《第七章微分方程.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第七章微分方程.pdf（32页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第七章第七章 微分方程微分方程教学目的：教学目的：1了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。2熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。3会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。(n)y f(x)，y f(x,y)和y f(y,y)4 会用降阶法解下列微分方程：5 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。6掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数
2、线性微分方程组。9会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。教学重点：教学重点：1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法2、可降阶的高阶微分方程y f(x)，y f(x,y)和y f(y,y)3、二阶常系数齐次线性微分方程；4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；教学难点：教学难点：1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。4、欧拉方程 1212 1 1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念函数是客观事
3、物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具有重要意义 在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据问题所提供的情况 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式 这样的关系就是所谓微分方程 微分方程建立以后 对它进行研究 找出未知函数来 这就是解微分方程例 1 一曲线通过点(1 2)且在该曲线上任一点 M(x y)处的切线的斜率为 2x 求这曲线的方程解 设所求曲线的方程为 yy(x)根据导数的几何意义 可知未知函数 yy(x)应满足关系式(称为微分方程)(n)dy2xdx (1)此外 未知函数 yy(x)还
4、应满足下列条件x1 时 y2 简记为 y|x12 (2)把(1)式两端积分 得(称为微分方程的通解)y2xdx 即 yx2C (3)其中 C是任意常数1/32把条件“x1 时 y2”代入(3)式 得 212C由此定出 C1 把 C1代入(3)式 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x12 的解)yx21例 2 列车在平直线路上以 20m/s(相当于 72km/h)的速度行驶 当制动时列车获得加速度04m/s2 问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解 设列车在开始制动后 t 秒时行驶了 s 米 根据题意 反映制动阶段列车运动规律的函数ss(t)应满足关系式d
5、2s0.42dt (4)此外 未知函数 ss(t)还应满足下列条件vds20dtt0时 s0 简记为 s|t0=0 s|t0=20 (5)把(4)式两端积分一次 得vds0.4tC1dt (6)再积分一次 得s02t2C1t C2 (7)这里 C1 C2都是任意常数把条件 v|t020 代入(6)得 20C1把条件 s|t00 代入(7)得 0C2把 C1 C2的值代入(6)及(7)式得v04t 20 (8)s02t220t (9)在(8)式中令 v0 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间t20500.4(s)再把 t50代入(9)得到列车在制动阶段行驶的路程s025022050500(m)
