限、连续18 若 x0 时，与 xsinx 是等价无穷小，则 a_正确答案：应填4解析：分析根据等价无穷小量的定义，相当于已知，反过来求 a注意在汁算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简 详解当 x0时，xsinxx2 于是，根据题设有评注若当 x0 时，f(x)0，则有(1f(x)a1af(x)知识模块：函数、极限、连续19 当 x0 时，(x)kx2 与(x)是等价无穷小，则 k_正确答案：应填解析：分析题设相当于已知，由此确定k 即可详解由题设，得 知识模块：函数
12、、极限、连续20 已知在 x0 处连续，则 a_正确答案：应填解析：分析求“1”型极限，令其等于f(0)，得a 的取值详解 1由题设，即评解 2由题设知，因此 知识模块：函数、极限、连续21 设函数 f(x)在 x0 处连续，则 a_正确答案：应填2解析：分析先求出在分段点处的左、右极限 f(00)，f(00)，再根据 f(00)f(00)f(0)确定参数 a详解因为由题设得 a2评注f(x)在 x0处连续 f(x00)f(x00)f(x0)知识模块：函数、极限、连续22 设，则 f(x)的间断点为 x_正确答案：应填 0解析：分析本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点对不同的 x，先用
13、求极限的方法得出 f(x)的表达式，再讨论 f(x)的间断点详解显然当 x0 时，f(x)0；当 x0 时，所以因为故x0 为 f(x)的间断点 知识模块：函数、极限、连续23 设函数在 x0 处连续，则 a_正确答案：应填。解析：分析本题为已知分段函数连续求参数的问题直接利用函数的连续性定义即可详解由题设知，函数 f(x)在 x0 处连续，则又因为所以 知识模块：函数、极限、连续解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24(1)证明：对任意正整数 n，都有成立(2)设(n1，2，)，证明数列an收敛正确答案：(1)方法一根据拉格朗日定理，存在(n，n1)，使得所以方法二考虑函数不等式l
14、n(1 x)x(0 x1)先证 In(1x)x，令 f(x)ln(1x)x，则，有 f(x)在0，1上单调递减因而当 0 x1 时，f(x)f(0)0，即 ln(1x)ln(1x)，令g(x)ln(1x)，则，有g(x)在0，1上单调递增因而，当 0 x1 时，f(x)f(0)0，即。综上所述，有ln(1x)x(0 x1)，把 x 换为得原不等式成立(2)先证数列an单调递减由(1)得 an1an，所以数列an单调递减再证数列an有下界由(1)得即数列an有下界故数列an收敛解析：对(1)用拉格朗日定理或把换为 x 转化为函数不等式的证明；对(2)用单调有界原理 知识模块：函数、极限、连续25
15、(1)证明方程 xnxn1x1(n 为大于 1 的整数)在区间内有且仅有一个实根；(2)记(1)中的实根为 xn，证明存在，并求此极限正确答案：(1)令fn(x)xnxn1x1 因为 fn(x)在上连续，又，fn(1)n10，由介值定理，存在 xn，使 fn(xn)0(n2，3，)，即原方程在区间内至少有一个实根又当 x时，f(x)12xnxn10，即 fn(x)在内单调增加，故原方程在区间内有且仅有一个实根(2)由(1)知数列xn有界，下面证明单调性因为fn(xn)0fn1(xn1)，n2，3，故xnnxnn1xn1(xn1n1xn1n 内单调增加，从而有 xnxn1，即数列xn2单调减少(
16、n2，3，)，所以存在，设为 l由于 0 xnx21，故 0nnx2n根据夹逼定理有由 fn(xn)0(n2，3，)，即 xnnxnn1xn1，得，令 n，取极限得，解得故解析：分析根的存在性用介值定理，而唯一性利用单调性；对于(2)，应先证明极限存在，在已知关系式两边取极限即可 评注注意解答过程中的步骤 0 xnx21 不是多余的，因为仅由 0 xn1 是推不出的 知识模块：函数、极限、连续26 设函数(1)求 f(x)的最小值；(2)设数列xn满足，证明存在，并求此极限正确答案：(1)因，令 f(x)0，得 f(x)的唯一驻点 x1，且在定义域内没有导数不存在的点当 0 x1 时，f(x)
