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1、20192019 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学理科数学(1(1 卷卷)1.已知集合M x 4 x 2，N x x x6 0，则M N=2A.x 4 x 3B.x 4 x 2C.x 2 x2D.x 2 x 32.设复数 z 满足zi=1，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则A.(x+1)y 122B.(x1)y 122C.x(y1)122D.x(y+1)1220.20.33.已知a log20.2,b 2,c 0.2，则A.a bcB.a c bC.c a bD.bc a人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是4.古希腊时期，5 15
2、10.618，（22称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此 此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5 1若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为226 cm，则其身高可能是A.165 cm5.函数 f(x)=B.175 cmC.185 cmD.190cmsin x x在，的图像大致为cos x x2B.A.C.D.6.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.516B.1132C.2132D.11
3、167.已知非零向量 a a，b b 满足A.a=2b，且（a ab b）b b，则 a a与 b b 的夹角为B.63C.23D.5618.如图是求21122的程序框图，图中空白框中应填入A.A=12 AB.A=21AC.A=112AD.A=112A9.记Sn为等差数列an的前 n项和已知S4 0，a55，则A.an 2n5an3n10B.2C.Sn 2n 8nD.Sn12n 2n2AF F2B，10.已知椭圆 C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过 F2的直线与 C交于 A，B 两点.若2 2AB BF 1，则 C的方程为x2A.y212x2y2B.132x2y2C.143x2y21
4、D.5411.关于函数f(x)sin|x|sin x|有下述四个结论：f(x)是偶函数f(x)在区间（,）单调递增2f(x)在,有 4 个零点f(x)的最大值为 2其中所有正确结论的编号是A.B.C.D.12.已知三棱锥 P-ABC的四个顶点在球 O的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为 2的正三角形，E，F 分别是 PA，PB的中点，CEF=90，则球 O的体积为A.8 6B.4 6C.2 6D.6二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。13.曲线y 3(x x)e在点(0,0)处的切线方程为_14.记 Sn为等比数
5、列an的前 n项和若a1，a4 a6，则 S5=_22x13根据前15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以41 获胜的概率是_x2y216.已知双曲线 C：221(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与 C 的两条渐近线分abuuu ruuu ruuu r uuurC 的离心率为_别交于 A，B 两点若F1A AB，F1BF2B 0，则三、解答题：共三、解答题：共7070 分。解答应写出
6、文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17211721 题为必考题，题为必考题，每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分。分。17.V ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，设(sin BsinC)sin Asin BsinC22（1）求 A；（2）若2ab 2c，求 sinC18.如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N分别是 BC，BB1，A1
7、D的中点（1）证明：MN平面 C1DE；（2）求二面角 A-MA1-N的正弦值19.已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为（1）若|AF|+|BF|=4，求 l的方程；3的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P2uuu ruuu r（2）若AP 3PB，求|AB|20.已知函数f(x)sin xln(1 x)，f(x)为f(x)的导数证明：（1）f(x)在区间(1,2)存在唯一极大值点；（2）f(x)有且仅有 2个零点21.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，
8、另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为 和，一轮试验中甲药的得分记为X（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，pi(i 0,1,L,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0 0，p81，pi api