6、解 设列车在开始制动后t秒时行驶了 s米s04 并且 s|t0=0 s|t0=20把等式 s04 两端积分一次 得s04tC1 即 v04tC1(C1是任意常数)再积分一次 得s02t2C1t C2(C1 C2都 C1是任意常数)由 v|t020 得 20C1 于是 v04t 20由 s|t00 得 0C2 于是 s02t220t令 v0 得 t50(s)于是列车在制动阶段行驶的路程s025022050500(m)2/32几个概念微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程 叫常微分方程偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方
7、程 叫偏微分方程微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微分方程的阶x3yx2y4xy3x2y(4)4y10y12y5ysin2xy(n)10一般 n 阶微分方程F(x y y y(n)0y(n)f(x y y y(n1)微分方程的解 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解 确切地说 设函数 y(x)在区间 I 上有 n阶连续导数 如果在区间 I 上Fx(x)(x)(n)(x)0那么函数 y(x)就叫做微分方程 F(x y y y(n)0 在区间 I 上的解通解 如果微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同
8、这样的解叫做微分方程的通解初始条件 用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件 如xx0时 yy0 y y0一般写成yxx0y0yxx0y0特解 确定了通解中的任意常数以后 就得到微分方程的特解 即不含任意常数的解初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题如求微分方程 yf(x y)满足初始条件yxx0y0的解的问题 记为y f(x,y)yxx0 y0积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线例 3 验证 函数xC1cos ktC2sin kt是微分方程d2xk2x02dt的解解 求所给函数的导数dxkC sinktkC coskt12dtd2xk2C cosk
9、tk2C sinktk2(C cosktC sinkt)12122dt3/32d2x2将dt及 x 的表达式代入所给方程 得k2(C1cos ktC2sin kt)k2(C1cos ktC2sin kt)0d2xk2x0这表明函数 xC1cosktC2sinkt 满足方程dt2 因此所给函数是所给方程的解d2xk2x0例 4 已知函数 xC1cosktC2sinkt(k0)是微分方程dt2的通解 求满足初始条件x|t0A x|t00的特解解 由条件 x|t0A 及 xC1cos ktC2sin kt 得C1A再由条件 x|t00 及 x(t)kC1sin ktkC2cos kt 得C20把 C
10、1、C2的值代入 xC1cos ktC2sin kt中 得xAcos kt 1212 2 2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程观察与分析观察与分析 1 求微分方程 y2x 的通解 为此把方程两边积分 得yx2C一般地 方程 yf(x)的通解为yf(x)dxC(此处积分后不再加任意常数)2 求微分方程 y2xy2的通解2xy2dx因为 y是未知的 所以积分无法进行 方程两边直接积分不能求出通解1dy2xdx2y为求通解可将方程变为 两边积分 得11x2Cyx2Cy 或可以验证函数y1x2C是原方程的通解一般地 如果一阶微分方程 y(x,y)能写成 g(y)dyf(x)dx形式 则两边积分
11、可得一个不含未知函数的导数的方程G(y)F(x)C由方程 G(y)F(x)C 所确定的隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程对称形式的一阶微分方程 一阶微分方程有时也写成如下对称形式P(x y)dxQ(x y)dy0在这种方程中 变量 x与 y 是对称的4/32若把 x看作自变量、y 看作未知函数 则当 Q(x,y)0时 有dyP(x,y)Q(x,y)dx若把 y 看作自变量、x看作未知函数 则当 P(x,y)0 时 有dxQ(x,y)P(x,y)dy可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成g(y)dyf(x)dx(或写成 y(x)(y)的形式 就是说 能把微
