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1、第第4讲讲导导数与函数的切数与函数的切线线及函数零点及函数零点问问题题高高考考定定位位在高考试题的导数压轴题中，以含指数、对数的函数为截体，考查函数零点问题、与方程的根相关的问题及函数图象的交点问题是高考命题的一个热点.真真 题题 感感 悟悟(2016全国卷)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.考考 点点 整整 合合1.求曲线yf(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求yf(x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f(x0)，由点斜式写出方程.(2)已知切线的斜率为k，求yf(x)的切线方程：设
2、切点P(x0，y0)，通过方程kf(x0)解得x0，再由点斜式写出方程.(3)已知切线上一点(非切点)，求yf(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程.2.三次函数的零点分布三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x时，函数值也趋向，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1x2的函数f(x)ax3bx2cxd(a0)的零点分布情况如下：a的符号零点个数充要条件a0(f(x1)为极大值，f(x2)为极小值)一个f(x1)0两个f(x1)0或者f(x2)
3、0三个f(x1)0且f(x2)0a0(f(x1)为极小值，f(x2)为极大值)一个f(x2)0两个f(x1)0或者f(x2)0三个f(x1)0且f(x2)03.(1)求函数零点个数(即方程根)的方法研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路，因此使用的知识还是函数的单调性和极值的知识.(2)研究两条曲线的交点个数的基本方法数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图象交点个数得出答案.函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的个数得出两曲线交点的个数.热点一函数图象的切线问题【例1】(1)(2015全国卷)已知函数f(
4、x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2，7)，则a_.(2)(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1，2)处的切线方程是_.解析(1)f(x)3ax21，f(1)13a，f(1)a2.(1，f(1)处的切线方程为y(a2)(13a)(x1).将(2，7)代入切线方程，得7(a2)13a，解得a1.(2)设x0，则x0，f(x)ex1x，因为f(x)为偶函数，所以f(x)ex1x，f(x)ex11，f(1)2，所以切线方程为y22(x1)，即y2x.答案(1)1(2)y2x探究提高利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标
5、、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.【训练1】已知函数f(x)x3x.(1)设M(0，f(0)是函数f(x)图象上的一点，求图象在点M处的切线方程；(2)证明：过点N(2，1)可以作曲线f(x)x3x的三条切线.(2)证明由(1)知曲线f(x)x3x在点(，f()处的切线的方程为y(321)x23.若切线过点N(2，1)，则12(321)23，即236230.过点N可作曲线f(x)的三条切线等价于方程236230有三个不同的解.设g()23623，则g()62126(2).当变化时，g()，
6、g()的变化情况如下表：因为g()在R上只有一个极大值3和一个极小值5，所以过点N可以作曲线f(x)x3x的三条切线.热点二利用导数解决与函数零点(或方程的根)有关的问题微题型1讨论函数零点的个数探究提高研究方程的根(或函数零点)的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根(函数零点)的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用.微题型2根据函数零点求参数范围探究提高对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是：(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；(2)求导数，得单调区间和极
7、值点；(3)画出函数草图；(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.1.求曲线的切线方程的方法是利用切线方程的公式yy0f(x0)(xx0)，它的难点在于分清“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异.突破这个难点的关键是理解这两种切线的不同之处在哪里，在过点P(x0，y0)的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P(x0，y0)处的切线，必以点P为切点，则此时切线的方程是yy0f(x0)(xx0).2.我们借助于导数探究函数的零点，不同的问题，比如方程的解、直线与函数图象的交点、两函数图象交点问题都可以转化为函数零点问题.3.对于存在一个极大值和一个极小值的函数，其图象与x轴交点的个数，除了受两个极值大小的制约外，还受函数在两个极值点外部函数值的变化的制约，在解题时要注意通过数形结合找到正确的条件.4.求函数零点或两函数的交点问题，综合了函数、方程、不等式等多方面知识，可以全面地考察学生对函数性质、函数图象等知识的综合应用能力，同时考察学生的变形、转化能力.因此在高考压轴题中占有比较重要的地位.