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1、等式性质与不等式性质等式性质与不等式性质【教材分析】【教材分析】本节内容是普通高中课程标准实验教科书（人民教育出版社 A 版教材）高中数学必修一第二章第一节的内容，主要讲解不等关系及不等式的性质及其运用；现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，数学中，我们用不等式来表示不等关系。不等式的性质是解决不等式问题的基本依据，凡是不等式的变形、运算都要严格按照不等式的性质进行。因此，不等式的性质是学习本章后续内容的重要保障；本节通过类比等式的性质，猜想并证明不等式的性质，并用不等式的性质证明简单的不等式，是体会化归与转化，类比等数学思想，和培养学生数学运算能力，逻辑推理能力的良好素材。在高中数学中，
2、不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学几乎所有章节都有联系，尤其与函数、方程等联系紧密，因此，不等式才成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点。【教学目标】【教学目标】课程目标A通过具体情景，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系，理解和掌握列不等式的步骤；B能灵活用作差法比较两个数与式的大小，提高数学运算能力；C培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，体会化归与转化、类比等数学思想，提高学生数学运算和逻辑推理能力；1 1/1616学科素养1数学抽象：在实际问题中发现不等关系，并表示出不等关系；2逻辑推理：作差法的原理；3数学运算：用作差法比较大小；4直观想象：在几何图
3、形中发现不等式；5数学建模：能够在实际问题中构建不等关系，解决问题；【教学重难点】【教学重难点】1将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小；2在实际情景中建立不等式（组），准确用作差法比较大小；【教学准备】【教学准备】多媒体【教学过程】【教学过程】第一课时第一课时一、情景引入，温故知新通过生活中熟悉的情景，引导学生发现不等关系，并学会运用不等式（组）表示不等关系；培养学生数学建模的核心素养；教学设计教学设计（一一）情情境境导导学学1购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过 1.1 m（含 1.1 m）而不超过 1.5m 的儿童，享受半价客票、加快票和空调票（简称儿童票），超 1
4、.5m 时应买全价票。每一成人旅客可免费携带一名身高不足 1.1 米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票。从数学的角度，应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？2展示新闻报道：明天白天广州的最低温度为 18，白天最高温度为 30。师：明天白天广州的温度 t满足怎样的不等关系？生：t 大于或等于 18 小于或等于 30老师引出课题板书：不等关系与不等式不等关系与不等式师：常见的不等号有？生：大于（），小于（），大于或等于（），小于或等于（），不等于（）。老师总结板书：不等式的定义：用不等号（不等式的定义：用不等号（，）表示不等关系的式子叫做不等式。）表示不等关系的式子叫做不等式。1师：你能用数
5、学表达式表示情景中的不等关系吗？2师：两个指示标志分别表示什么意思？2 2/1616生：速度大于或等于 80，高度小于或等于 453师：在这两则报道中，同学们都准确的描述出蕴含的不等关系。师：你能举出生活中含有不等关系的例子吗？生：由典型问题的分析解决，体会建立不等式（组）的一般方法和难点所在；培养和提升学生运用数学眼光师：不等关系用什么表示？生：不等式（二）探索新知（二）探索新知探究一探究一用不等式表示不等关系用不等式表示不等关系例 1某钢铁厂要把长度为 4 000 mm 的钢管截成 500mm 和 600 mm 两种，按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过 500 mm 钢管的
6、3 倍。试写出满足上述所有不等关系的不等式。教师引导学生共同：分析应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即两种钢管的总长度不能超过 4000分析表达问题的能力，发展数学抽象和数学建模的核心素养mm；截得 600 mm 钢管的数量不能超过 500 mm 钢管数量的 3 倍；两种钢管的数量都不能为负。于是可列不等式组表示上述不等关系。解析设截得 500 mm 的钢管 x 根，截得 600 mm 的钢500 x600y 4 0003x y管 y 根，依题意，可得不等式组：，x 0y 0系。用数学语言表示不等关)5x6y 403x y即。x 0y 0)通过练习巩固分析表达不等关系，教会学生解决和研究问
