导数中的切线与零点问题.pdf

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1、切线、零点问题切线、零点问题一、导数与切线一、导数与切线要点概括要点概括函数函数 y=f(x)y=f(x)在一点在一点 x=xx=x0 0处的导数处的导数 f(xf(x0 0)的几何意义就是曲线的几何意义就是曲线 y=f(x)y=f(x)在点在点(x(x0 0,f(x,f(x0 0)处处的切线的斜率。的切线的斜率。对于求曲线上某切点的切线方程可直接利用导数的几何意义求切线斜率，再利用点斜式求对于求曲线上某切点的切线方程可直接利用导数的几何意义求切线斜率，再利用点斜式求解解.求过曲线外一点的切线方程可利用设切点坐标构造切线方程再联立曲线方程求切点坐标，求过曲线外一点的切线方程可利用设切点坐标构造

2、切线方程再联立曲线方程求切点坐标，再求切线方程再求切线方程.真题赏析真题赏析【20122012 广东】广东】曲线曲线 y=xy=x3 3-x+3-x+3 在点（在点（1 1，3 3）处的切线方程为）处的切线方程为【20102010 辽宁】辽宁】已知点已知点 P P 在曲线在曲线 y=y=范围是范围是(A)0,(A)0,4上，上，a a为曲线在点为曲线在点 P P 处的切线的倾斜角，则处的切线的倾斜角，则a a的取值的取值xe 1 33)(B)(B),)(,(D)(D),)4 22444【20092009 安徽卷】安徽卷】已知函数已知函数f(x)在在 R R 上满足上满足f(x)2 f(2 x)

3、x28x8，则曲线则曲线y f(x)在点在点(1,f(1)处的切线方程是处的切线方程是（A A）y 2x1（B B）y x（C C）y 3x2（D D）y 2x315x9都相切，则都相切，则a等于等于477252125A A1或或-B B1或或 C C或或-D D或或744644641【20082008 海南】海南】设函数设函数f(x)ax(a，bZ Z)，曲线，曲线y f(x)在点在点(2，f(2)处的切线方程处的切线方程xb【20092009 江西】江西】若存在过点若存在过点(1,0)的直线与曲线的直线与曲线y x3和和y ax2为为y y=3=3（）求（）求f(x)的解析式：的解析式：（

4、）证明：函数（）证明：函数y f(x)的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（）（）证明：证明：曲线曲线y f(x)上任一点的切线与直线上任一点的切线与直线x x=1=1 和直线和直线y y=x x所围三角形的面积为定值，所围三角形的面积为定值，并求出此定值并求出此定值【20102010 福建】福建】已知函数已知函数 f(x)=xf(x)=x3 3-x,-x,其图像记为曲线其图像记为曲线 C.C.（1 1）求函数）求函数 f(x)f(x)的单调区间；的单调区间；（2 2）证明：若对于任意非零实数）证明：若对于任意非零实数 x x1 1,曲线曲线 C

5、 C 与其在点与其在点 P P1 1（x x1 1,f(x,f(x1 1)）处的切线交于另一点处的切线交于另一点P P2 2（x x2 2,f(x,f(x2 2)），曲线，曲线 C C 与其在点与其在点 P P2 2处的切线交于另一点处的切线交于另一点 P P3 3（x x3 3,f(x,f(x3 3)），线段，线段 P P1 1 P P2,2,P P2 2 P P3 3与曲与曲线线 C C 所围成封闭图形的面积分别记为所围成封闭图形的面积分别记为 S S1 1，S S2 2，则，则S1为定值；为定值；S2【20082008 山东】山东】设抛物线方程为设抛物线方程为x2 2py(p 0)，M为

6、直线为直线y 2p上任意一点，过上任意一点，过M引抛物引抛物线的切线，切点分别为线的切线，切点分别为A，B（）求证：（）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；三点的横坐标成等差数列；（）已知当（）已知当M点的坐标为点的坐标为(2，2p)时，时，AB 4 10求此时抛物线的方程；求此时抛物线的方程；（）是否存在点（）是否存在点M，使得点，使得点C关于直线关于直线AB的对称点的对称点D在抛物线在抛物线x2 2py(p 0)上，其中，上，其中，点点C满足满足OC OAOB（O为坐标原点）为坐标原点）若存在，求出所有适合题意的点若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不的坐标；若不存在，请说明理由存

