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1、绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试（全国一卷）理科数学一、选择题，本题共12 小题，每小题5 份，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设iiiz211，则zA.0 B.21C.1 D.22.已知集合02|2xxxA，则ACRA.21|xxB.21|xxC.2|1|xxxxD.2|1|xxxx3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一杯，实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计和该地图新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新
2、农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.记nS为等差数列na的前n项和，若4233SSS，21a，则5aA.-12 B.-10 C.10 D.12 5.设函数axxaxxf231，若xf为奇函数，则曲线xfy在点0 ,0处的切名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 线方程为A.xy2B.xyC.xy2D.xy6.在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点
3、，则EBA.ACAB4143B.ACAB4341C.ACAB4143D.ACAB43417.某圆柱的高为2，地面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A.172B.52C.3 D.2 8.设抛物线xyC4:2的焦点为F，过点0,2且斜率为32的直线与C交于NM ,两点，则FNFMA.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数axxfxgxxxexfx,0,ln0,，若xg存在 2 个零点，则a的取值范围是A.0 , 1B.,0C., 1D., 110.下图来自古希腊数学家希波
4、克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成。三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边ACAB,，ABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为。在整个图形中随机取一点，此点取自的概率分别记为321,ppp，则A B 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - A.21ppB.31ppC.32ppD.321ppp11.已知双曲线13:22yxC，O为坐标原点，F为C的右焦点， 过F的直线与C的两条渐近
5、线的交点分别为NM ,。若OMN为直角三角形，则MNA.23B.3 C.32D.4 12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A.433B.332C.423D.23二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。13.若yx,满足约束条件001022yyxyx，则yxz23的最大值为. 14.记nS为数列na的前n项和，若12nnaS，则6S. 15.从 2 位女生， 4 位男生中选3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选， 则不同的选法共有种.（用数字填写答案）16.已知函数xxxf2sinsin2，则xf的最小值是. 三、
6、解答题：共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17.（12 分）在平面四边形ABCD中,.5,2,45,90BDABAADC（1）求ADBcos；（2）若22DC，求BC. C A B 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 18.（12 分）如图，四边形ABCD为正方形，FE,分别为B
7、CAD,的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且BFPF. （1）证明：ABFDPEF平面平面; （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值. 19. （12 分）设椭圆12:22yxC的右焦点为F，过F的直线l与C交于BA,两点，点M的坐标为0 ,2. （1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMBOMA. 20.（12 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验。设每件产品为不合格品
8、的概率都为10pp，且各件产品是否为不合格品相互独立。（1）记 20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为pf，求pf的最大值点0p；（2）现对一箱产品检验了20 件，结果恰有2 件不合格品，以（1）中确定的0p作为p的值。已知每件产品的检验费用为2 元。若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25 元的赔偿费用。（）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X， 求EX；（）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21.（12 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -
9、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 已知函数xaxxxfln1. （1）讨论xf的单调性；（2）若xf存在两个极值点21, xx，证明：22121axxxfxf. （二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为2xky，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为03cos22. （1）求2C的直角坐标方程；（2）若1C与2C有且仅有三个公共点，求
10、1C的方程。23.选修 45：不等式选讲 （10 分）已知11axxxf. （1）当1a时，求不等式1xf的解集；（2）若1 ,0 x时不等式xxf成立，求a的取值范围名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 绝密启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1C 2B 3A 4B 5D 6A 7B 8D9C 10A 11B 12A 二、填空题13 614631516163 32三、解答题17
11、解：（1）在ABD中，由正弦定理得sinsinBDABAADB. 由题设知，52,sin 45sinADB所以2sin5ADB. 由题设知，90ADB，所以223cos1255ADB. （2）由题设及（ 1）知，2cossin5BDCADB. 在BCD中，由余弦定理得2222cos22582522525.BCBDDCBD DCBDC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 所以5BC. 18解：（1）由已知可得，BFPF
12、，BFEF，所以BF平面PEF. 又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD. （2）作PHEF，垂足为H. 由（ 1）得，PH平面ABFD. 以H为坐标原点，HFuuu r的方向为y 轴正方向， |BFuu u r为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Hxyz. 由（ 1）可得，DEPE. 又2DP，1DE，所以3PE. 又1PF，2EF，故PEPF. 可得32PH，32EH. 则(0,0,0)H，3(0,0,)2P, 3( 1,0)2D，33(1, ,)22DPuuu r，3(0,0,)2HPuuu r为平面ABFD的法向量 . 设DP与平面ABFD所成角为，则334sin|43|
13、|HP DPHPDPuu u r uuu ruu u ruu u r. 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为34. 19解：（1）由已知得(1,0)F， l 的方程为1x. 由已知可得，点A 的坐标为2(1,)2或2(1,)2. 所以 AM 的方程为222yx或222yx. （2）当 l 与 x 轴重合时，0OMAOMB. 当 l 与 x 轴垂直时， OM 为 AB 的垂直平分线，所以OMAOMB . 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1) (0)yk xk，11(,)A xy，22(,)B xy，则12x，22x，直线 MA，MB 的斜率之和为121222MAMByykk
14、xx. 由11ykxk，22ykxk 得1 2121223 ()4(2)(2)MAMBkx xk xxkkkxx. 将(1)yk x代入2212xy得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2222(21)4220kxk xk. 所以，22121222422,2121kkxxx xkk. 则3331212244128423 ()4021kkkkkkxxk xxkk. 从而0MAMBkk，故 MA，MB 的倾斜角互补 .