17、0，当 x1 时，f(x)0，因此 x1为 f(x)的极小值点，也是最小值点，且最小值为 f(1)1(2)由(1)知，数列xn有，即，于是 xnxn1，即xn单调上升显然，xn0，于是由，即 xne，所以xn单调上升且有上界，故存在设，当 n时，对两边求极限，并由极限的保号性有又由(1)得，两边求极限有，解得 a1，即解析：第(1)问利用导数讨论即可；第(2)问利用极限存在的单调有界收敛准则 知识模块：函数、极限、连续27 设函数 f(x)在 x0 的某邻域内具有二阶连续导数。且 f(0)0，f(0)0，f”(0)0证明：存在唯一的一组实数1，2，3，使得当 h0 时，1f(h)2f(2h)3
18、f(3h)f(0)是比 h2 高阶的无穷小正确答案：详解 1由题设知，于是1f(h)2f(2h)3f(3h)f(0)1f(0)2f(0)3f(0)f(0)0，而 f(0)0，因此有12310 利用洛必塔法则，有同样有1f(h)22f(2h)十 33f(3h)(12233)f(0)0，而f(0)0，因此有122330再次利用洛必塔法则，有而 f”(0)0，因此有142930可见1，2，3 满足由于其系数行列式20，于是方程组有唯一解，即1，2，3 可唯一确定 详解 2将f(h)，f(2h)，f(3h)分别在 h0 处用泰勒公式展开，于是有1f(h)2f(2h)1f(3h)f(0)(1231)f(
19、0)(12233)f(0)h(4293)可见1，2，3 满足此方程组有唯一解，因此1，2，3 可唯一确定解析：题设相当于已知，由此可用洛必塔法则或泰勒公式确定1，2，3 是唯一的 知识模块：函数、极限、连续28 试确定 A，B，C 的值，使得ex(1BxCx2)1Axv(x3)其中 v(x3)是当 x0 时比 x3 高阶的无穷小正确答案：详解 1用洛必塔法则，由于是 1BA0又于是12B2C0 再一次利用洛必塔法则，有于是有13B6C0 由此可解得详解 2将 ex 的泰勒级数展开式代入题设等式整理得比较两边同次幂系数得解析：题设条件相当于已知，可考虑用洛必塔法则或用泰勒展开式进行讨论 知识模块
20、：函数、极限、连续29 已知函数(1)求 a 的值；(2)若当 x0 时，f(x)a 与 xk 是同阶无穷小，求常数 k 的值正确答案：(1)(2)方法一因为 f(x)af(x)1 故又当 x0 时，因此 k1，f(x)a 与 xk2 是同阶无穷小(x0)方法二因为，于是因此k1涉及知识点：函数、极限、连续30 求函数在区间(0，2)内的间断点，并判断其类型正确答案：在区间(0，2)内不存在的点为 f(x)在区间(0，2)内的间断点是不存在的点，即在处，故处，f(上)为第二二类间断点；在处，但相应的函数在以上两点无定义，故为 f(x)的可去间断点解析：初等函数的无定义的点即为要找的间断点，问题
21、转化为求的无定义点 知识模块：函数、极限、连续31 求极限，记此极限为 f(x)，求函数 f(x)的间断点并指出其类型正确答案：详解 1原式即显然，f(x)的间断点为 x0，xk(k1，2，)由于，所以 x0 是函数 f(x)的第一类(或可去)间断点；而有一不存在，故 xk(k1，2，)是 f(x)的第二类间断点详解 2原式而求间断点并指出其类型同详解 1解析：分析本题为“1”型未定式极限问题，可用第二类重要极限或化为指数函数这两种方法求解，得到 f(x)后，再求其间断点并进行分类评注从本题可看出，求“1”型未定式的极限，有时直接用第二类重要极限来计算可能更简便，指出间断点的类型，通常只需说明
22、是第一或第二类即可，当然若能更详细地指出是第一类中的可去或跳跃间断点，以及第二类中的无穷或振荡间断点则更好 知识模块：函数、极限、连续32 设函数，问a 为何值时，f(x)在 x0 处连续；n 为何值时，x0 是 f(x)的可去间断点?正确答案：令 f(00)f(00)，有6a2a24，得 a1 或 a2当a1 时，6f(0)，即 f(x)在 x0 处连续当 a2 时，12f(0)，因而x0 是 f(x)的可去间断点解析：分析分段函数在分段点 x0 连续，要求既是左连续又是右连续，即f(00)f(0)f(00)评注本题为基本题型，考查了极限、连续与间断等多个知识点，其中左、右极限的计算有一定难度，在计算过程中应尽量利用无穷小量的等价代换进行简化 知识模块：函数、极限、连续