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1、椭圆及其标准方程第1页，本讲稿共43页2.1.1椭圆及其标准方程天体的运行天体的运行第2页，本讲稿共43页第3页，本讲稿共43页第4页，本讲稿共43页生活中的生活中的椭圆椭圆（二）突出认知（二）突出认知 、建构概念、建构概念第5页，本讲稿共43页如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？件呢？生生活活中中的的椭椭圆圆一一.课题引入：课题引入：课题引入：课题引入：椭圆的画法椭圆的画法第6页，本讲稿共43页椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程F1F2第7页，本讲稿共43页动画演示（三）注重本质（三）注重
2、本质 、理解概念、理解概念第8页，本讲稿共43页一、椭圆的定义：一、椭圆的定义：平面内与两个定点平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数的距离的和等于常数（大（大于于|F1F2|）的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做椭圆椭圆，这两个定点叫做这两个定点叫做椭圆的焦点椭圆的焦点，两焦点的距离叫做两焦点的距离叫做椭圆的焦距椭圆的焦距.问题问题1：当常数等于当常数等于|F1F2|时时，点，点M的轨迹的轨迹 是什么？是什么？问题问题2：当常数小于当常数小于|F1F2|时时，点，点M的轨迹的轨迹 是什么？是什么？线段线段F1F2轨迹不存在轨迹不存在第9页，本讲稿共43页绳长绳长等于等于两定点两定点间间距离即距
3、离即2a=2c 时时,绳长绳长小于小于两定点两定点间间距离即距离即2a2c（？）；（？）；4、如果如果2a=2c，则，则M点的点的轨迹是线段轨迹是线段F1F2.5、如果如果2a 2c)的动点的动点M的轨迹方的轨迹方程。程。解：以解：以F1F2所在直线为所在直线为X轴，轴，F1F2 的中点为的中点为原点建立平面直角坐标系，则焦点原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标的坐标分别为分别为(-c,0)、(c,0)。(-c,0)(c,0)(x,y)设设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，为所求轨迹上的任意一点，则则:|MF1|+|MF2|=2a第14页，本讲稿共43页OXYF1F2M(-c,0)
4、(c,0)(x,y)两边平方得：两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因为因为2a2c，即，即ac，所以，所以a2-c20，令，令a2-c2=b2，其中，其中b0，代入上式可得：，代入上式可得：b2x2+a2y2=a2b2两边同时除以两边同时除以a2b2得：得：(ab0)这个方程叫做这个方程叫做椭圆的标准方程，椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的它所表示的椭圆的焦点在焦点在x 轴上。轴上。第15页，本讲稿共43页aA1yOF1F2xB2B1A2cb三、三、椭圆方程的几何意义：椭圆方程的几何意义：第16
5、页，本讲稿共43页如果椭圆的如果椭圆的焦点在焦点在y轴上轴上，焦点是焦点是F1(o,-c)、F2(0,c)方程是怎样呢？方程是怎样呢？椭圆的第二种形式椭圆的第二种形式：1oFyx2FM第17页，本讲稿共43页 图图 形形方方 程程焦焦 点点F(c，0)0)在轴上在轴上F(0(0，c)在轴上在轴上a,b,c之间的关系之间的关系c2 2=a2 2-b2 2P=M|MF1|+|MF2|=2a(2a2c0)定定 义义12yoFFMx1oFyx2FM四、两类标准方程的对照表：注注:哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上！哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上！第18页，本讲稿共43页OXYF1F2M(-
6、c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0,c)椭圆的标准方程的再认识：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（3）椭圆的标准方程中三个参数）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足满足a2=b2+c2。（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。的值。（2）椭圆的标准方程中，）椭圆的标准方程中，x2与与y2的分母哪一个大，则焦点在哪的分母哪一个大，则焦点在哪 一个轴上。一个轴上。第19页，本讲稿共43页例例 写出适合下列条件的椭圆的标准方程写出适合下列条件的椭圆的标准方程
7、 (1)a=4，b=1，焦点在，焦点在 x 轴轴上上；(2)a=4，b=1，焦点在坐标轴上；，焦点在坐标轴上；或五五五五、数学应用：数学应用：数学应用：数学应用：第20页，本讲稿共43页例例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：、求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两焦点的坐标分别是（两焦点的坐标分别是（-4，0）、（）、（4，0），），椭圆上一点椭圆上一点P到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10。(2)两焦点的坐标分别是（两焦点的坐标分别是（-2，0）、（）、（2，0），），且椭圆经过点且椭圆经过点P 。第21页，本讲稿共43页(1)两焦点的坐标分别是（两焦点的坐标分别是（-4，0）、