15、 所以OMAOMB . 综上，OMAOMB . 20解：（1）20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为221820( )C(1)fppp. 因此2182172172020()C 2(1)18(1)2C(1) (110 )fpppppppp . 令()0fp，得0.1p. 当(0,0.1)p时，( )0fp；当(0.1,1)p时，( )0fp.所以( )f p 的最大值点为00.1p. （2）由（ 1）知，0.1p. （）令Y 表示余下的180 件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)YB:，20225XY，即4025XY . 所以(4025 )4025490EXEYEY. （）如果对
16、余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400 元. 由于400EX，故应该对余下的产品作检验. 21解：（1）( )f x 的定义域为(0,) ，22211( )1axaxfxxxx. （）若2a，则( )0fx ，当且仅当2a，1x时( )0fx，所以( )f x 在 (0,)单调递减 . （）若2a，令( )0fx得，242aax或242aax. 当2244(0,)(,)22aaaaxU时，( )0fx；当2244(,)22aaaax时 ，( )0fx. 所 以( )f x在24(0,)2aa，24(,)2aa单调递减，在2244(,)22aaaa单调递增 . （2）由（ 1）知，
17、( )f x 存在两个极值点当且仅当2a. 由于( )f x 的两个极值点1x ，2x 满足210 xax， 所以121x x， 不妨设12xx ， 则21x. 由于12121221212121222()()lnlnlnln2ln11221f xf xxxxxxaaaxxx xxxxxxx，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 所以1212()()2f xf xaxx等价于22212ln0 xxx. 设函数1( )2
18、lng xxxx，由（ 1）知，( )g x 在 (0,) 单调递减，又(1)0g，从而当(1,)x时，( )0g x. 所以22212lnxxx0 ，即1212()()2f xfxaxx. 22解：（1）由cosx，siny得2C 的直角坐标方程为22(1)4xy. （2）由（ 1）知2C 是圆心为( 1,0)A，半径为2的圆 . 由题设知，1C 是过点(0,2)B且关于y轴对称的两条射线. 记y轴右边的射线为1l ，y轴左边的射线为2l . 由于B在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共
19、点且1l 与2C 有两个公共点. 当1l 与2C 只有一个公共点时，A到1l 所在直线的距离为2， 所以2|2|21kk， 故43k或0k. 经检验，当0k时，1l 与2C 没有公共点；当43k时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点 . 当2l 与2C 只有一个公共点时，A到2l 所在直线的距离为2，所以2|2|21kk，故0k或43k. 经检验，当0k时，1l 与2C 没有公共点；当43k时，2l 与2C 没有公共点 . 综上，所求1C 的方程为4|23yx. 23解：（1）当1a时，( )|1|1|f xxx，即2 ,1,( )2 ,11,2,1.xf xxxx故不等
20、式( )1f x的解集为1|2x x. （2）当(0, 1)x时 |1|1|xaxx 成立等价于当(0, 1)x时 |1|1ax成立 . 若0a，则当(0, 1)x时|1|1ax；若0a， |1|1ax的解集为20 xa，所以21a，故 02a. 综上，a的取值范围为(0,2 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -