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1、20192019 年数学高考试卷年数学高考试卷(含答案含答案)一、选择题一、选择题a(a b)xab 1定义运算，则函数f(x)12的图象是（）b(a b)ABCD2某公司的班车在 7:30，8:00，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是A13B12C23D343右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入a,b分别为 14,18，则输出的a（）A0B2C4D144已知非零向量a，b满足a=2 b，且（ab）b，则a与b的夹角为A63B23C23D5
2、65函数f(x)x 3x 1的单调减区间为A(2,)B(,2)C(,0)D(0,2)6ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B 2A，a 1，b 3，则c()A2 37已知A-1B2C2D1,则(1tan)(1tan)的值是（）4B1C2D48已知函数f(x)3sin2xcos2xm在0,A（1,2）B1,2）2上有两个零点，则 m 的取值范围是Dl,2C（1,29某校现有高一学生 210 人，高二学生 270 人，高三学生 300 人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为 7，那么从高三学生中抽取的人数为（）A710设
3、集合A B CB8，DC9，则=（）D1011设 0a1，则随机变量 X的分布列是XP0a1131313则当 a 在（0，1）内增大时（）AD(X)增大CD(X)先增大后减小BD(X)减小DD(X)先减小后增大12将函数y sin2x的图象沿轴向左平移则的一个可能取值为()AB个单位后，得到一个偶函数的图象，8DC04二、填空题二、填空题13在区间2，4上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|m 的概率为，则 m=_14设2a5bm,且15曲线y x 211 2,则m _.ab1在点（1，2）处的切线方程为_x16在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，c 4，a 4 2sin A，且
4、C为锐角，则ABC面积的最大值为_.17已知sincos1，cossin 0，则sin_18幂函数 y=x,当 取不同的正数时,在区间0,1上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点 A(1,0),B(0,1),连接 AB,线段 AB恰好被其中的两个幂函数y=x,y=x的图像三等分,即有BM=MN=NA,那么,等于_.19若4a5b100，则2()_1a2bx2y220已知双曲线C1：221(a 0,b 0)的左、右焦点分别为F1、F2，第一象限内的ab点M(x0,y0)在双曲线C1的渐近线上，且MF1 MF2，若以F2为焦点的抛物线C2：y2 2px(p 0)经过点M，则双曲线C1的离心率为
5、_三、解答题三、解答题21如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，AB AD 2，CACB CD BD 2.（1）求证：AO平面 BCD；（2）求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值；（3）求点 E 到平面 ACD 的距离22在ABC中，内角 A，B，C 的对边 a，b，c，且a c，已知BABC 2，1cosB，b 3，求：3（1）a 和 c 的值；（2）cos(BC)的值.1t2x，1t223在直角坐标系 xOy中，曲线 C 的参数方程为（t为参数），以坐标原点Oy 4t1t2为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin11 0
6、（1）求 C和 l的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l距离的最小值x2y224已知椭圆C:221a b 0的一个焦点为ab（1）求椭圆C的标准方程；5,0，离心率为5.3（2）若动点Px0,y0为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.25已知等差数列an满足：a1 2，且a1，a2，a5成等比数列.（1）求数列an的通项公式；（2）记Sn为数列an的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn 60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.【参考答案】【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除试卷处理标记，请不要删除一、选择题一、选择题1A解析：A【解析】【分析】
7、【详解】由已知新运算ab的意义就是取得a,b中的最小值，1,x 0因此函数fx12 x，2,x 0 x只有选项A中的图象符合要求，故选A.2B解析：B【解析】试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30 分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为 40，等车不超过 10 分钟的时间长度为 20，故所求概率为【考点】几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等.201，选 B.4023B解析：B【解析】【分析】【详解】由 a=14，b=18，ab，则 b变为 1814=4，由 ab，则 a变为 144=10，由 ab，则 a变