12、分方程写成一端只含y 的函数和 dy 另一端只含 x 的函数和 dx 那么原方程就称为可分离变量的微分方程讨论 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1)y2xy是 y1dy2xdx(2)3x25xy0是 dy(3x25x)dx(3)(x2y2)dxxydy=0 不是(4)y1xy2xy2 是 y(1x)(1y2)(5)y10 xy是 10ydy10 xdxyyxyx不是(6)可分离变量的微分方程的解法可分离变量的微分方程的解法 第一步 分离变量 将方程写成 g(y)dy f(x)dx的形式第二步 两端积分g(y)dyf(x)dx 设积分后得 G(y)F(x)C第三步 求出由 G(y)F(x
13、)C所确定的隐函数 y(x)或 x(y)G(y)F(x)C y(x)或 x(y)都是方程的通解 其中 G(y)F(x)C称为隐式(通)解dy2xydx例 1 求微分方程的通解解 此方程为可分离变量方程 分离变量后得1dy2xdxy两边积分得1dy 2xdxy即 ln|y|x2C1x从而ye2C1eC1ex2因为e1仍是任意常数 把它记作 C 便得所给方程的通解xyCe2C解 此方程为可分离变量方程 分离变量后得5/321dy2xdxy两边积分得1dy 2xdxy即 ln|y|x2lnCx从而yCe2例 2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知 t0时铀的含量为 M0 求在衰变过程
14、中铀含量 M(t)随时间 t变化的规律dM解 铀的衰变速度就是 M(t)对时间 t的导数dt由于铀的衰变速度与其含量成正比 故得微分方程dMMdtdM0其中(0)是常数前的曲面号表示当 t增加时 M单调减少 即dt由题意 初始条件为M|t0M0将方程分离变量得dMdtMdM()dt两边积分 得M即 lnMtlnC 也即 MCet由初始条件 得 M0Ce0C所以铀含量 M(t)随时间 t变化的规律 MM0et例 3 设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系解 设降落伞下落速度为 v(t)降落伞所受外力为 Fmgkv(k为比
15、例系数)根据牛顿第二运动定律 Fma 得函数 v(t)应满足的方程为mdvmgkvdt初始条件为v|t00方程分离变量 得dvdtmgkvmdvdtm两边积分 得mgkv6/321ln(mgkv)tC1mkkC1ktmgvCemCekk)即(将初始条件 v|t00 代入通解得Cmgkktmgv(1em)k于是降落伞下落速度与时间的函数关系为dy1xy2xy2例 4 求微分方程dx的通解解 方程可化为dy(1x)(1 y2)dx分离变量得1dy(1x)dx21 y两边积分得1dy(1x)dx1x2xCarctany221 y 即ytan(1x2xC)2于是原方程的通解为例 4 有高为 1m的半球
16、形容器 水从它的底部小孔流出 小孔横截面面积为 1cm2 开始时容器内盛满了水 求水从小孔流出过程中容器里水面高度h随时间 t变化的规律解 由水力学知道 水从孔口流出的流量Q 可用下列公式计算QdV0.62S 2ghdt其中 0 62为流量系数 S为孔口横截面面积 g 为重力加速度 现在孔口横截面面积 S1cm2故dV0.62 2ghdt 或dV 0.62 2ghdt另一方面 设在微小时间间隔t tdt内 水面高度由 h降至 hdh(dh0)则又可得到dVr2dh其中 r是时刻 t的水面半径 右端置负号是由于 dh0而 dV0的缘故 又因222r 100(100h)200hh所以dV(200h
17、h2)dh通过比较得到20.62 2ghdt(200hh)dh这就是未知函数 hh(t)应满足的微分方程此外 开始时容器内的水是满的 所以未知函数 hh(t)还应满足下列初始条件7/32h|t01002将方程0.62 2ghdt(200hh)dh分离变量后得dt0.62 2g13(200h2h2)dh132(200h h2)dh两端积分 得t0.62 2g35t(400h22h2)C50.62 2g3即其中 C是任意常数由初始条件得35t(400100221002)C50.62 2g3C(400000200000)14105350.62 2g0.62 2g15t因此 1212 3 3 齐次方程
18、齐次方程齐次方程0.62 2g(7105353210 h 3h2)上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h与时间 t之间的函数关系dy f(x,y)dx如果一阶微分方程中的函数 f(x,y)可写成yyf(x,y)()x的函数 即x 则称这方程为齐次方程下列方程哪些是齐次方程？dyyy2x2dyyy2()122xy y y x 0dxxdxxx(1)是齐次方程dy1y2221x y 1ydx1x2 (2)不是齐次方程dyx2y2dyxydxxydxyx22 (3)(x y)dxxydy0 是齐次方程 (4)(2xy4)dx(xy1)dy0 不是齐次方程dy2xy4dxxy18/32yyy(