8、（）、（4，0），椭圆上），椭圆上一点一点P到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10。解：因为椭圆的焦点在解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程轴上，所以可设它的方程 为：为：2a=10，2c=8即 a=5，c=4故 b2=a2-c2=52-42=9所以椭圆的标准方程为：所以椭圆的标准方程为：第22页，本讲稿共43页(2)两焦点的坐标分别是（两焦点的坐标分别是（-2，0）、（）、（2，0），且），且 椭圆经过点椭圆经过点P 。解：因为椭圆的焦点在解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程为：轴上，所以可设它的方程为：由椭圆的定义可知：又因又因 c=2，所以椭圆的标准方程为：所以椭圆
9、的标准方程为：故故 b2=a2-c2=10-22=6第23页，本讲稿共43页课堂练习2：1.口答：下列方程哪些表示椭圆？口答：下列方程哪些表示椭圆？若是若是,则判定其焦点在何轴？则判定其焦点在何轴？并指明并指明 ，写出焦点坐标，写出焦点坐标.?第24页，本讲稿共43页1、方程、方程 ，分别求方程满足下列条件，分别求方程满足下列条件的的m的取值范围：的取值范围：表示一个圆；表示一个圆；探究与互动：探究与互动：析：方程表示圆需要满足的条件：析：方程表示圆需要满足的条件：第25页，本讲稿共43页1、方程、方程 ，分别求方程满足下列条件，分别求方程满足下列条件的的m的取值范围：的取值范围：表示一个圆；
10、表示一个圆；表示一个椭圆表示一个椭圆；探究与互动：探究与互动：析：方程表示一个椭圆需要满足的条件：析：方程表示一个椭圆需要满足的条件：第26页，本讲稿共43页1、方程、方程 ，分别求方程满足下列条件，分别求方程满足下列条件的的m的取值范围：的取值范围：表示一个圆；表示一个圆；表示一个椭圆表示一个椭圆；探究与互动：探究与互动：析：方程表示一个椭圆需要满足的条件：析：方程表示一个椭圆需要满足的条件：第27页，本讲稿共43页1、方程、方程 ，分别求方程满足下列条件，分别求方程满足下列条件的的m的取值范围：的取值范围：表示一个圆；表示一个圆；表示一个椭圆；表示一个椭圆；表示焦点在表示焦点在x轴上的椭圆
11、。轴上的椭圆。探究与互动：探究与互动：析：表示焦点在析：表示焦点在x轴上的椭圆需要满足的条件：轴上的椭圆需要满足的条件：第28页，本讲稿共43页解题感悟：解题感悟：方程表示椭圆时要看清楚限制方程表示椭圆时要看清楚限制条件，焦点在哪个轴上。条件，焦点在哪个轴上。第29页，本讲稿共43页练习练习3：若方程：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在表示的曲线是焦点在y轴上的轴上的椭圆，求椭圆，求k的取值范围。的取值范围。方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆解之得：0k4k的取值范围为0k|BC|,点点A的轨迹是以的轨迹是以B C为焦点的椭圆为焦点的椭圆(除除去与去与x轴的交点轴的交点).且且2a=1
12、2,2c=8,及及a2=b2+c2得得a2=36,b2=20.故点故点A的轨迹方程是的轨迹方程是 (y0).例例4:已知已知ABC的一边的一边BC长为长为8,周长为周长为20,求顶点求顶点A的轨迹方的轨迹方程程.解解:以以BC边所在直线为边所在直线为x轴轴,BC中点为原点中点为原点,建立如右图所示的直角坐建立如右图所示的直角坐标系标系,则则B C两点的坐标分别为两点的坐标分别为(-4,0)(4,0).定义法定义法第32页，本讲稿共43页练习：已知A(1,0),B(1,0)，线段CA、AB、CB的长成等差数列，则点C的轨迹方程是_.x2/4+y2/3=1第33页，本讲稿共43页椭圆及其标准方程椭
13、圆及其标准方程(2)第34页，本讲稿共43页分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离的和等的距离的和等于常数（大于于常数（大于F1F2）的点的轨迹）的点的轨迹标准方程标准方程不不 同同 点点相相 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a、b、c 的关系的关系焦点位置的判断焦点位置的判断xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2PO复习旧知第35页，本讲稿共43页例1求焦点在坐标轴上，且经过两点的椭圆的标准方程。x2/15+y2/5=1分析一：当焦点在x轴上时，设方程x2/a2+y2/b2=1 当焦点在x轴上时，设方程x2
14、/b2+y2/a2=1分析二：设方程mx2+ny2=1(m0,n0)第36页，本讲稿共43页(2)求与椭圆x2/5y2/41有公共焦点，且过点(3,0)的椭圆的标准方程。x2/9y2/81(3)已知椭圆x22y2a2(a0)的左焦点到直线l：xy20的距离为 ，求椭圆方程。x2/8y2/41第37页，本讲稿共43页 例例2、在圆上任取一点、在圆上任取一点P，过点，过点P作作x轴的垂轴的垂线段线段PD,D为垂足。当点为垂足。当点P在圆上运动时，线段在圆上运动时，线段PD的中的中点点M的轨迹是什么？为什么？的轨迹是什么？为什么？oxyPD相关点法相关点法(转移法转移法):即利用中间变量求曲线方程即利用中间变量求曲线方程.第38页，本讲稿共43页yxoPPM第39页，本讲稿共43页P第40页，本讲稿共43页第41页，本讲稿共43页第42页，本讲稿共43页ABMxyo练习：课本P42，练习第4题第43页，本讲稿共43页