8、为 104=6，由 ab，则 a变为 64=2，由 ab，则 b变为 42=2，由 a=b=2，则输出的 a=2故选 B4B解析：B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养先由(ab)b得出向量a,b的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角【详解】2因为(ab)b，所以(ab)b abb=0，所以ab b，所以2|b|21，所以与的夹角为，故选 Bcos=ab223a b2|b|ab【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范
9、围为0,5D解析：D【解析】【分析】对函数求导，让函数的导函数小于零，解不等式，即可得到原函数的单调减区间.【详解】f(x)x33x21 f(x)3x26x 3x(x2)0 0 x 2，所以函数的单调减区间为(0,2)，故本题选 D.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键.6B解析：B【解析】13333,cos A sin Asin Bsin2A2sin Acos A2所以1 2 32c22c332，整理得c 3c2 0,求得c 1或c2002.若c 1，则三角形为等腰三角形，A C 30,B 60不满足内角和定理，排除.【考点定位】本题考查正弦定理和余弦
10、定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.当求出cos A 300后，要及时判断出A 30,B 60，便于三角形的初步定型，也为排2除c 1提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.7C解析：C【解析】【分析】由4（）1，利用两角和的正切函数公式化简tan（）1，得到tan即可得到所求式子的值【详解】由由4（）1，得到tan（）所以tantantan1，即tantan1tantan，1tantan（1tan）（1tan）1tantantantan 2则故选 C【点睛】本题考查学生灵活运用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题.8B解析：B【解析】【分析】
11、【详解】试题分析：利用辅助角公式化简函数为f(x)3sin 2xcos2xm时函数即为.令有,令,根据题意可知,则,所以此上有两个解,在根据在函数图像可知,.考点：辅助角公式;零点的判断;函数图像.9D解析：D【解析】试题分析：因为210:270:300 7:9:10,所以从高二年级应抽取9 人，从高三年级应抽取 10 人.考点：本小题主要考查分层抽样的应用.点评：应用分层抽样，关键是搞清楚比例关系，然后按比例抽取即可.10B解析：B【解析】试题分析：集合，故选 B.考点：集合的交集运算.11D解析：D【解析】【分析】利用方差公式结合二次函数的单调性可得结论；【详解】111a 1解：E(X)0
12、 a1，3333D(X)(a 121a 121a 121)(a)(1)33333312211(a 1)2(2a 1)2(a 2)2(a2 a 1)(a)22799260 a 1，D(X)先减小后增大故选：D【点睛】本题考查方差的求法，利用二次函数是关键，考查推理能力与计算能力，属于中档题12B解析：B【解析】得到的偶函数解析式为y sin2x sin 2x.，显然844【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，sin2x选择合适的值通过诱导公式把sin2x转化为余弦函数44是考查的最终目的.二、填空题二、填空题133【解析】【分析】【详解】如图区间长度是 6 区间
13、24 上随机地取一个数 x 若 x 满足|x|m 的概率为若 m 对于 3 概率大于若 m 小于 3 概率小于所以m=3 故答案为 3解析：3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是 6，区间2，4上随机地取一个数 x，若 x满足|x|m 的概率为，若 m对于 3概率大于，若 m小于 3，概率小于，所以 m=3故答案为 314【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力解析：解析：10【解析】【分析】变换得到a log2m，b log5m，代入化简得到【详解】11 logm10 2，得到答案.ab2a5bm，则a
14、log2m，b log5m，故11 logm2logm5 logm10 2,m 10.ab故答案为：10.【点睛】本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.15【解析】设则所以所以曲线在点处的切线方程为即点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一用导数求切线方程的关键在于求出斜率其求法为：设是曲线上的一点则以为切点的切线方程是若曲线在点处的切线平行于轴（即解析：解析：y x 1【解析】设y f(x)，则f(x)2x所以曲线y x 21，所以f(1)211，x21在点(1,2)处的切线方程为y 2 1(x1)，即y x 1x点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线
15、方程的关键在于求出斜率，其求法为：设P(x0,y0)是曲线y f(x)上的一点，则以P为切点的切线方程是y y0 f(x0)(xx0)若曲线y f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为x x016【解析】【分析】由利用正弦定理求得再由余弦定理可得利用基本不等式可得从而利用三角形面积公式可得结果【详解】因为又所以又为锐角可得因为所以当且仅当时等号成立即即当时面积的最大值为故答案为【点睛】本题主解析：解析：44 2【解析】【分析】由c 4，a 4 2sinA，利用正弦定理求得C 4.，再由余弦定理可得16 a b 2ab，利用基本不等式可得ab