7、在，请说明理由高考动向高考动向多以小题形式或大题的第一问形式出现，近几年个别省份以切线与面积问题或切线与圆多以小题形式或大题的第一问形式出现，近几年个别省份以切线与面积问题或切线与圆锥曲线问题结合作为压轴题出现，而广东在近几年高考中则尚无先例。锥曲线问题结合作为压轴题出现，而广东在近几年高考中则尚无先例。二、导数与零点二、导数与零点要点概括要点概括利用导数法研究函数的零点，利用导数法研究函数的零点，方程的根的问题，方程的根的问题，即通过导数研究函数的单调性，即通过导数研究函数的单调性，最大值，最大值，最小值，变化趋势等，并借助函数的大致图像判断函数零点方程根的情况。这是导数这一工最小值，变化趋

8、势等，并借助函数的大致图像判断函数零点方程根的情况。这是导数这一工具在研究方程中的重要应用，将方程，不等式等有关知识和导数结合的综合性问题主要考查具在研究方程中的重要应用，将方程，不等式等有关知识和导数结合的综合性问题主要考查综合运用有关知识分析问题，解决问题的能力。通过数形结合的思想去分析问题，可以使得综合运用有关知识分析问题，解决问题的能力。通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰，直观的整体展现。问题的求解有一个清晰，直观的整体展现。二次函数零点问题二次函数零点问题【20092009 广东】广东】已知二次函数已知二次函数y g(x)的导函数的图像与直线的导函数的图像与直

9、线y 2x平行，平行，且且y g(x)在在x 1处取得极小值处取得极小值m1(m 0)设设f(x)g(x)x（1 1）若曲线）若曲线y f(x)上的点上的点P到点到点Q(0,2)的距离的最小值为的距离的最小值为2，求，求m的值；的值；（2 2）k(k R)如何取值时，函数如何取值时，函数y f(x)kx存在零点，并求出零点存在零点，并求出零点【20072007 海南宁夏】海南宁夏】设函数设函数f(x)ln(xa)x2（I I）若当）若当x 1时，时，f(x)取得极值，求取得极值，求a的值，并讨论的值，并讨论f(x)的单调性；的单调性；（IIII）若）若f(x)存在极值，求存在极值，求a的取值范

10、围，并证明所有极值之和大于的取值范围，并证明所有极值之和大于ln【20102010 全国全国 2 2】已知函数已知函数f(x)x33ax23x1.(I)(I)设设a 2,求求f(x)的单调区间；的单调区间；(II)(II)设设f(x)在区间在区间(2,3)(2,3)上有一个极值点上有一个极值点,求求a的取值范围的取值范围.e2【20112011 广州一模】广州一模】已知函数已知函数fx ax2bxca 0满足满足f00,对于任意对于任意xR R 都有都有11fx x,且且f x f x,令令gx fxx10.22(1)(1)求函数求函数fx的表达式；的表达式；(2)(2)求函数求函数gx的单调

11、区间；的单调区间；(3)(3)研究函数研究函数gx在区间在区间0,1上的零点个数上的零点个数.直接利用导数研究零点直接利用导数研究零点3【20112011 湖南】湖南】已知函数已知函数fx x,gx xx.求函数求函数hx fxgx的零点个数，并说明理由；的零点个数，并说明理由；设数列设数列annN*满足满足a1 aa 0,fan1 gan,证明：存在常数证明：存在常数M,使得对于任意的使得对于任意的nN*,都有都有an M.【20052005 全国全国 2 2】设设a a为实数，函数为实数，函数f(x)x3 x2 x a。（）求（）求f(x)的极值；的极值；（）当（）当a a在什么范围内取值

