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1、2020 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学理科数学注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷制定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共1212 小题，每小题小题，每小题5 5 分，共分，共6060 分。在每小题给出的四个选项分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。中，只有一项是符合题目要求的。1.若z 1i,则z2
2、2z A.0 B.1 C.2D.22.设集合A x x240，B x 2xa 0，且 AB x 2 x 1，则a A.-4 B.-2 C.2 D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.5 15 1B.425 15 1D.42C.24.已知A为抛物线C:y 2px(p 0)上一点，点A到C的焦点的距离为 12，到 y轴的距离为 9，则p A2 B3 C6 D95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：C）的关系，在 20
3、 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi,yi)(i 1,2,.,20)得到下面的散点图：1由此散点图，在 10至 40之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度 x 的回归方程类型的是Ay a bxBy abxCy abeDy a bln x436.函数f(x)x 2x的图像在点(1,f(1)处的切线方程为2xAy 2x 1By 2x 1Cy 2x 3Dy 2x 17.设函数f(x)cos(x)在-，的图像大致6如下图，则f(x)的最小正周期为710B.6943C.D.32A.y2338.(x)(x y)5的展开式中x y的系数为xA.5 B.10 C.15 D.2
4、09.已知(0,)，且3cos28cos5，则sin=A.2155B.C.D.393310.已知A,B,C为球O的球面上的三个点，O1为ABC的外接圆，若O1的面积为4,AB BC AC OO1,则球O的表面积为A.64B.48C.36D.322211.已知M:x y 2x2y20，直线l:2x y 0,p为l上的动点.过点p作M的切线PA，PB,切点为A,B,当PM AB最小时，直线AB的方程为2A.2x y 1 0B.2x y 1 0C.2x y 1 0D.2x y 1 012.若2alog2a 4b2log4b，则A.a 2b B.a 2b C.a b D.a b二、填空题：本题共二、填
5、空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。222x y2 0,13.若 x，y 满足约束条件x y1 0,则 z=x+7y 的最大值为。y1 0,14.设 a，b 为单位向量，且a+b=1,则a-b=。x2y215.已知F为双曲线C:221(a 0,b 0)的右焦点，A为C的右顶点，B为abC上的点，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为 3，则C的离心率为。16.如图，在三棱锥PABC的平面展开图中，AC1，AB AD3，AB AC，AB AD，CAE 30，则cosFCB。三、解答题：共三、解答题：共7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
6、骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17172121题为必考题，每个试题考生都必须作答。第题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求题为选考题，考生根据要求作答。作答。（一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分17.（12 分）设an是公比不为 1 的等比数列，a1为a2，a3的等差中项.（1）求an的公比；（2）若a1=1，求数列nan的前n项和.318.（12 分）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE AD,ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点,PO(1)证明：PA平面PBC；(2)求二面角B
7、PC E的余弦值。6DO。6419.（12 分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一轮轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.1经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.2（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.5x220.（12分）已知A，B分别为椭圆E：2 y21(a 1)的左、右顶点，G为aE上顶点，AGGB 8.P为直线x6上的动点，PA