7、题，提升数学抽象能力。归纳总结；用不等式（组）表示实际问题中不等关系的步骤：3 3/1616审题。通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量。找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等。列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示。跟踪训练：1某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8 万本。根据市场调查，若单价每提高 0.1 元，销售量就可能相应减少 2 000 本，若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元？2某工厂在招标会上，购得甲材料 x t，乙材料 y t，若维
8、持工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要 120t，则 x、y 应满足的不等关系是（Axy120Cxy120）BxyNCM0，MN，故通过练习巩固作差法，发展学生数学运算素养，提供运算的准确性、灵活性和速度。解析MNx2x1（x选 A2比较 x2y21 与 2（xy1）的大小；13设 aR R 且 a0，比较 a 与 的大小。a解析2x2y212（xy1）x22x1y22y2（x1）2（y1）210，x2y212（x5 5/1616y1）。3由 a a1a1a1a1当 a1 时，a；a当1a0 或 a1 时，a；当 a1 或 0a1a时，a。a三、达标检测1完成一项装修工程，请木工需付工资每
9、人 500 元，请瓦工需付工资每人 400 元，现有工人工资预算 20 x，y 满足的不等关系是（A5x+4y200C5x+4y=200【答案】D2若 A=（）BABCAB【解析】由于 A-B=通过练习巩固本节所学+3-(1+2=)(1122)+3434知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。0，所以 AB，故选 A【答案】A3已知甲、乙两种食物的维生素 A，B 含量如下表：食物甲600800乙700400维生素 A/(单位/kg)维生素 B/(单位/kg)设用 xkg 的甲种食物与 ykg 的乙种食物配成混合食6 6/1616物，并使混合食物内至少含有 56
10、 000 单位的维生素 A 和 63000单位的维生素 B试用不等式组表示 x，y 所满足的不等关系。【解析】由题意知 xkg 的甲种食物中含有维生素 A600 x 单位，含有维生素 B 800 x 单位，y kg 的乙种食物中含有维生素 A 700y 单位，含有维生素 B 400y 单位，则 x kg的甲种食物与 ykg 的乙种食物配成的混合食物总共含有维生素 A（600 x+700y）单位，含有维生素 B（800 x+400y）600+700 56000，6+7 560，800+400 63 000，4+2 315，单位，则有即 0，0，0，0.4将一个三边长度分别为 5，12，13 的三
11、角形的各边都缩短 x，构成一个钝角三角形，试用不等式（组）表示 x应满足的不等关系。【解析】各边都缩短 x 后，长度仍然为正数，只要最短边大于零即可，因此 5-x0.而要构成三角形，还要满足（5-x）+（12-x）13-x。当三角形是钝角三角形时，应使最大角是钝角，此时只需最长边所对的角是钝角即可，因此（5-x）2+（12-x）2 0，（5-）+（12-）13-，（5-）2+（12-）20，所以 2x2+3x+231-77（2）（a+2）-2+1-1=（+2）（1-）-31-=-2-11-=。7 7/1616由于 a2+a+1=2+1-1 0，即(+)2+123440，所以当 a1 时，33a
12、+21-2+1-1；0，即33a+21-当 a1 时，a+21-；当 a1 时，a+2，b，那么 ab是；ab_ab_ab_符号表示如果 abbb，a-b0.由正数的相反数是负数，得-（a-b）0.即 b-a0，ba同理可证，如果 bb跟踪训练。1与 m（n-2）2等价的是（Am（n-2）2C（n-2）2m答案：C（2）传递性文字如果第一个量大于第二个量，第二个量大于第语言三个量，那么第一个量大于第三个量符号语言9 9/1616用数学语言表示不等式的性质。）。B（n-2）2mD（n-2）2b，bcac变形作用ab，bcac；ab，bcaba+cb+caba+c0，a+cb+c（4）乘法法则文字
13、语言符号语言不等式的两边都乘同一个正数时，不等号的方向不变；都乘同一个负数时，不等号的方向一定要改变。ab，c0acbcab，c0ac0acbc；ab，c0acbc变形a0acbc；ab，cbcab，c0acbc；ab，cb，a-b0.根据同号相乘得正，异号相乘得负，得当 c0 时，（a-b）c0，即acbc；当 c0 时，（a-b）c0，即 acbc2 2acbcab，c0 或 ab，cb零实数。（5）加法单调性文字语言符号语言两个同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向。ab，cda+cb+dab，cda+c +证明：+a+cb+d及时归纳总结，引导学生准确理解和运用不等式的性质，培养思维