12、时，曲线在什么范围内取值时，曲线y f(x)与x轴仅有一个交点。轴仅有一个交点。【20102010广州一模】广州一模】已知已知aR R，函数，函数f(x)对数的底数）对数的底数）（1 1）求函数）求函数f(x)在区间在区间0,e上的最小值；上的最小值；（2 2）是否存在实数）是否存在实数x00,e，使曲线，使曲线y g(x)在点在点x x0处的切线与处的切线与y轴垂直轴垂直?若存在，求若存在，求出出x0的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由【未知年份省份】【未知年份省份】已知函数已知函数f(x)2a2ln x x2(常数常数a 0).(1)(1)求证：无论求证：无论a为何正数，函

13、数为何正数，函数f(x)的图象恒过点的图象恒过点A(1,1)；aln x1，g(x)lnx1ex x（其中（其中e为自然为自然x(2)(2)当当a1时，求曲线时，求曲线yf(x)在在x1处的切线方程；处的切线方程；(3)(3)讨论函数讨论函数f(x)在区间在区间(1,e2)上零点的个数（上零点的个数（e为自然对数的底数）为自然对数的底数）利用导数研究两个函数的交点利用导数研究两个函数的交点【20082008 江西文】江西文】已知函数已知函数f(x)1413xaxa2x2a4(a0)43（1 1）求函数）求函数yf(x)的单调区间；的单调区间；（2 2）若函数）若函数yf(x)的图像与直线的图像

14、与直线y1恰有两个交点，求恰有两个交点，求a的取值范围的取值范围【20082008 四川】四川】2222已知已知x3是函数是函数f(x)aln(1 x)x210 x的一个极值点的一个极值点（）求（）求a的值；的值；（）求函数（）求函数f(x)的单调区间；的单调区间；（）当直线（）当直线 yb与函数与函数yf(x)的图像有的图像有 3 3 个交点，求个交点，求b的取值范围的取值范围【20102010 汕头一模】汕头一模】定义在定义在(0,)上的三个函数上的三个函数f(x)f(x)、g(x)g(x)、h(x)h(x)，已知，已知f(x)=f(x)=lnx，g(x)x2af(x),h(x)xax，且

15、，且g(x)在在x1处取得极值处取得极值(1)(1)求求a的值及的值及h(x)的单调区间；的单调区间；（2 2）求证：当）求证：当1xe2时，恒有x2f(x)；2f(x)(3)(3)把把h(x)对应的曲线对应的曲线C1向上平移向上平移 6 6 个单位后得到曲线个单位后得到曲线C2，求，求C2与与g(x)对应曲线对应曲线C3的交点的交点的个数，并说明道理的个数，并说明道理【山东枣庄一模】【山东枣庄一模】已知函数已知函数f(x)ax(aR),g(x)lnx1.（1 1）若函数）若函数h(x)g(x)1xf(x)2x存在单调递减区间，求存在单调递减区间，求 a a 的取值范围；的取值范围；2（2 2

16、）当）当 a0a0 时，试讨论这两个函数图象的交点个数时，试讨论这两个函数图象的交点个数其他与零点相关的问题其他与零点相关的问题【20122012 江苏】江苏】若函数若函数yf(x)在在xx0处取得极大值或极小值，则称处取得极大值或极小值，则称x0为函数为函数yf(x)的极的极值点。已知值点。已知a，b是实数，是实数，1 1 和和1是函数是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点的两个极值点（1 1）求）求a和和b的值；的值；（2 2）设函数）设函数g(x)的导函数的导函数g(x)f(x)2，求，求g(x)的极值点；的极值点；（3 3）设）设h(x)f(f(x)c，其中，其中c 2，2，求函数，

17、求函数yh(x)的零点个数的零点个数1【20092009 天津文】天津文】设函数设函数fx x3 x2m21xxR，其中，其中m 03（1 1）当）当m 1时，求曲线时，求曲线y fx在点在点1,f1处的切线的斜率处的切线的斜率（2 2）求函数）求函数fx的单调区间与极值的单调区间与极值（3 3）已已 知知 函函 数数fx有有 三三 个个 互互 不不 相相 同同 的的 零零 点点0,x1,x2，且且x1 x2，若若 对对 任任 意意 的的xx1,x2,fx f1恒成立，求恒成立，求m的取值范围的取值范围【20112011 辽宁】辽宁】已知函数已知函数f(x)ln x ax2(2 a)x（I I