9、1bpicpi1(i 1,2,L,7)，其中a P(X 1)，b P(X 0)，c P(X 1)假设0.5，0.8(i)证明：pi1 pi(i 0,1,2,L,7)为等比数列；(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。一题计分。22.选修 4-4：坐标系与参数方程1t2x，1t2在直角坐标系 xOy中，曲线 C 的参数方程为（t为参数），以坐标原点 O为极点，x轴的y 4t1t2正半轴为极轴建立极坐标
10、系，直线l的极坐标方程为2cos3sin11 0（1）求 C和 l直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l距离的最小值23.选修 4-5：不等式选讲已知 a，b，c为正数，且满足 abc=1证明：（1）111 a2b2c2；abc333（2）(ab)(bc)(ca)24的20192019 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学理科数学(1(1 卷卷)1.已知集合M x 4 x 2，N x x x6 0，则M N=2A.x 4 x 3【答案】C【解析】【分析】B.x 4 x 2C.x 2 x2D.x 2 x 3本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算
11、素养采取数轴法，利用数形结合的思想解题【详解】由题意得，M x 4 x 2,N x 2 x 3，则M N x 2 x 2故选 C【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分2.设复数 z 满足zi=1，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则A.(x+1)y 1【答案】C【解析】【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为 1，可选正确答案 C【详解】z x yi,z i x(y 1)i,z i x2(y1)21,则x(y1)1故选 C【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观
12、想象和数学运算素养采取公式法或几何法，利用方程思想解题0.20.33.已知a log20.2,b 2,c 0.2，则22B.(x1)y 122C.x(y1)122D.x(y+1)12222A.a bcB.a c bC.c a bD.bc a【答案】B【解析】【分析】运用中间量0比较a,c，运用中间量1比较b,c【详解】a log20.2 log21 0,b 20.2 201,0 0.20.3 0.201,则0 c 1,a c b故选 B【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养采取中间变量法，利用转化与化归思想解题人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比
13、是4.古希腊时期，5 15 10.618，（22称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此 此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5 1若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为226 cm，则其身高可能是A.165 cm【答案】B【解析】【分析】B.175 cmC.185 cmD.190cm理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解【详解】设人体脖子下端至腿根的长为 x cm，肚脐至腿根的长为 y cm，则2626 x5 1，得xy1052x 42.07cm,y 5.15cm又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以
14、其身高约为4207+515+105+26=17822，接近 175cm故选 B【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养采取类比法，利用转化思想解题5.函数 f(x)=sin x x在，的图像大致为2cos x xB.A.C.D.【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，得f(x)是奇函数，排除 A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案【详解】由f(x)sin(x)(x)sin x x f(x)，得f(x)是奇函数，其图象关于原点对称 又22cos(x)(x)cosx x2421,f()f()0故选 D22221()2【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推
15、理、直观想象和数学运算素养 采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题6.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是1A.516B.1132C.2132D.1116【答案】A【解析】【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有 3 个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算【详解】由题知，每一爻有 2 中情况，一重卦的 6 爻有26情况，其中 6
16、 爻中恰有 3 个阳爻情况有C36，所35C6以该重卦恰有 3 个阳爻的概率为6=，故选 A216【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题7.已知非零向量 a a，b b 满足A.a=2b，且（a ab b）b b，则 a a与 b b 的夹角为B.63C.23D.56【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养先由(a b)b得出向量a,b的数