14、的严谨性；归纳总结：归纳总结：1 1此性质可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加，即两个或两个以上的同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向。2 2两个同向不等式只能两边同时分别相加，而不能两边同时分别相减。3 3该性质不能逆推，如 a+cb+d（6）乘法单调性文字语言符号语言作用两边都是正数的两个同向不等式相乘，所得的不等式与原不等式同向。ab0，cd0acbd两个不等式相乘的变形ab，cd证明：ab0，c0，acbccd0，b0，bcbdacbd归纳总结：归纳总结：1 1这一性质可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，这就是说，两个或更多个两边都是正数的同向
15、不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。2 2ab0，cd0acbd；1111/1616通过练习巩固不等式的ab0，cdbd3 3该性质不能逆推，如 acbd（7）正值不等式可乘方当不等式的两边都是正数时，不等文字语言式两边同时乘方所得的不等式与原不等式同向。符号语言作用ab0anbn（nN N，且 n1）不等式两边的乘方变形ab，cd性质，发展学生逻辑推理，提高思维的灵活性和速度。性质（7）可看作性质（6）的推广：当 n 是正奇数时，由 ab 可得 anbn。跟踪训练：1给出下列结论：若 acbc，则 ab；若 ab，则 ac2bc2；1 1若 b；若 ab，cd，则 acbd；a b
16、若 ab，cd，则 acbd其中正确结论的序号是_。解析当 c0 时，由 acbcab，当 cbcab，故错。当 c0 时，由 abac2bc2，当 c1 122/0 时，由 abac bc，故错。0，a0，a b通过典型例题的解析和11b0，ab ab，即 bb，故正确。ab跟踪练习，让学生明确问题模型，发展数学建模核心素cd，cb，两不等式不等号的方向养。不同，不能相加，acbd 错误。/Error!Error!acbd，Error!Error!acbdacbd，Error!Error!反思利用不等式性质判断不等式是否成立的方法：（1）运用不等式的性质判断。要注意不等式成立的条件，不要弱化
17、条件，尤其是不能凭想象捏造性质。（2）特殊值法。取特殊值时，要遵循如下原则：一是1212/1616满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算。典例解析：用不等式的性质证明不等式例 1已知 ab0，cd0，e。ac bdeecdd0，又ab0，ab（d）0，即 acbd0，0ee，又e。ac bdab cd跟踪训练：1若 bcad0，bd0，求证：bd。解析：bcad0，adbc，adbdbcbd，adbd bcbdab cdbd0，0，。bdbdbdbd1归纳总结：归纳总结：利用不等式的性质证明不等式注意事项（1）利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式。解决此类问题一定要在理解的基础上，记
18、准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用。（2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则。典例解析：利用不等式的性质求取值范围例 2已知 ，求，的范围。2222解析 ，。两式相224 2 44 2 4 加，得 。，2224 2 442 421313/1616 。22 又，0.0.222规律总结：规律总结：求取值范围的问题要注意解题方法是否符合不等式的性质，是否使范围扩大或缩小。跟踪训练 1已知 1a2，3b4，求下列各式的取值范围：a（1）2ab；（2）ab；（3）。b解析b8；（2）3b4，4b3，又1a2，
19、3ab1；1 1 11 a 2（3）3b4，又 1a2，。4 b 34 b 3三、达标检测1已知 ab0，cd0，那么下列判断中正确的是（）Aacbda bC bdDadbc（1）1a2，22a4，3b4，5b，则下列不等式中一定成立的是（）BacbcD（ab）c20通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学0思想，增强学生的逻辑推理和数学运算素养。AabbcCc2ab解析：ab，ab0.选项 A 中，当 c0 时，（a1414/1616b）（bc）ac，由于 aR，则选项 A 不成立；选项 B 中，acbcc（ab），由于 cR，则选项 B 不成立；选项 C 中，由
20、于 cR，则 c20，c2ab0，则选项 C不成立；选项 D 中，ab0，c20，（ab）c20，则选项 D 成立。答案：D3设 2a3，-2b-1，则 2a-b 的范围是_。解析：42a6，-2b-1，1-b2，由同向不等式相加得到 52a-b8答案：52a-bb0，cd0.求证：33。dc1解析cdd0.0 b0，0.dc31abad3bc，即3adadbc3bc。两边同乘以1，得四、小结不等式的性质不等式的性质性质123别名对称性传递性可加性3b_ab，bc_abacbcError!Error!acbcError!Error!acbc注意可逆c 的符号1515/1616思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；4可乘性5同向可加性同向同Error!Error!acbd同向6正可乘性Error!Error!acbd同向7可乘方性可开方性ab0anbn（nN*，n2）nnab0ab同正8五、作业（nN*，n2）1预习下节课内容1616/1616