18、）讨论）讨论f(x)的单调性；的单调性；（IIII）设）设a 0，证明：当，证明：当0 x 111时，时，f(x)f(x)；aaa（IIIIII）若函数）若函数y f(x)的图像与的图像与x x轴交于轴交于A A，B B两点，线段两点，线段ABAB中点的横坐标为中点的横坐标为x x0 0，证明：，证明：f（x x0 0）0 0【20112011 湖北文】湖北文】20.20.（本小题满分（本小题满分 1313 分）分）322设函数设函数f，gx，其中其中xR，a a、b b 为常数，为常数，已知曲线已知曲线y f(x)()x x 2ax bxa()x 3x2与与y g(x)在点（在点（2,02,

19、0）处有相同的切线）处有相同的切线 l l。(I)(I)求求 a a、b b 的值，并写出切线的值，并写出切线 l l 的方程；的方程；(II)(II)若方程若方程f()有三个互不相同的实根有三个互不相同的实根0 0、x、x，其中，其中x1 x2，且对任意的，且对任意的x g()x mxxx恒成立，求实数恒成立，求实数 m m 的取值范围。的取值范围。()g()x m(x1)1,x2，fx高考动向高考动向函数零点的问题是高考热点与难点，函数零点的问题是高考热点与难点，20092009 年及年及 20122012 年广东卷（理科）均有涉及零点问年广东卷（理科）均有涉及零点问题，其中题，其中 20

20、122012 年以研究极值点的形式出现归根到底也是零点的问题。从高考真题分析可见，年以研究极值点的形式出现归根到底也是零点的问题。从高考真题分析可见，函数零点的问题多以二次函数零点结合分类讨论思想的形式出现。函数零点的问题多以二次函数零点结合分类讨论思想的形式出现。切线、零点问题切线、零点问题【20122012 广东】广东】曲线曲线 y=xy=x3 3-x+3-x+3 在点（在点（1 1，3 3）处的切线方程为）处的切线方程为【20102010 辽宁】辽宁】已知点已知点 P P 在曲线在曲线 y=y=范围是范围是(A)0,(A)0,【答案】【答案】D D4ex43 1【解析】因为【解析】因为y

21、 x，即，即 tantana a-1,-1,所以所以2xx(e 1)e 2e44上，上，a a为曲线在点为曲线在点 P P 处的切线的倾斜角，则处的切线的倾斜角，则a a的取值的取值ex1 33)(B)(B),)(,(D)(D),)4 22444【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法yln2ln2），代入直线方程，得，所以，代入直线方程，得，所以 b bln2ln21 1111，令，令得得x 2，故切点（，故切点（2 2，xx2【20092009 安徽卷】安徽卷】已知函数已知函数f(x)在在 R R 上满足上满足f(x)2 f(2 x)x28x

22、8，则曲线则曲线y f(x)在点在点(1,f(1)处的切线方程是处的切线方程是（A A）y 2x1（B B）y x（C C）y 3x2（D D）y 2x3【解析】由【解析】由f(x)2 f(2 x)x28x8得得f(2 x)2 f(x)(2 x)28(2 x)8，即即2 f(x)f(2 x)x24x4，f(x)x2f/(x)2x，切线方程为，切线方程为y1 2(x1)，即，即2x y1 0选选 A A15x9都相切，则都相切，则a等于等于477252125A A1或或-B B1或或 C C或或-D D或或74464464【20092009 江西】江西】若存在过点若存在过点(1,0)的直线与曲线

23、的直线与曲线y x3和和y ax2答案：答案：A A【解析】设过【解析】设过(1,0)的直线与的直线与y x3相切于点相切于点(x0,x03)，所以切线方程为，所以切线方程为y x03 3x02(x x0)3即即y 3x02x2x03，又，又(1,0)在切线上，则在切线上，则x0 0或或x0，21525当当x0 0时，由时，由y 0与与y ax2x9相切可得相切可得a ，4643272715当当x0 时，由时，由y x与与y ax2x9相切可得相切可得a 1，所以选，所以选A.24441【20082008 海南】海南】设函数设函数f(x)ax(a，bZ Z)，曲线，曲线y f(x)在点在点(2