16、 22168 22，从而利用三角形22面积公式可得结果.【详解】因为c 4，又所以sinC 2ca 4 2，sinCsinA2，又C为锐角，可得C.42222因为16 a b 2abcosC a b 2ab 22 ab，所以ab 168 22，22当且仅当a b 8 22时等号成立，即SABC12absinC ab 44 2，24即当a b 8 22时，ABC面积的最大值为44 2.故答案为44 2.【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的应用，属于简单题.对余弦定理一定要b2c2a2熟记两种形式：（1）a b c 2bccos A；（2）cos A，同时还要熟2bc222练掌握
17、运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30o,45o,60o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.17【解析】【详解】因为所以因为所以得即解得故本题正确答案为1解析：解析：2【解析】【详解】因为所以因为所以 得即解得故本题正确答案为，18【解析】【分析】由条件得 MN 则结合对数的运算法则可得=1【详解】由条件得 MN 可得即=lo=lo 所以=lolo=1【点睛】本题主要考查幂函数的性质对数的运算法则及其应用等知识意在考查学生解析：【解析】【分析】1 2 2 11 221由条件,得 M,N,则,结合对数的运算法则可得=1.3 33 33333【详解】由
18、条件,得 M,1 2 2 1,N,3 33 31 221可得,3333即=log2312g,=lo1.33312lg1233=1.log1所以=log233lg2lg13333【点睛】lg本题主要考查幂函数的性质，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19【解析】【分析】根据所给的指数式化为对数式根据对数的换地公式写出倒数的值再根据对数式的性质得到结果【详解】则故答案为【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质属于基解析：解析：2【解析】【分析】根据所给的指数式，化为对数式，根据对数的换地公式写出倒数的值，再根据对数式的性质，得到
19、结果【详解】4a 5b100，a log4100，b log5100，12 log10042log1005 log100100 1，ab则2 12 2ab故答案为2【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题，解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质，属于基础题20【解析】【分析】由题意可得又由可得联立得又由为焦点的抛物线：经过点化简得根据离心率可得即可求解【详解】由题意双曲线的渐近线方程为焦点为可得又可得即为由联立可得由为焦点的抛物线：经过点可得且即解析：解析：25【解析】【分析】由题意可得y0bx0，又由MF1 MF2，可得y02 x02 c2，联立得x0 a，y0 b，a2又由F为焦点的抛物线C
20、2：y 2px(p 0)经过点M，化简得c24aca2 0，根据离心率e【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为y 可得y0c，可得e24e1 0，即可求解abx，焦点为F1c,0，F2c,0，abx0，ay0y0 1，x0c x0c又MF1 MF2，可得222即为y0 x0 c，由a2b2 c2，联立可得x0 a，y0 b，由F为焦点的抛物线C2：y 2px(p 0)经过点M，可得b 2pa，且由e 22p c，即有b2 4ac c2a2，即c24aca2 02c，可得e24e1 0，解得e 25a【点睛】本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关
21、键求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c的值，代入公式e c；只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为aa,c的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e(e的取值范围)三、解答题三、解答题21（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接 OC，由 BODO，ABAD，知 AOBD，由 BODO，BCCD，知COBD在AOC中，由题设知AO1，CO 3，AC2，故 AO2+CO2AC2，由212（3）74此能够证明 AO平面 BCD；（2）取 AC 的中点 M，连接 OM、ME、OE，由 E为 BC的中点，知 MEAB，OEDC
22、，故直线 OE与 EM所成的锐角就是异面直线AB与 CD所成的角在OME中，EM 余弦；（3）设点 E到平面 ACD的距离为 h在ACD中，CA CD 2，AD121AB，OE DC 1，由此能求出异面直线 AB与 CD所成角大小的2222，故SACD217，由 AO1，知S242222CDE1323，由此能2 242求出点 E 到平面 ACD的距离【详解】（1）证明：连接 OC，BODO，ABAD，AOBD，BODO，BCCD，COBD在AOC中，由题设知AO 1，CO 3，AC2，AO2+CO2AC2，AOC90，即 AOOCAOBD，BDOCO，AO平面 BCD（2）解：取 AC的中点