19、2xsh3ych)dx3xchdy0 xxx (5)是齐次方程yy2xsh3ychdyxxdy2thyyydxdx3xx3xchx齐次方程的解法ydyy()ux中 令x 即 yux 有在齐次方程dxuxdu(u)dx分离变量 得dudx(u)ux两端积分 得dudxx(u)uy求出积分后 再用x代替 u 便得所给齐次方程的通解例 1 解方程y2x2dydyxydxdx解 原方程可写成y2()dyy2xdxxyx2y1xyu因此原方程是齐次方程 令x 则dyuxdudx yuxdx于是原方程变为2duuuxdxu1xduu即dxu1分离变量 得(11)dudxux两边积分 得 uln|u|Cln
20、|x|或写成 ln|xu|uC9/32y以x代上式中的 u 便得所给方程的通解yln|y|Cx例 2 有旋转曲面形状的凹镜 假设由旋转轴上一点 O 发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行 求这旋转曲面的方程解 设此凹镜是由 xOy面上曲线 L yy(x)(y0)绕 x轴旋转而成 光源在原点 在 L上任取一点 M(x,y)作 L 的切线交 x 轴于 A 点 O 发出的光线经点 M 反射后是一条平行于 x 轴射线由光学及几何原理可以证明OAOMOAAPOPPM cotOP因为22而OM x yyxyyx x2y2于是得微分方程ydxx(x)21y整理得dyy 这是齐次方程dxx(x)21y问题
21、归结为解齐次方程dyyxvvydvv v21dy令y 即 xyv 得ydv v21即dydvdy2y分离变量 得v 1两边积分 得ln(v v 1)lnylnC,2v v21yy(v)2v21C,C,y22yv12CCy22C(xC)2以 yvx代入上式 得这是以 x轴为轴、焦点在原点的抛物线 它绕 x 轴旋转所得旋转曲面的方程为y2z22C(xC)2这就是所求的旋转曲面方程例 3 设河边点 O的正对岸为点 A 河宽 OAh 两岸为平行直线 水流速度为 a 有一鸭子从点 A 游向点 O 设鸭子的游速为 b(ba)且鸭子游动方向始终朝着点 O 求鸭子游过的迹线的方程例 3 设一条河的两岸为平行直
22、线 水流速度为 a 有一鸭子从岸边点 A游向正对岸点 O 设10/32鸭子的游速为 b(ba)且鸭子游动方向始终朝着点O 已知 OAh 求鸭子游过的迹线的方程解 取 O 为坐标原点 河岸朝顺水方向为 x轴 y 轴指向对岸 设在时刻 t鸭子位于点 P(x,y)则鸭子运动速度dxvxdydxv v(vx,vy)(,)dtdt 故有dyvyv va ab b(a,0)b(另一方面x,y)v v(abx,by)x2y2x2y2x2y2x2y2dxa(x)21xbyy 即dy因此dxvxa(x)21xdyvybyydxa(x)21xbyy问题归结为解齐次方程dyxu令y 即 xyu 得yduau21bd
23、yduady2by分离变量 得u 1arshub(lnylnC)a两边积分 得aa11x1ux(Cy)b(Cy)by2C将代入上式并整理 得C1h 故鸭子游过的轨迹方程为以 x|yh0 代入上式 得aay1by1bhx()()2hh 0yhuxarshub(lnylnC)y代入a将后的整理过程arshxb(lnylnC)yaxshln(Cy)ax1(Cy)a(Cy)ayy2bbbbbbbyax(Cy)(Cy)ax1(Cy)1a(Cy)1a2C2 12.412.4 线性微分方程线性微分方程一、一、线性方程线性方程线性方程11/32dyP(x)yQ(x)dx方程叫做一阶线性微分方程如果 Q(x)0
24、 则方程称为齐次线性方程 否则方程称为非齐次线性方程dydyP(x)y0P(x)yQ(x)dxdx方程叫做对应于非齐次线性方程的齐次线性方程下列方程各是什么类型方程？(1)(x2)dydy1y0ydxdxx2是齐次线性方程 (2)3x25x5y0y3x25x 是非齐次线性方程 (3)yy cos xesin x 是非齐次线性方程dy10 xy (4)dx 不是线性方程32dyx(y1)dxdy(y1)2x30dx(y1)20dyx3 不是线性方程dx (5)或齐次线性方程的解法dyP(x)y0齐次线性方程dx是变量可分离方程 分离变量后得dyP(x)dxy两边积分 得ln|y|P(x)dxC1
25、P(x)dxC1yCe(Ce)或这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）例 1 求方程(x2)dyydx的通解解 这是齐次线性方程 分离变量得dydxyx2两边积分得 ln|y|ln|x2|lnC方程的通解为yC(x2)非齐次线性方程的解法将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数 u(x)把P(x)dxyu(x)e设想成非齐次线性方程的通解 代入非齐次线性方程求得P(x)dxP(x)dxP(x)dx u(x)eu(x)eP(x)P(x)u(x)eQ(x)12/32P(x)dx u(x)Q(x)e化简得u(x)Q(x)eP(x)dxdxC于是非齐次线性方程的通解为 P(x)dxP(x)