24、，f(2)处的切线方程处的切线方程xb为为y y=3=3（）求（）求f(x)的解析式：的解析式：（）证明：函数（）证明：函数y f(x)的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（）（）证明：证明：曲线曲线y f(x)上任一点的切线与直线上任一点的切线与直线x x=1=1 和直线和直线y y=x x所围三角形的面积为定值，所围三角形的面积为定值，并求出此定值并求出此定值解：解：（）（）f(x)a1，(xb)2192a1，a，a 1，2b4于是于是解得解得或或18b 1，b .a 0，23(2b)1x11（）证明：已知函数（）证明：已知函数y1 x，y2

25、都是奇函数都是奇函数x1所所以以函函数数g(x)x也也是是奇奇函函数数，其其图图像像是是以以原原点点为为中中心心的的中中心心对对称称图图形形而而x1f(x)x11可知，函数可知，函数g(x)的图像按向量的图像按向量a a (11)，平移，即得到函数平移，即得到函数f(x)的图的图x1因因a，bZ Z，故，故f(x)x像，故函数像，故函数f(x)的图像是以点的图像是以点(11)，为中心的中心对称图形为中心的中心对称图形1（）证明：在曲线上任取一点（）证明：在曲线上任取一点x0，x0 x01由由f(x0)11知，过此点的切线方程为知，过此点的切线方程为2(x01)2x0 x011y1(x x0)2

26、x01(x01)x01x01令令x 1得得y，切线与直线，切线与直线x 1交点为交点为1，x01x 102x01)令令y x得得y 2x01，切线与直线，切线与直线y x交点为交点为(2x01，直线直线x 1与直线与直线y x的交点为的交点为(11)从而所围三角形的面积为从而所围三角形的面积为1 x01121 2x011 2x02 22 x012 x01所以，所围三角形的面积为定值所以，所围三角形的面积为定值2【20102010 福建】福建】已知函数已知函数 f(x)=xf(x)=x3 3-x,-x,其图像记为曲线其图像记为曲线 C.C.（1 1）求函数）求函数 f(x)f(x)的单调区间；的

27、单调区间；（2 2）证明：若对于任意非零实数）证明：若对于任意非零实数 x x1 1,曲线曲线 C C 与其在点与其在点 P P1 1（x x1 1,f(x,f(x1 1)）处的切线交于另一点处的切线交于另一点P P2 2（x x2 2,f(x,f(x2 2)），曲线，曲线 C C 与其在点与其在点 P P2 2处的切线交于另一点处的切线交于另一点 P P3 3（x x3 3,f(x,f(x3 3)），线段，线段 P P1 1 P P2,2,P P2 2 P P3 3与曲与曲线线 C C 所围成封闭图形的面积分别记为所围成封闭图形的面积分别记为 S S1 1，S S2 2，则，则S1为定值；为

28、定值；S2（3 3）对于一般的三次函数对于一般的三次函数 g(x)=axg(x)=ax3 3+bx+bx2 2+cx+d(a+cx+d(a0),0),请给出类似于请给出类似于（）（）（iiii）的正确命题，的正确命题，并予以证明。并予以证明。解法一：解法一：（）（）（i i）有）有 f(x)=xf(x)=x3 3-x-x 得得 f f(x)=3x(x)=3x2 2-1=3(x-1=3(x-33)和和(，)时，时，f f(x)0;(x)0;3333)(x+)(x+).).33当当 x x(,当当 x x(33，)时，时，f f(x)0(x)0a0 时，试讨论这两个函数图象的交点个数时，试讨论这两

29、个函数图象的交点个数2121（1 1）h(x)ln x a21x 2x(x 0),h(x)ax 2.2x1若使若使h(x)存在单调递减区间，则存在单调递减区间，则h(x)ax 2 0在(0,)上有解上有解1 1 分分x1112而当而当x 0时,ax 2 0 ax 2 a 2xxxx1212问题转化为问题转化为a 2在(0,)上有解，故上有解，故 a a 大于函数大于函数2在(0,)上的最小值上的最小值xxxx又又3 3 分分121122(1)1,在(0,)上的最小值为上的最小值为-1-1，所以，所以 a1a14 4 分分22xxxxx（2 2）令）令F(x)f(x)g(x)ax ln x 1(