8、与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D。（1）求E的方程；（2）证明:直线CD过定点。621.（12 分）已知函数fx ex ax2 x.（1）当a 1时，讨论fx的单调性；（2）当x0时，fx713x 1，求 a 的取值范围.2（二）选考题：共（二）选考题：共1010 分。请考生在第分。请考生在第2222、2323 题中任选一题作答。如果多做，则题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。按所做的第一题计分。22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）kx cos t,(t为参数）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，以坐标原ky sin t点为极点，x轴正半轴为极轴建立
9、极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos16sin3 0.（1）当k 1时，C1是什么曲线？（2）当k 4时，求C1与C2的公共点的直角坐标.23.选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数f(x)3x1 2 x-1.（1）画出 y=f(x)的图像；（2）求不等式 f(x)f(x+1)的解集.8参参 考考 答答 案案一、选择题：本题共一、选择题：本题共1212 小题，每小题小题，每小题5 5 分，共分，共6060 分。在每小题给出的四个选项分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。中，只有一项是符合题目要求的。1.若z 1i,则|z 2z|2A.0 B.1 C.2D.2【解析：D
10、。|z 2z|(1i)2(1i)|i 1|11|2。】2.设集合A x x240，B x 2xa 0，且 AB x 2 x 1，则a A.-4 B.-2 C.2 D.4【解析：B。A x|2 x 2，B x|x ，AB x|2 x 1222a2a1，a 2。】23.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.5 15 1B.425 15 1D.42C.【解析：C。如图，设该正四棱锥侧面三角形底边上a，底面正方形的边长为的高为b，则该四棱锥的高为a(b)2
11、1221a2b2，以4该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，a 92121b ab42解得：a 5 15 15 1或（不符合题意，舍去），a。】44424.已知A为抛物线C:y 2px(p 0)上一点，点A到C的焦点的距离为 12，到y轴的距离为 9，则p A2 B3 C6 D9p【解析：C。由题意得：129 3，p 6。】25.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：C）的关系，在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi,yi)(i 1,2,.,20)得到下面的散点图：由此散点图，在 10至 40之间，下面四个回归方程类型中
12、最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是Ay a bxBy abxCy abeDy a bln x【解析：D。观察散点图的分布，两变量之间应为对数相关。】436.函数f(x)x 2x的图像在点(1,f(1)处的切线方程为2xAy 2x 1By 2x 1Cy 2x 3Dy 2x 132f(x)4x 6x【解析：B。，f(1)2，又f(1)12 1，图像在(1,f(1)处的切线方程斜率为-2，且过点(1,1)，答案只能选 B。】7.设函数f(x)cos(x)在-，的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期610为710B.6943C.D.32242。【解析：C。】f(x)的最小正周期为33A.y
13、2338.(x)(x y)5的展开式中x y的系数为xA.5 B.10 C.15 D.20y2【解析：C。(x y)展开式中C x y、C x y与x、相乘后分别含有x3y3，x52523454x3y3系数为C52C5415。】9.已知(0,)，且3cos28cos5，则sin=A.2155B.C.D.3933223cos28cos3(2cos1)8cos6cos8cos35，【解析：A。25cos 或 2（舍去）sin x，。】3cos24cos4 0，3310.已知A,B,C为球O的球面上的三个点，O1为ABC的外接圆，若O1的面积为4,AB BC AC OO1,则球O的表面积为A.64B
14、.48C.36D.32【解析：A。如图,延长AO1交BC于点D，2 AO1）4，O1的面积为4，（AO1 2,ABC是等边三角形，AD 3AD3AO1 3,AB 2sin603 2 3，2OO1 AB 2 3,在RtAOO1中，AO AO1OO1 2(2 3)16,2222211球O的表面积为：4（AO）416 64。】22211.已知M:x y 2x2y20，直线l:2x y 0,p为l上的动点.过点p作M的切线PA，PB,切点为A,B,当PM AB最小时，直线AB的方程为A.2x y 1 0B.2x y 1 0C.2x y 1 0D.2x y 1 0【解析：D。:M(x1)2(y 1)2