23、M，连接 OM、ME、OE，由 E 为 BC的中点，知 MEAB，OEDC，直线 OE与 EM所成的锐角就是异面直线AB与 CD所成的角在OME中，EM 121AB，OE DC 1，222OM是直角AOC斜边 AC上的中线，OM 1AC 1，21122cosOEM，422121异面直线 AB与 CD所成角大小的余弦为24（3）解：设点 E到平面 ACD的距离为 hVEACDVACDE，1hS3ACD1AOS3CDE，在ACD中，CACD 2，AD2，SACD217，24222CDE2AO1，S1323，2 242h AOSCDESACD13221，772217点 E到平面 ACD的距离为【点睛
24、】本题考查点、线、面间的距离的计算，考查空间想象力和等价转化能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意化立体几何问题为平面几何问题22（1）a 3,c 2；（2）【解析】试题分析：（1）由BABC 2和cosB 23271，得 ac=6.由余弦定理，得a2c213.3解，即可求出 a，c；（2）在ABC中，利用同角基本关系得sin B 2 2.3c4 2，又因为a b c，所以 C 为锐角，因此sin B b9由正弦定理，得sinC cosC 1sin2C 7，利用cos(B C)cosBcosC sin BsinC，即可求出结果.9，又cosB（1）由BABC 2得，1，所以 ac=6.3由余弦
25、定理，得a2c2 b2 2accosB.又 b=3，所以a2c2 9 22 13.解，得 a=2，c=3 或 a=3，c=2.因为 ac,a=3，c=2.（2）在ABC中，sin B 1cos2B 1()2由正弦定理，得sinC 132 2.3c2 2 24 2，又因为a b c，所以 C 为锐角，因sin B b339此cosC 1sin2C 1(4 227.)991 72 2 4 223.3 93927于是cos(B C)cosBcosC sin BsinC=考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.y223（1）C:x 1,x(1,1；l:2x 3y 11 0；（2）74【解析】【分析】2（
26、1）利用代入消元法，可求得C的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出C上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.【详解】216t21 x1t22t 0,x(1,1，又y 2（1）由x 得：221t1 x1t1 x1 x 41 x1 x 44x2y221 x 11 x16y2整理可得C的直角坐标方程为：x 1,x(1,142又x cos，y sinl的直角坐标方程为：2x 3y 11 0（2）设C上点的坐标为：cos,2sin4sin112cos2 3sin11则C上的点到直线l的距离6d
27、 77当sin 1时，d取最小值6则dmin7【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.x2y222 y013.24（1）1；（2）x094【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）利用题中条件求出c的值，然后根据离心率求出a的值，最后根据a、b、c三者的关系求出b的值，从而确定椭圆C的标准方程；（2）分两种情况进行计算：第一种是在从点P所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为k1、k2，并由两条切线的垂直关系得到k1k2 1，并设从点P
28、x0,y0所引的直线方程为y kxx0 y0，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x的一元二次方程，利用 0得到有关k的一元二次方程，最后利用k1k2 1以及韦达定理得到点P的轨迹方程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P的坐标，并验证点P是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P的轨迹方程.（1）由题意知55 a 3，且有a3，即32b25，解得b 2，x2y2因此椭圆C的标准方程为1；94（2）设从点P所引的直线的方程为y y0 kxx0，即y kxy0kx0，当从点P所引的椭圆C的两条切线的斜率都存在时，分别设为k1、k2，则k1k2 1，将直线y kxy0kx0的方程
29、代入椭圆C的方程并化简得9k24x218ky0kx0 x9y0kx036 0，2化简得y kx9k 4 0，即x 9k 2kx y y 4 0，则k、k是关于k的一元二次方程x 9k 2kx y y 4 0的两根，则222 18k y kx4 9k 49 y kx36 0，0000220020200201220200202y04k1k22 1，x0922化简得x0 y013；当从点P所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P的坐标为3,2，此时点P也在圆x2 y213上.综上所述，点P的轨迹方程为x y 13.考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.25(1)通项公式为an 2或an 4n2;(2)当an 2时，不存在满足题意的正整数22n；当an 4n2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.【解析】【详解】（1）依题意，2,2 d,2 4d成等比数列，故有2d 224d，d24d 0，解得d 4或d 0.an 2n14 4n2或an 2.（2）当an 2时，不存在满足题意的正整数n；当an 4n2，Sn2n24n22 2n2.令2n2 60n800，即n230n400 0，解得n40或n10（舍去），最小正整数n41.