26、dxyeQ(x)edxC或 P(x)dx P(x)dxP(x)dxyCeeQ(x)edx非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和5dy2y(x1)2例 2 求方程dxx1的通解解 这是一个非齐次线性方程dy2y0先求对应的齐次线性方程dxx1的通解分离变量得dy2dxyx1两边积分得 ln y2ln(x1)ln C齐次线性方程的通解为yC(x1)2用常数变易法 把 C换成 u 即令 yu(x1)2 代入所给非齐次线性方程 得u(x1)2u(x1)2u(x1)2(x1)2x1251u(x1)23两边积分 得u2(x1)2C3再把上式代入 yu(x1)2中 即得
27、所求方程的通解为y(x1)2(x1)2C325P(x)2Q(x)(x1)2x1解 这里32)dx2ln(x1)P(x)dx(x1因为P(x)dxee2ln(x1)(x1)2Q(x)eP(x)dxdx5(x1)2(x1)2dx132(x1)2dx(x1)2313/32所以通解为yeP(x)dxP(x)dxQ(x)edxC(x1)22(x1)2C33例 3 有一个电路如图所示 其中电源电动势为 EEmsint(Em、都是常数)电阻 R和电感L 都是常量 求电流 i(t)Ldidt 由回路电压定律得出解 由电学知道 当电流变化时 L上有感应电动势ELdiiR0dtdiRiEL即dtL把 EEmsin
28、t代入上式 得diRiEmsintLdtL初始条件为i|t00diRiEmsintL方程dtL为非齐次线性方程 其中EP(t)RQ(t)msintLL由通解公式 得 P(t)dtP(t)dti(t)eQ(t)edtCRdteL(RdtEmLsinteLdtC)RttEmReL(sinteLdtC)LRtEm2(RsintLcost)CeL2 2R L其中 C为任意常数将初始条件 i|t00 代入通解 得因此 所求函数 i(t)为tLEmREmLi(t)2e(RsintLcost)2 222 2R LR LCLEmR22L2二、伯努利方程二、伯努利方程伯努利方程 方程dyP(x)yQ(x)ynd
29、x(n0 1)叫做伯努利方程下列方程是什么类型方程？14/32dy11y(12x)y43 (1)dx3 是伯努利方程dydyyxy5yxy5 (2)dx dx 是伯努利方程yyx1yxy1yyx x (3)是伯努利方程dy2xy4xdx (4)是线性方程 不是伯努利方程伯努利方程的解法 以 yn除方程的两边 得令 z y1n 得线性方程yndyP(x)y1nQ(x)dxdz(1n)P(x)z(1n)Q(x)dxdyya(lnx)y2例 4 求方程dxx的通解解 以 y2除方程的两端 得y2dy11yalnxdxxd(y1)11yalnxdxx即令 zy1 则上述方程成为dz1zalnxdxx这
30、是一个线性方程 它的通解为zxCa(lnx)22以 y1代 z 得所求方程的通解为yxCa(lnx)212经过变量代换 某些方程可以化为变量可分离的方程 或化为已知其求解方法的方程dy1例 5 解方程dxxy解 若把所给方程变形为dxxydy即为一阶线性方程 则按一阶线性方程的解法可求得通解 但这里用变量代换来解所给方程令 xyu 则原方程化为15/32du11duu1u 即dxudx分离变量 得ududxu1两端积分得uln|u1|xln|C|以 uxy 代入上式 得yln|xy1|ln|C|或 xCeyy1 1212 5 5 全微分方程全微分方程全微分方程 一个一阶微分方程写成 P(x,y
31、)dxQ(x,y)dy0形式后 如果它的左端恰好是某一个函数uu(x,y)的全微分du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy那么方程 P(x,y)dxQ(x,y)dy0 就叫做全微分方程 这里uP(x,y)uQ(x,y)xy而方程可写为du(x,y)0全微分方程的判定 若 P(x,y)、Q(x,y)在单连通域 G内具有一阶连续偏导数 且PQyx则方程 P(x,y)dxQ(x,y)dy0 是全微分方程全微分方程的通解若方程 P(x,y)dxQ(x,y)dy0 是全微分方程 且du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy则u(x,y)C即x0 xP(x,y)dxQ(x0,y)dxC(x0,y