30、a 0).函数函数f(x)ax与g(x)ln x 1的交点个数即为函数的交点个数即为函数F(x)的零点的个数的零点的个数5 5 分分1F(x)a(x 0).x11令令F(x)a 0,解得解得x.xa随着随着 x x 的变化，的变化，F(x),F(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：x1(0,)a1a1(,)aF(x)F(x)-单调递减单调递减0 0极（最）小值极（最）小值2+lna2+lna+单调递增单调递增7 7 分分1当当F()2 lna 0,即a e2时,F(x)恒大于恒大于 0 0，函数，函数F(x)无零点无零点8 8 分分a1当当F()2 lna 0,即a e2时,由上表，函数由

31、上表，函数F(x)有且仅有一个零点有且仅有一个零点a9 9 分分11F()2 lna 0,即0 a e2时,显然显然1aa11F(1)a 1 0,所以F(1)F()0.又F(x)在(0,)内单调递减，内单调递减，aa1所以所以F(x)在(0,)内有且仅有一个零点内有且仅有一个零点1010 分分a1(ea)x1.当当x 时,F(x)lnax由指数函数由指数函数y (ea)x(ea1)与幂函数与幂函数y x增长速度的快慢，知存在增长速度的快慢，知存在x01,a(ea)x0使得使得1.x0(ea)x0从而从而F(x0)ln1 ln111 0.x01因而因而F()F(x0)0.a11又又F(x)在(,

32、)内单调递增，内单调递增，F(x)在,上的图象是连续不断的曲线，上的图象是连续不断的曲线，aa1所以所以F(x)在(,)内有且仅有一个零点内有且仅有一个零点a1111 分分因此，因此，0 a e2时,F(x)有且仅有两个零点有且仅有两个零点综上，综上，a e2时,f(x)与g(x)的图象无交点；当的图象无交点；当a e2时,f(x)与g(x)的图象有且仅有一个的图象有且仅有一个交点；交点；0 a e2时,f(x)与g(x)的图像有且仅有两个交点的图像有且仅有两个交点1212 分分【20122012 江苏】江苏】若函数若函数y f(x)在在x x0处取得极大值或极小值，则称处取得极大值或极小值，

33、则称x0为函数为函数y f(x)的极的极值点。值点。已知已知a，b是实数，是实数，1 1 和和1是函数是函数f(x)x3 ax2bx的两个极值点的两个极值点（1 1）求）求a和和b的值；的值；（2 2）设函数）设函数g(x)的导函数的导函数g(x)f(x)2，求，求g(x)的极值点；的极值点；（3 3）设）设h(x)f(f(x)c，其中，其中c2，2，求函数，求函数y h(x)的零点个数的零点个数【答案】解：【答案】解：（1 1）由）由f(x)x3 ax2bx，得，得f(x)3x22axb。11 和和1是函数是函数f(x)x3 ax2bx的两个极值点，的两个极值点，f(1)3 2a b=0，f

34、(1)32a b=0，解得，解得a=0，b=3。（3 3）令）令f(x)=t，则，则h(x)f(t)c。先讨论关于先讨论关于x的方程的方程f(x)=d根的情况：根的情况：d 2,2当当d=2时，由（时，由（2 2）可知，）可知，f(x)=2的两个不同的根为的两个不同的根为 I I 和一和一 2 2，注意到，注意到f(x)是奇函数，是奇函数，f(x)=2的两个不同的根为一和的两个不同的根为一和 2 2。当当d 0，f(1)d=f(2)d=2d 0，当 当x2，于是于是f(x)是单调增函数，是单调增函数，从而从而f(x)f(2)=2。无实根。无实根。此时此时f(x)=d在在2，2时时f(x)0，于