15、22，12S|PM|AB|2S|PA|AM|2|PA|2|PM|4,PMABPAM2PM|最小，此时PM|PM|AB|最小，即|与直线l垂直，11PM:y x，直线PM与直线P(1,0)，l的交点22x y1 0。过直线外一点的切线所得切点弦所在直线方程为：2】P作M12.若2alog2a 4b2log4b，则A.a 2b B.a 2b C.a b D.a b22b【解析：B。由题意得：2 2 2log2blog2a log2blog2a log2，aa2b2bba2bb a12 2 log0，a 2b，与b a矛盾，舍去；若，则，2aabba2b若1，则b a，2 2 log20，a 2b，
16、与b a矛盾，舍去；aabba2bb a12 2 log 0，a 2b。若，则，】2aa二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。2x y2 0,13.若 x，y 满足约束条件x y1 0,则 z=x+7y 的最大值为 1。y1 0,【解析：利用线性规划作图解答。】14.设 a，b 为单位向量，且a+b=1,则a-b=3。12【解析：|a b|2|a|2|b|22ab 11 2ab 1，2ab 1，|ab|2|a|2|b|22ab 3，|ab|3。】x2y215.已知F为双曲线C:221(a 0,b 0)的右焦点，A为C的右
17、顶点，B为abC上的点，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为 3，则C的离心率为 2。b2【解析：由题意得：A(a,0)，F(c,0)，由于BF是通径长的一半，B(c,)，akABb2b2c2a2a e1 3，e 2。】caa(ca)a(ca)16.如图，在三棱锥PABC的平面展开图中，14。CAE 30，则cosFCBAC1，AB AD3，AB AC，AB AD，【解析：由题意得：BD 2AB 6,D,E,F重合于一点，AE AD 3,BF BD 6,在ACE中，CE2 AC2 AE22AC AE cosCAE 12(3)2213cos30 1，CE CF 1,在BCF中，BC2CF2 BF21
18、222(6)21cosFCB 。】2BCCF2124三、解答题：共三、解答题：共7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17172121题为必考题，每个试题考生都必须作答。第题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求题为选考题，考生根据要求作答。作答。（一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分17.（12 分）设an是公比不为 1 的等比数列，a1为a2，a3的等差中项.（1）求an的公比；（2）若a1=1，求数列nan的前n项和。13解：（1）由题意得：2a1 a2a3，即2a1 a
19、1q a1q2，a1 0，故q2 q 2 0，解得：q 2或q 1（舍去）（2）记数列nan的前n项和为Sn，an a1qn1(2)n1，Sn1(2)02(2)1 n(2)n12Sn1(2)1 2(2)2 n(2)n-得：3Sn(2)0(2)1(2)2(2)n1n(2)n(2)n111n(2)n(n)(2)n2133111Sn(n)(2)n39918.（12 分）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE AD,ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点,PO(1)证明：PA平面PBC；(2)求二面角B PC E的余弦值。（1）证明：设O半径为 1，OAOB OC 1,6D
20、O。6AE AD 2,AB BC AC 3,DO DA2OA23,PO 626DO,PA PB PC PO2 AO2,622在PAC中，PA2 PC2 AC2,故PA PC同理可得：PA PBPBPC P，PA平面PBC。14（2）解：建立坐标系O xyz，则有B(3 13 12,0)，C(,0)，P(0,0,)，E(0,1,0)，222223 13 12,0)，CP (,)，22222BC(3,0,0)，CE (CPn1 0设平面PBC的法向量为n1，由得：n1(0,2,1)；BCn1 0同理可得平面PCE的法向量为n2(2,6,2 3)，故二面角BPCE的余弦值为|19.（12 分）甲、乙
21、、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一轮轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.1经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.2n1n2|n1|n2|2 5。5（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.11解：（1）甲连胜四场只能是前四场全省：P ()4;216141（2）前 3 场各负一场：P ()；1216前 3 场比赛结束时乙被淘汰（其中甲胜一场），最