32、0)G)y0y是方程 P(x,y)dxQ(x,y)dy0 的通解例 1 求解(5x43xy2y3)dx(3x2y3xy2y2)dy0解 这里P6xy3y2Qxy所以这是全微分方程 取(x0,y0)(0,0)有u(x,y)(5x43xy2 y3)dxy2dy00 xyx53x2y2xy31y32316/32于是 方程的通解为x53x2y2xy31y3C23积分因子 若方程 P(x,y)dxQ(x,y)dy0 不是全微分方程 但存在一函数(x,y)(x,y)0)使方程(x,y)P(x,y)dx(x,y)Q(x,y)dy0是全微分方程 则函数(x,y)叫做方程 P(x,y)dxQ(x,y)dy0 的
33、积分因子例 2 通过观察求方程的积分因子并求其通解:(1)ydxxdy0 (2)(1xy)ydx(1xy)xdy0解(1)方程 ydxxdy0 不是全微分方程因为d(x)yydxxdyy212所以y是方程 ydxxdy0的积分因子 于是ydxxdyxC02y是全微分方程 所给方程的通解为y (2)方程(1xy)ydx(1xy)xdy0不是全微分方程将方程的各项重新合并 得 (ydxxdy)xy(ydxxdy)0再把它改写成dyd(xy)x2y2(dx)0 xy12这时容易看出(xy)为积分因子 乘以该积分因子后 方程就变为d(xy)dxdy02xy(xy)积分得通解xCexy1ln|x|lnC
34、yxy 即y我们也可用积分因子的方法来解一阶线性方程yP(x)yQ(x)1P(x)dx(x)e可以验证是一阶线性方程 yP(x)yQ(x)的一个积分因子 在一阶线性方程P(x)dx(x)e的两边乘以得P(x)dxyP(x)eP(x)dxQ(x)eP(x)dx yeP(x)dxyeP(x)dxQ(x)eP(x)dx ye即17/32亦即yeyeP(x)dxP(x)dxQ(x)e两边积分 便得通解P(x)dxQ(x)eP(x)dxdxC或 P(x)dxP(x)dxyeQ(x)edxCdy2xy4x例 3 用积分因子求dx的通解解 方程的积分因子为2xdxex(x)e2x方程两边乘以e得xxxxxy
35、e2xey4xe 即(ey)4xe222222于是exy4xexdx2exC22222因此原方程的通解为y4xexdx2Cex 1212 6 6 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程一一、y y(n n)f f(x x)型的微分方程型的微分方程解法 积分 n 次y(n1)f(x)dxC1 例 1 求微分方程 ye2xcos x 的通解解 对所给方程接连积分三次 得y(n2)f(x)dxC1dxC2y1e2xsinxC12y1e2xcosxC1xC24y1e2xsinx1C1x2C2xC382这就是所给方程的通解y1e2xsinx2C12或y1e2xcosx2C1xC24y1e2xsinxC
36、1x2C2xC38这就是所给方程的通解例 2 质量为 m 的质点受力 F 的作用沿 Ox轴作直线运动 设力 F 仅是时间 t的函数FF(t)18/32在开始时刻 t0时 F(0)F0 随着时间 t的增大 此力 F均匀地减小 直到 tT 时 F(T)0 如果开始时质点位于原点 且初速度为零 求这质点的运动规律解 设 xx(t)表示在时刻 t时质点的位置 根据牛顿第二定律 质点运动的微分方程为xF(t)md2dt由题设 力 F(t)随 t 增大而均匀地减小 且 t0 时 F(0)F0 所以 F(t)F0kt 又当 tT 时F(T)0 从而2F(t)F0(1t)T于是质点运动的微分方程又写为d2xF
37、0(1t)2mTdtdx|0t0其初始条件为x|t00dt把微分方程两边积分 得dxF0(tt2)C12Tdtm再积分一次 得F012t3x(t)C1tC2m 26Tdx|0t0由初始条件 x|t00dt得 C1C20于是所求质点的运动规律为F012t3x(t)m 26T 0tT解 设 xx(t)表示在时刻 t时质点的位置根据牛顿第二定律 质点运动的微分方程为mxF(t)由题设 F(t)是线性函数 且过点(0 F0)和(T 0)F(t)tt)1F(t)F(10T故F0T 即于是质点运动的微分方程又写为其初始条件为 x|t00 x|t00把微分方程两边积分 得2F0tx(t)C1m2TxF0(1
38、t)mT再积分一次 得F012t3x(t)C2m 26T由初始条件 x|t00 x|t00得 C1C20于是所求质点的运动规律为19/32F012t3x(t)m 26T 0tT二、y f(x y)型的微分方程解法 设 yp 则方程化为pf(x p)设 pf(x p)的通解为 p(xC1)则dy(x,C1)dx原方程的通解为12例 3 求微分方程 (1x2)y2xy满足初始条件 y|x01 y|x03的特解解 所给方程是 yf(x y)型的 设 yp 代入方程并分离变量后 有y(x,C)dxCdp2xdx2p1x两边积分 得 ln|p|ln(1x2)C即pyC1(1x2)(C1eC)由条件 y|