17、量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角2ab|b|1【详解】因为(a b)b，所以(ab)b abb=0，所以ab b2，所以cos=，a b2|b|222所以a与b的夹角为，故选 B3【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为0,18.如图是求21122的程序框图，图中空白框中应填入A.A=12 AB.A=21AC.A=112AD.A=112A【答案】A【解析】【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择1111=
18、【详解】执行第 1 次，A,k 1 2是，因为第一次应该计算，k k 1=2，循环，执222 A2111=行第2次，是，因为第二次应该计算2，循环，执行第3次，k 2 2，k k 1=3，k 2 2，12 A221否，输出，故循环体为A，故选 A2 A1【点睛】秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为A 2 A9.记Sn为等差数列an的前 n项和已知S4 0，a55，则A.an 2n5【答案】A【解析】【分析】an3n10B.2C.Sn 2n 8nD.Sn12n 2n2等差数列通项公式与前n项和公式 本题还可用排除，对 B，a55，S4对C，4(72)10 0，排除 B，2除C对D，
19、S4 0,a5 S5 S4 252850 10 5，排15S4 0,a5 S5S452250 5，排除 D，故选 A22da1 3S4 4a143 0【详解】由题知，解得，an 2n5，故选 A2d 2a5 a14d 5【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养利用等差数列通项公式与前 n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断AF F2B，10.已知椭圆 C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过 F2的直线与 C交于 A，B 两点.若2 2AB BF 1，则 C的方程为x2A.y212【答案】B【解析】【分析】x2y
20、2B.132x2y2C.143x2y21D.54可以运用下面方法求解：如图，由已知可设F2B n，则AF2 2n,BF1 AB 3n，由椭圆的定义有2a BF1 BF24n,AF12a AF22n 在AF1F2和BF1F2中，由 余 弦 定 理 得4n2422n2cosAF2F1 4n2,，又AF2F1,BF2F1互补，cosAF2F1cosBF2F1 0，22n 42n2cosBF2F19n两式消去cosAF2F1,cosBF2F1，得3n26 11n2，解得x2y232222a 4n 2 3,a 3,b a c 31 2,所求椭圆方程为1，故选n 322B【详 解】如 图，由 已 知 可
21、设F2B n，则AF2 2n,BF1 AB 3n，由 椭 圆 的 定 义 有2a BF1 BF24n,AF12a AF22n 在AF1B中，由 余 弦 定 理 推 论 得14n29n29n21322在AF1F2中，由余弦定理得4n 4n 22n2n 4，解得n cosF1AB322n3n32x2y22a 4n 2 3,a 3,b a c 31 2,所求椭圆方程为1，故选 B32222【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养11.关于函数f(x)sin|x|sin x|有下述四个结论：f(x)是偶函数f(x)在区间（,
22、）单调递增2f(x)在,有 4 个零点f(x)的最大值为 2其中所有正确结论的编号是A.【答案】C【解析】【分析】化简函数fxsin x sinx，研究它的性质从而得出正确答案【详解】Q fx sin x sinx sin x sin x fx,fx为偶函数，故正确当B.C.D.x 时，fx 2sin x，它在区间,单调递减，故错误 当0 x 时，fx 2sin x，22，0；它有两个零点：当 x 0时，fxsinxsinx 2sin x，它有一个零点：故fx在,有3个零点：0，故错误当x2k,2kk N N时，fx 2sin x；当x2k,2k2kN N时，fxsinxsinx 0，又fx为
23、偶函数，fx的最大值为2，故正确综上所述，正确，故选 C【点睛】画出函数fxsin x sinx的图象，由图象可得正确，故选C12.已知三棱锥 P-ABC的四个顶点在球 O的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为 2的正三角形，E，F 分别是 PA，PB的中点，CEF=90，则球 O的体积为A.8 6【答案】D【解析】【分析】先证得PB 平面PAC，再求得PA PB PC 体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】解法一:Q PA PB PC,B.4 6C.2 6D.62，从而得P ABC为正方体一部分，进而知正方ABC为边长为 2 的等边三角形，P ABC为正三棱锥，PB AC，又E，F分
24、别为PA、AB中点，EF/PB，EF AC，又EF CE，CE I AC C,EF 平面PAC，PB 平面PAC，PAB PA PB PC 2，P ABC为正方体一部分，2R 222 6，即R 6446 6,V R36，故选 D2338解法二:设PA PB PC 2x，E,F分别为PA,AB中点，EF/PB，且EF 1PB x，Q ABC为边长为 2的等边三角形，212CF 3又CEF 90CE 3 x,AE PA x2AEC中余弦定理cosEAC x243 x222x，作PD AC于D，Q PA PC，AD1x243 x21，Q D为AC中点，cosEAC PA2x4x2x2x21 2 x2