22、后两场比赛结束，又分为甲12胜或丙胜：P2 2()5；232前 3 场比赛结束时乙被淘汰（其中甲胜三场），最后两场比赛结束，又分为甲12胜或丙胜：P3 2()5；232前 3 场比赛结束时甲被淘汰（其中乙胜一场），最后两场比赛结束，又分为乙1512胜或丙胜：P4 2()5；232前 3 场比赛结束时甲被淘汰（其中乙胜三场），最后两场比赛结束，又分为乙12胜或丙胜：P5 2()5；232需要进行第五场比赛的概率是P P1 P2 P3 P4 P59.32151（3）前 3 场各负一场：P；()1232前 3 场比赛结束时乙被淘汰（其中甲胜一场），最后两场比赛结束，丙胜：11P2()5；232前 3
23、 场比赛结束时乙被淘汰（其中甲胜三场），最后两场比赛结束，丙胜：11；P3()5232前 3 场比赛结束时甲被淘汰（其中乙胜一场），最后两场比赛结束，丙胜：11P4()5；232前 3 场比赛结束时甲被淘汰（其中乙胜三场），最后两场比赛结束，丙胜：11；P5()5232只打 4 场，前 3 场比赛结束时丙连胜两场（其中甲或乙中有一人被淘汰），最14终丙胜：P6 2()4；232P P1 P2 P3 P4 P5 P69.3216x220.（12分）已知A，B分别为椭圆E：2 y21(a 1)的左、右顶点，G为aE上顶点，AGGB 8.P为直线x6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交
24、点为D。（1）求E的方程；（2）证明:直线CD过定点。（1）解：由题意得：A(a,0)，B(a,0)，G(0,1)，AG(a,1)，GB (a,1)，AGGB a218 a2 9 a 3，x2E的方程为：y21。9（2）证明：由（1）知：A(3,0)，B(3,0)，设P(6,m)则直线PA的方程为：y m(x3)，9x2 y219(9m2)x26m2x9m281 0y m(x3)99m2813m227m x 3xC，代入直线方程y(x3)得：PAC229m9m93m2276m6m,)，C(yC2229m9m9m直线PB的方程为：y m(x3)，3x2 y219(1m2)x26m2x9m29 0
25、y m(x3)3179m293m23m x 3xD,代入直线方程y(x3)得：PBD1m21m233m232m2m,),D(yD1m21m21m2直线CD的斜率kCD6m2m4mm21m2，92223m 273m 33(3m)9m21m22m4m3m23(x)直线CD的方程为y 1m23(3m2)1m2y 4m3(x)23(3m)23直线CD过定点(,0)。221.（12 分）已知函数fx ex ax2 x.（1）当a 1时，讨论fx的单调性；（2）当x0时，fx13x 1，求 a 的取值范围.2解：（1）当a 1时，f(x)ex x2 x，f(x)ex 2x1，记g(x)f(x)3h(x)e
26、xx22ax12g(x)在R上单调递增，即f(x)在R上单调递增又f(0)0当x 0时，f(x)0f(x)的单调递增区间为(0,)，递减区间为(,0)。（2）当x0时，f(x)当x 0时，aR;1813x 1恒成立213x x1ex当x 0时，即a 2恒成立2x131x x1ex(2 x)(exx2 x1)2记h(x)2，h(x)，23xx1记g(x)exx2 x1，2当x0，g(x)ex1 0恒成立，g(x)ex x1g(x)在(0,)单调递增，g(x)min g(0)0g(x)0恒成立，g(x)在(0,)单调递增，g(x)min g(0)0令h(x)0可得x 2，当x(0,2)时，h(x)
27、0，h(x)在(0,2)单调递增，当x(2,)时，h(x)0，h(x)在(2,)单调递增，h(x)min7e2 h(2)47e2a 47e2,)。综上，a的取值范围为419（二）选考题：共（二）选考题：共1010 分。请考生在第分。请考生在第2222、2323 题中任选一题作答。如果多做，则题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。按所做的第一题计分。22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）kx cos t,(t为参数）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，以坐标原ky sin t点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos16sin3 0.（1
28、）当k 1时，C1是什么曲线？（2）当k 4时，求C1与C2的公共点的直角坐标.x cost解：（1）k 1时，C1参数方程为，直角坐标方程为x2 y21，y sintC1是以原点为圆心，1 为半径的圆。4x cos t（2）k 4时，C1参数方程为，直角坐标方程为x y 1，4y sin tC2的直角坐标方程为4x16y 3 01x x y 14联立，解得：1y 4x16y 3 041 1C1与C2的公共点的直角坐标为(,)。4 42023.选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数f(x)3x1 2 x-1.（1）画出y f(x)的图像；（2）求不等式f(x)f(x1)的解集.x3(x 1)1解：（1）函数f(x)|3x1|2|x1|5x1(x 1)，图像如图所示：31 x3(x )3（2）函数f(x1)的图像即为将f(x)的图像向左平移一个单位所得，如图，y x377联立，解得：x ，f(x)f(x1)的解集为x|x 。66y 5x421