39、x03 得 C13所以y3(1x2)两边再积分 得 yx33xC2又由条件 y|x01 得 C21于是所求的特解为 yx33x1例 4 设有一均匀、柔软的绳索 两端固定 绳索仅受重力的作用而下垂 试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线?三、yf(y y)型的微分方程解法 设 yp有y原方程化为dpdp dydp pdxdy dxdydp f(y,p)dydpp f(y,p)设方程dy的通解为 yp(y C1)则原方程的通解为pdyxC2(y,C)1例 5 求微分 yyy20的通解y p解 设 yp 则代入方程 得dpdy20/32yp在 y0、p0 时 约去 p并分离变量 得dp2 p 0dydp
40、dypy两边积分得 ln|p|ln|y|lnc即pCy或 yCy(Cc)再分离变量并两边积分 便得原方程的通解为 ln|y|Cxlnc1或yC1eCx(C1c1)例 5 求微分 yyy20的通解解 设 yp 则原方程化为yp当 y0、p0时 有dp2 p 0dydp1p0dyyydypeC1y于是即yC1y0从而原方程的通解为1yC2eC1dxC2eC1x例 6 一个离地面很高的物体受地球引力的作用由静止开始落向地面 求它落到地面时的速度和所需的时间（不计空气阻力）1212 7 7 高阶线性微分方程高阶线性微分方程一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例例 1 设有一个弹簧 上端固定
41、下端挂一个质量为 m 的物体 取 x 轴铅直向下 并取物体的平衡位置为坐标原点给物体一个初始速度 v00 后 物体在平衡位置附近作上下振动 在振动过程中 物体的位置 x是 t的函数 xx(t)设弹簧的弹性系数为 c 则恢复力 fcx又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比 比例系数为 则Rdxdt由牛顿第二定律得2d xcxdxm2dtdt移项 并记2nk2cmmd2x2ndxk2x02dt则上式化为dt21/32这就是在有阻尼的情况下 物体自由振动的微分方程如果振动物体还受到铅直扰力FHsin pt的作用 则有d2x2ndxk2xhsin pt2dtdthHm 这就是强迫振动的微分方
42、程其中例 2 设有一个由电阻 R、自感 L、电容 C 和电源 E 串联组成的电路 其中 R、L、及 C 为常数 电源电动势是时间 t的函数 EEmsint 这里 Em及也是常数设电路中的电流为 i(t)电容器极板上的电量为q(t)两极板间的电压为 uc 自感电动势为 EL由电学知道idqqucELLdiCdtdt根据回路电压定律 得qELdiRi0dtCd2ucduLC2RCcucEmsintdtdt即或写成d2ucducEm22u sint0c2dtLCdt其中1R02LLC 这就是串联电路的振荡方程如果电容器经充电后撤去外电源(E0)则上述成为d2ucduc220uc02dtdt二阶线性微
43、分方程 二阶线性微分方程的一般形式为 yP(x)yQ(x)yf(x)若方程右端 f(x)0 时 方程称为齐次的 否则称为非齐次的二、线性微分方程的解的结构先讨论二阶齐次线性方程d2ydyP(x)Q(x)y02dxyP(x)yQ(x)y0 即dx定理 1 如果函数 y1(x)与 y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个解 那么yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解 其中 C1、C2是任意常数齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理22/32证明 C1y1C2y2C1y1C2y2 C1y1C2y2C1y1C2y2因为 y1与 y2是方程 yP(x)yQ(x)y0 所以有y1P(x)y
44、1Q(x)y10及 y2P(x)y2Q(x)y20从而 C1y1C2y2P(x)C1y1C2y2Q(x)C1y1C2y2C1y1P(x)y1Q(x)y1C2y2P(x)y2Q(x)y2000这就证明了 yC1y1(x)C2y2(x)也是方程 yP(x)yQ(x)y0 的解函数的线性相关与线性无关设 y1(x)y2(x)yn(x)为定义在区间 I上的 n个函数 如果存在 n 个不全为零的常数 k1k2 kn 使得当 xI 时有恒等式k1y1(x)k2y2(x)knyn(x)0成立 那么称这 n 个函数在区间 I上线性相关 否则称为线性无关判别两个函数线性相关性的方法对于两个函数 它们线性相关与否