25、12x 2，PA PB PC 2，又AB=BC=AC=2，PA,PB,PC两26446 6，V R36，故选 D.2338两垂直，2R 222 6，R【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。13.曲线y 3(x x)e在点(0,0)处的切线方程为_【答案】3x y 0.【解析】【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：y
26、3(2x1)e 3(x x)e 3(x 3x1)e,/所以，k y|x0 32x/x2x2x所以，曲线y 3(x x)e在点(0,0)处的切线方程为y 3x，即3x y 0【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求14.记 Sn为等比数列an的前 n项和若a1，a4 a6，则 S5=_22x13【答案】121.3【解析】【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到S5题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查【详解】设等比数列的公比为q，由已知a112
27、11,a4 a6，所以(q3)2q5,又q 0，3331(135)a(1q)3121所以q 3,所以S511q1335【点睛】准确计算，是解答此类问题基本要求本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误根据前15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以41 获胜的概率是_【答案】0.216.【解析】【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解题目有
28、一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是0.6 0.50.52 0.108,前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是0.40.6 0.5 2 0.072,综上所述，甲队以4:1获胜的概率是q 0.108 0.072 0.18.【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算223x2y216.已知双曲线 C：221(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直
29、线与 C 的两条渐近线分ab别交于 A，B 两点若F，F1BF2B 0，则 C 的离心率为_1A AB【答案】2.【解析】【分析】通过向量关系得到F1A AB和OA F1A，得到AOB AOF1，结合双曲线的渐近线可得uuu ruuu ruuu r uuurBOF2 AOF1,BOF2 AOF1 BOA 600,从而由【详解】如图，b tan6003可求离心率.auuu ruuu r由F1A AB,得F1A AB.又OF1 OF2,得 OA 是三角形F1F2B的中位线，即BF2/OA,BF2 2OA.由uuu r uuu u rF1BgF2B 0，得F1B F2B,OA F1A,则OB OF1
30、有AOB AOF1，又 OA 与 OB 都是渐近线，得BOF2 AOF1,又BOF2AOBAOF1，得BOF2 AOF1 BOA 600,又渐近线OB 的斜率为b tan6003，所以该双曲线的离心率为ae cb1()21(3)2 2aa【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养 采取几何法，利用数形结合思想解题三、解答题：共三、解答题：共7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17211721 题为必考题，题为必考题，每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 2222、2
31、323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分。分。17.V ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，设(sin BsinC)sin Asin BsinC22（1）求 A；（2）若2ab 2c，求 sinC【答案】（1）A【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：b2c2a2bc，从而可整理出cosA，根据A0,可求得结果；（2）利用正弦定理可得2 sin A sin B 2sin C，利用sinB sinAC、两角和差正弦公式可得关于sinC和cosC的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果.【
32、详解】（1）sin BsinC sin2B2sin BsinC sin2C sin2Asin BsinC即：sin2Bsin2C sin2AsinBsinC由正弦定理可得：b2c2a2bc23；（2）sinC 6 2.4b2c2a21cos A2bc2Q A0,A=3（2）Q2a b 2c，由正弦定理得：2 sin A sin B 2sin C又sin B sinAC sin AcosC cos AsinC，A 3 2331cosCsinC 2sinC222整理可得：3sinC226 3cosCQ sin C cos C 1 3sinC 6解得：sinC 23 1sin2C6 26 2或44因
33、sinB2sinC 2sinA2sinC666 2，故sinC.0所以sinC 424（2）法二：Q2a b 2c，由正弦定理得：2 sin A sin B 2sin C又sin B sinAC sin AcosC cos AsinC，A 3 2331cosCsinC 2sinC222整理可得：3sinC 6 3cosC，即3sinC 3cosC 2 3sinC662sinC 62由C(0,2),C(,)，所以C,C 366 26446sinC sin()466 2.4【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定