35、是，于是f(x)是单调增函数。是单调增函数。当 当x1，又又f(1)d 0，y=f(x)d的图象不间断，的图象不间断，f(x)=d在（在（1,21,2）内有唯一实根。）内有唯一实根。同理，同理，f(x)=d在（一在（一 2 2，一，一 I I）内有唯一实根。）内有唯一实根。，1时，时，f(x)0，f(1)d 0，y=f(x)d的图象不间断，的图象不间断，f(x)=d在（一在（一 1 1，1 1）内有唯一实根。）内有唯一实根。x2=2；当；当d 2时时因此，当因此，当d=2时，时，f(x)=d有两个不同的根有两个不同的根x1，x2满足满足x1=1，i=3,4,5。f(x)=d有三个不同的根有三个

36、不同的根x3，x1，x5，满足，满足xi2，现考虑函数现考虑函数y h(x)的零点：的零点：【20092009 天津文】天津文】21.21.（本小题满分（本小题满分 1414 分）分）1设函数设函数fx x3 x2m21xxR，其中，其中m 03（1 1）当）当m 1时，求曲线时，求曲线y fx在点在点1,f1处的切线的斜率处的切线的斜率（2 2）求函数）求函数fx的单调区间与极值的单调区间与极值（3 3）已已 知知 函函 数数fx有有 三三 个个 互互 不不 相相 同同 的的 零零 点点0,x1,x2，且且x1 x2，若若 对对 任任 意意 的的xx1,x2,fx f1恒成立，求恒成立，求m

37、的取值范围的取值范围21.21.【答案】【答案】（1 1）1 1（2 2）f(x)在在(,1 m)和和(1 m,)内减函数，在内减函数，在(1 m,1 m)内增函数。内增函数。231m m23函数函数f(x)在在x 1 m处取得极大值处取得极大值f(1 m)，且，且f(1 m)=321m3 m23函数函数f(x)在在x 1m处取得极小值处取得极小值f(1 m)，且，且f(1 m)=3m 1时，f(x)13x x2,f/(x)x2 2x,故f(1)13【解析】解：当【解析】解：当1）所以曲线所以曲线y f(x)在点（1，f（处的切线斜率为处的切线斜率为 1.1.22f(x)x 2x m 1f（2

38、 2）解：）解：，令，令(x)0，得到，得到x 1 m,x 1 m因为因为m 0,所以1 m 1 mf(x),f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：当当 x x 变化时，变化时，x(,1 m)1 m(1 m,1 m)1 m(1 m,)f(x)+0 0极小值极小值-0 0极大值极大值+f(x)f(x)在在(,1 m)和和(1 m,)内减函数，在内减函数，在(1 m,1 m)内增函数。内增函数。231m m23函数函数f(x)在在x 1 m处取得极大值处取得极大值f(1 m)，且，且f(1 m)=321m3 m23函数函数f(x)在在x 1m处取得极小值处取得极小值f(1 m)，且，且f(1

39、 m)=311f(x)x(x2 x m21)x(x x1)(x x2)33（3 3）解：由题设，）解：由题设，14x2 xm21 1(m21)03所以方程所以方程3=0=0 由两个相异的实根由两个相异的实根x1,x2，故故x1 x2 3，且且，11m (舍)，m 22解得解得x1 x2,所以2x2 x1 x2 3,故x2312因为因为1x11 x2,则f(1)(1 x1)(1 x2)03若若，而，而f(x1)0，不合题意，不合题意若若1 x1 x2,则对任意的则对任意的xx1,x2有有x x1 0,x x2 0,1f(x)x(x x1)(x x2)03则则又又f(x1)0，所以函数，所以函数f

40、(x)在在xx1,x2的最小值为的最小值为 0 0，于，于是是 对对 任任 意意 的的xx1,x2，f(x)f(1)恒恒 成成 立立 的的 充充 要要 条条 件件 是是33 m 33f(1)m21 03,解解 得得13(,)综上，综上，m m 的取值范围是的取值范围是23【20112011 辽宁】辽宁】已知函数已知函数f(x)ln x ax2(2 a)x（I I）讨论）讨论f(x)的单调性；的单调性；（IIII）设）设a 0，证明：当，证明：当0 x 111时，时，f(x)f(x)；aaa（IIIIII）若函数）若函数y f(x)的图像与的图像与x x轴交于轴交于A A，B B两点，线段两点，