45、 只要看它们的比是否为常数 如果比为常数 那么它们就线性相关 否则就线性无关例如 1 cos2x sin2x 在整个数轴上是线性相关的 函数 1 x x2在任何区间(a,b)内是线性无关的定理 2 如果如果函数 y1(x)与 y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个线性无关的解 那么yC1y1(x)C2y2(x)(C1、C2是任意常数)是方程的通解例 3 验证 y1cos x 与 y2sin x 是方程 yy0 的线性无关解 并写出其通解解 因为y1y1cos xcos x0y2y2sin xsin x0所以 y1cos x与 y2sin x都是方程的解因为对于任意两个常数k1、k2 要
46、使k1cos xk2sin x0只有 k1k20 所以 cos x 与 sin x 在(,)内是线性无关的因此 y1cos x 与 y2sin x是方程 yy0的线性无关解方程的通解为 yC1cos xC2sin x例 4 验证 y1x与 y2ex是方程(x1)yxyy0的线性无关解 并写出其通解解 因为 (x1)y1xy1y10 xx0 (x1)y2xy2y2(x1)exxexex0所以 y1x 与 y2ex都是方程的解因为比值 ex/x 不恒为常数 所以 y1x与 y2ex在(,)内是线性无关的因此 y1x 与 y2ex是方程(x1)yxyy0 的线性无关解方程的通解为 yC1xC2ex推
47、论 如果 y1(x)y2(x)yn(x)是方程23/32y(n)a1(x)y(n1)an1(x)y an(x)y0的 n个线性无关的解 那么 此方程的通解为yC1y1(x)C2y2(x)Cnyn(x)其中 C1 C2 Cn为任意常数二阶非齐次线性方程解的结构我们把方程yP(x)yQ(x)y0叫做与非齐次方程yP(x)yQ(x)yf(x)对应的齐次方程定理 3 设 y*(x)是二阶非齐次线性方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解 Y(x)是对应的齐次方程的通解 那么yY(x)y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解证明提示 Y(x)y*(x)P(x)Y(x)y*(x)Q(x)Y(x)y*(
48、x)Y P(x)Y Q(x)Y y*P(x)y*Q(x)y*0 f(x)f(x)例如 YC1cos xC2sin x 是齐次方程 yy0的通解 y*x22 是 yyx2的一个特解 因此yC1cos xC2sin xx22是方程 yyx2的通解定理 4 设非齐次线性微分方程yP(x)yQ(x)yf(x)的右端 f(x)几个函数之和 如yP(x)yQ(x)yf1(x)f2(x)而 y1*(x)与 y2*(x)分别是方程yP(x)yQ(x)yf1(x)与 yP(x)yQ(x)yf2(x)的特解 那么 y1*(x)y2*(x)就是原方程的特解证明提示 y1y2*P(x)y1*y2*Q(x)y1*y2*
49、y1*P(x)y1*Q(x)y1*y2*P(x)y2*Q(x)y2*f1(x)f2(x)1212 9 9 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程 方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中 p、q 均为常数如果 y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么 yC1y1C2y2就是它的通解我们看看 能否适当选取 r 使 yerx满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将 yerx代入方程ypyqy024/32得 (r2prq)erx0由此可见 只要 r 满足代数方程 r2prq0 函数 yerx就是微分方程的解特征方程 方程 r2pr
50、q0 叫做微分方程 ypyqy0 的特征方程 特征方程的两个根 r1、r2可用公式 p p24qr1,22求出特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根 r1、r2时 函数y1e关的解这是因为r1x、y2er2x是方程的两个线性无y1er1x(r1r2)xr xer1xr2x2yy ey e函数1、2是方程的解 又2e不是常数因此方程的通解为yC1er1xC2er2xr1x (2)特征方程有两个相等的实根 r1r2时 函数y1e微分方程的两个线性无关的解这是因为y1er1x、y2xer1x是二阶常系数齐次线性是方程的解 又r1xr1xr1xr1xr1x2r1x1xr1)e p(