34、理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.18.如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N分别是 BC，BB1，A1D的中点（1）证明：MN平面 C1DE；（2）求二面角 A-MA1-N的正弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形中位线和A1D/B1C可证得ME/ND，证得四边形MNDE为平行四边形，进而证得（2）以菱形ABCD对角线交点为原点可建立空间直角MN/DE，根据线面平行判定定理可证得结论；10.5uuu rAMAAMA坐标系，通过取AB中点F，可证得DF 平面1，得到平面1的法向量DF；
35、再通过向量法求得平面MA1N的法向量n，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值.【详解】（1）连接ME，B1CrQ M，E分别为BB1，BC中点ME为B1BC的中位线ME/B1C且ME 1B1C2又N为A1D中点，且A1D/B1CND/B1C且ND 1B1C2ME/ND四边形MNDE为平行四边形MN/DE，又MN 平面C1DE，DE平面C1DEMN/平面C1DE（2）设ACI BD O，AC11I B1D1O1由直四棱柱性质可知：OO1平面ABCDQ四边形ABCD为菱形ACBD则以O为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：A3,0,0，M0,1,2，A1
36、3,0,4，D（0，-1,0）N312,2,23 1取AB中点F，连接DF，则F2,2,0Q四边形ABCD为菱形且BAD 60oBAD为等边三角形DF AB又AA1平面ABCD，DF 平面ABCDDFAA1DF 平面ABB1A1，即DF 平面AMA1uuu rDF为平面AMA1uuu r3 3一个法向量，且DF2,2,0uuu u r33uuuu rr设平面MA1N的法向量n x,y,z，又MA13,1,2，MN2,2,0vruuuunMA13x y2z 0ry 1n 3,1,1ruuuu，令，则，x 3z 1v33xy 0nMN 22uuu rruuu rrDFn315uuu rr10cos
37、 DF,n uuurrsin DF,n 515DF n5二面角AMA1N的正弦值为：105【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.19.已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为（1）若|AF|+|BF|=4，求 l的方程；3的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P2uuu ruuu r（2）若AP 3PB，求|AB|【答案】（1）12 x 8y 7 0；（2）【解析】【分析】4 13.33x m，Ax1,y1，Bx2,y2；根据抛物线焦半径公式可
38、得x1+x21；联立直线22方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m的方程，解方程求得结果；（2）设直线l：x y t；3（1）设直线l：y=联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用AP 3PB可得y1 3y2，结合韦达定理可求得y1y2；根据弦长公式可求得结果.uuu ruuu r3x m，Ax1,y1，Bx2,y2235由抛物线焦半径公式可知：AF BF x1 x2 4 x1 x222【详解】（1）设直线l方程为：y=3y xm22联立得：9x 12m12x4m 022y 3x则 12m12144m2 0m 12712m 125 x1 x2，解得：m 9282直线l的方程为：y
39、 37x，即：12 x 8y 7 028（2）设Pt,0，则可设直线l方程为：x 2y t32x y t2联立得：y 2y3t 032y 3x则 412t 0t 13y1y22，y1y23tuuu ruuu rQAP 3PBy13y2y21，y13y1y232则AB 149y1 y24y1y2134 13 412 33【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.20.已知函数f(x)sin xln(1 x)，f(x)为f(x)的导数证明：（1）f(x)在区间(1,2)存在唯一极大值
40、点；（2）f(x)有且仅有 2个零点【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）求得导函数后，可判断出导函数在1,上单调递减，根据零点存在定理可判断出x00,，22使得gx0 0，进而得到导函数在1,上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知x 02骣p0,时，首先可判断出在(0,x0)上无零点，再利用零点存在定为fx在1,0上的唯一零点；当x 西桫 2理得到fx在x0,x,时，利用零点存在定理f x 0上的单调性，可知，不存在零点；当 22和fx单调性可判断出存在唯一一个零点；当x,，可证得fx0；综合上述情况可证得结论.【详解】（1）由题意知：fx定义域为：1,且f
41、x cos x 令gx cos x 1x 11x 1,，x 121gx sin x1x12，x1,2Qx12111,在1,在上单调递减，1,上单调递减22an1an7gx在1,上单调递减2又g0sin0110，g sin224 224 221 0 x00,，使得gx0 02当x1,x0时，gx 0；xx0,时，gx 02即gx1,x0上单调递增；在x0,2上单调递减则x x0为gx唯一的极大值点即：f x在区间1,上存在唯一的极大值点x0.2（2）由（1）知：f x cos x 1，x1,x 1当x1,0时，由（1）可知f x在1,0上单调递增fx f00 fx在1,0上单调递减又f00 x