41、线段ABAB中点的横坐标为中点的横坐标为x x0 0，证明：，证明：f（x x0 0）0 0解：解：（I I）f(x)的定义域为(0,),f(x)1x2ax(2 a)(2x 1)(ax 1)x.（i i）若）若a 0,则f(x)0,所以f(x)在(0,)单调增加单调增加.（iiii）若）若a 0,则由f(x)0得x 1a,且当且当x(0,1a)时,f(x)0,当x 1a时,f(x)0.所以所以f(x)在(0,11a)单调增加，在单调增加，在(a,)单调减少单调减少.4 4 分分（IIII）设函数）设函数g(x)f(11a x)f(a x),则则g(x)ln(1 ax)ln(1 ax)2ax,g

42、(x)aa2a3x21 ax1 ax 2a 1 a2x2.当当0 x 1a时,g(x)0,而g(0)0,所以g(x)0.故当故当0 x 1a时，f(1a x)f(1a x).8 8 分分（IIIIII）由（）由（I I）可得，当）可得，当a 0时,函数y f(x)的图像与的图像与 x x 轴至多有一个交点，轴至多有一个交点，故故a 0，从而，从而f(x)的最大值为的最大值为f(1a),且f(1a)0.不妨设不妨设A(x(xx11,0),B2,0),0 x1 x2,则0 1a x2.由（由（IIII）得）得f(2a x111)f(aa x1)f(x1)0.从而从而x2a x,于是xx1 x212

43、102a.由（由（I I）知，）知，f(x0)0.1212 分分【20112011 湖北文】湖北文】20.20.（本小题满分（本小题满分 1313 分）分）322设函数设函数f，gx，其中其中xR，a a、b b 为常数，为常数，已知曲线已知曲线y f(x)()x x 2ax bxa()x 3x2与与y g(x)在点（在点（2,02,0）处有相同的切线）处有相同的切线 l l。(I)(I)求求 a a、b b 的值，并写出切线的值，并写出切线 l l 的方程；的方程；(II)(II)若方程若方程f()有三个互不相同的实根有三个互不相同的实根0 0、x、x，其中，其中x1 x2，且对任意的，且对

44、任意的x g()x mxxx恒成立，求实数恒成立，求实数 m m 的取值范围。的取值范围。()g()x m(x1)1,x2，fx解：解：（）（）f(x)3x2 4ax b,g(x)2x 3.由于曲线由于曲线y f(x)与y g(x)在点（在点（2 2，0 0）处有相同的切线，）处有相同的切线，故有故有f(2)g(2)0,f(2)g(2)1.88a 2b a 0,a 2,由此得由此得解得128a b 1,b 5.所以所以a 2,b 5，切线，切线l的方程为的方程为x y 2 0（）由（）得（）由（）得f(x)x3 4x25x 2，所以，所以f(x)g(x)x33x2 2x.依题意，方程依题意，方

45、程x(x23x 2 m)0有三个互不相同的实数有三个互不相同的实数0,x1,x2，故故x1,x2是方程是方程x23x 2 m 0的两相异的实根。的两相异的实根。1所以所以 9 4(2 m)0,即m .4又对任意的又对任意的xx1,x2,f(x)g(x)m(x 1)成立，成立，特别地，取特别地，取x x1时，时，f(x1)g(x1)mx1 m成立，得成立，得m 0.由韦达定理，可得由韦达定理，可得x1 x2 3 0,x1x2 2 m 0,故0 x1 x2.对任意的对任意的xx1,x2,有x-x2 0,x x1 0,x 0则则f(x)g(x)mx x(x x1)(x x2)0,又f(x1)g(x1)mx1 0所以函数所以函数f(x)g(x)mx在xx1,x2的最大值为的最大值为 0 0。于是当于是当m 0时，对任意的时，对任意的xx1,x2,f(x)g(x)m(x 1)恒成立，恒成立，1综上，综上，m的取值范围是的取值范围是(,0).4