42、0为fx在1,0上的唯一零点当x0,2时，f x在(0,x0)上单调递增，在x0,上单调递减2又f 00fx00 fx在(0,x0)上单调递增，此时fx f00，不存在零点22 fcos 0又2222x1x0,，使得f x1 02 fx在x0,x1上单调递增，在x1,上单调递减2又2eln10fx0 f00，fsinln1ln2222 fx0在x0,上恒成立，此时不存在零点2当x,时，sin x单调递减，lnx1单调递减2 fx在,上单调递减2f又 0，fsinln1ln102即f f,上单调递减0f x，又在 22fx在,上存在唯一零点2当x,时，sinx 1,1，lnx1ln1lne1si
43、nxlnx10即fx在,上不存在零点综上所述：fx有且仅有2个零点【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.21.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问
44、题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为 和，一轮试验中甲药的得分记为X（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，pi(i 0,1,L,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0 0，p81，pi api1bpicpi1(i 1,2,L,7)，其中a P(X 1)，b P(X 0)，c P(X 1)假设0.5，0.8(i)证明：pi1 pi(i 0,1,2,L
45、,7)为等比数列；(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）p4【解析】【分析】（1）首先确定X所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解出a,b,c的取值，可得1.257pi0.4pi10.5pi0.1pi1i 1,2,7，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合法可求出p4.【详解】（1）由题意可知X所有可能的取值为：1，0，1p8和p0的值可求得p1；再次利用累加PX 11；PX 011；PX 11则X的分布列如下：XP10111
46、11（2）Q 0.5，0.8a0.50.80.4，b 0.50.80.50.20.5，c 0.50.20.1（i）Q即piapi1bpicpi1i 1,2,7pi0.4pi10.5pi0.1pi1i 1,2,74pi1 pi1i 1,2,7pi1 pi4pi pi1i 1,2,7整理可得：5pipi1 pii 0,1,2,7是以p1p0为首项，4为公比的等比数列（ii）由（i）知：pi1 pip1 p04i p14ip8p7 p147，p7 p6 p146，p1 p0 p140148481作和可得：p8 p0 p1 4 4 4p1p11143017 p13481144441311p4 p4 p
47、0 p1 4 4 4 4p1841434 14 12570123p4表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为p41 0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.257【点睛】本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高.（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答。如果
48、多做，则按所做的第题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。一题计分。22.选修 4-4：坐标系与参数方程1t2x，1t2在直角坐标系 xOy中，曲线 C 的参数方程为（t为参数），以坐标原点 O为极点，x轴的y 4t1t2正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin11 0（1）求 C和 l直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l距离的最小值y2【答案】（1）C:x（2）71；l:2x3y 11 0；42【解析】【分析】（1）利用代入消元法，可求得C的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出C上点的坐标，根据点到直线距
49、离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.216t21x1t22y t 2【详解】（1）由x 得：，又221t1 x1t1 x1 x 41 x1 x 44x2y221 x 11 x16y2整理可得C的直角坐标方程为：x 142又x cos，y sinl的直角坐标方程为：2x3y 11 0（2）设C上点的坐标为：cos,2sin4sin112cos2 3sin11则C上的点到直线l的距离6d 77当sin 1时，d取最小值6则dmin7【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程
50、来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.23.选修 4-5：不等式选讲已知 a，b，c为正数，且满足 abc=1证明：（1）111 a2b2c2；abc333（2）(ab)(bc)(ca)24【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用abc=1将所证不等式可变为证明：a2b2c2 bc ac ab，利用基本不等式可证得2 a2b2c2 2ab2bc2ac，从 而 得 到 结 论；（2）利 用 基 本 不 等 式 可 得abbcca33333 3abbcca，再 次 利 用 基 本 不 等 式 可 将 式 转 化 为 24a bbcca3abc2，在取等条件一致的