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1、椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程生活中的椭圆（一）（一）认识椭圆认识椭圆 取一条一定长的绳子，把它取一条一定长的绳子，把它的两端固定在画图板上的和的两端固定在画图板上的和两点，当绳长大于和的距离两点，当绳长大于和的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在纸上慢慢移动尖在纸上慢慢移动动手作图：问题与思考:动手所画的轨迹是什么？动手所画的轨迹是什么？从所画的过程中，你能否从所画的过程中，你能否给出椭圆的定义给出椭圆的定义?椭圆的定义平面内与两个定点、的距离之和等于常数平面内与两个定点、的距离之和等于常数（大于（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆）的点的轨迹叫做椭圆两个定点叫做椭圆的
2、焦点；两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距两焦点间的距离叫做椭圆的焦距小结：满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？小结：满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？1平面内平面内-是平面图形，而不是立体图形；是平面图形，而不是立体图形；2动点动点 M 到两个定点到两个定点 F1、F2 的距离之和是常数（的距离之和是常数（2a）；3常数常数（2a）要大于定距离要大于定距离（2c）F1F2M如如你你手手中中的的绳绳子子长长度度等等于于两两图图钉钉间间的的距距离离时时，轨轨迹迹会会是什么？小于呢？是什么？小于呢？问题：1.改变两图钉之间的距离，使其与改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形
3、还是椭圆吗？绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？2绳长能小于两图钉之间的距离吗？绳长能小于两图钉之间的距离吗？看一下定值看一下定值 的变化与要求：的变化与要求：1.当定值小于两定点间的距离时当定值小于两定点间的距离时3.当定值大于两定点间的距离时当定值大于两定点间的距离时不可能，没有任何曲线不可能，没有任何曲线.2.当定值等于两定点间的距离时当定值等于两定点间的距离时轨迹是：两定点所确定的线段轨迹是：两定点所确定的线段.轨迹是：椭圆轨迹是：椭圆.F1F2MF1F2M在直角坐标平面上直线和圆都有相应在直角坐标平面上直线和圆都有相应的方程，从而就可以用代数方法来研的方程，从而就可以用代数方法来研究它们
4、的几何性质、位置关系等。究它们的几何性质、位置关系等。那么椭圆的方程又是什么呢？那么椭圆的方程又是什么呢？设点设点建系建系列式列式代坐标代坐标化简、证明化简、证明求曲线方程的一般步骤，可概括为：求曲线方程的一般步骤，可概括为：故椭圆的两焦点坐标分别为故椭圆的两焦点坐标分别为故椭圆的两焦点坐标分别为故椭圆的两焦点坐标分别为 F F1 1(-c,0)(-c,0)和和和和 F F2 2(c,0)(c,0)化简，得化简，得化简，得化简，得以经过椭圆焦点以经过椭圆焦点以经过椭圆焦点以经过椭圆焦点 F F1 1，F F2 2 的直线为的直线为的直线为的直线为 x x 轴，线段轴，线段轴，线段轴，线段F F
5、1 1F F2 2的中垂线为的中垂线为的中垂线为的中垂线为y y轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系xoyxoy。设设设设 MM（x x，y y）是椭圆上的任一点，是椭圆上的任一点，是椭圆上的任一点，是椭圆上的任一点，设椭圆的焦距为设椭圆的焦距为设椭圆的焦距为设椭圆的焦距为 2c2c，点，点，点，点MM与两焦与两焦与两焦与两焦点的距离之和为常数点的距离之和为常数点的距离之和为常数点的距离之和为常数 2a2a。椭圆的方程椭圆的方程移项，得移项，得移项，得移项，得故由椭圆的定义得故由椭圆的定义得故由椭圆的定义得故由椭圆的定义得（a a c c）2 2a a则方程
6、可化为则方程可化为则方程可化为则方程可化为观察左图，观察左图，观察左图，观察左图，你能从中找出表示你能从中找出表示你能从中找出表示你能从中找出表示 c c、a a 的线段吗？的线段吗？的线段吗？的线段吗？即即即即a a2 2-c-c2 2 有什么几何意义？有什么几何意义？有什么几何意义？有什么几何意义？只需将只需将 x，y 交换位置交换位置即得椭圆的标准方程：即得椭圆的标准方程：如果以椭圆的焦点所在直如果以椭圆的焦点所在直如果以椭圆的焦点所在直如果以椭圆的焦点所在直线为线为线为线为 y y 轴，且轴，且轴，且轴，且F F1 1、F F2 2的坐标分的坐标分的坐标分的坐标分别为（别为（别为（别为
7、（0 0，-c-c）和（）和（）和（）和（0 0，c c），），），），a a 、b b 的含义都不变，那么椭圆的含义都不变，那么椭圆的含义都不变，那么椭圆的含义都不变，那么椭圆又有怎样的标准方程呢？又有怎样的标准方程呢？又有怎样的标准方程呢？又有怎样的标准方程呢？焦点在焦点在x轴上的标准方程：轴上的标准方程：焦点在焦点在y轴上的标准方程：轴上的标准方程：如果已知椭圆的标准方程，如何确定焦点在哪条坐如果已知椭圆的标准方程，如何确定焦点在哪条坐如果已知椭圆的标准方程，如何确定焦点在哪条坐如果已知椭圆的标准方程，如何确定焦点在哪条坐标轴上？标轴上？标轴上？标轴上？（1）焦点在）焦点在x轴的椭圆，轴
8、的椭圆，x2项分母较大项分母较大.（2）焦点在）焦点在y轴的椭圆，轴的椭圆，y2 项分母较大项分母较大.则a ，b ；则a ，b ；5346口答：则a ，b ；则a ，b 3练习练习1 1指出在下列方程中，哪些是圆的标指出在下列方程中，哪些是圆的标准方程？哪些是椭圆的方程。准方程？哪些是椭圆的方程。练习：练习：下列方程哪些表示椭圆？若表示椭圆下列方程哪些表示椭圆？若表示椭圆焦点在那个轴上？（焦点在那个轴上？（独立思考后回答独立思考后回答）三、例题分析三、例题分析543(-3,0)、(3,0)6x例例1.已知椭圆方程为已知椭圆方程为 ,则则(1)a=,b=,c=;(2)焦点在焦点在 轴上轴上,其
9、焦点坐标为其焦点坐标为 ,焦距为焦距为 。(3)(3)若椭圆方程为若椭圆方程为 ,其焦点坐标为其焦点坐标为 .(0,3)、(0,-3)例例1.已知椭圆方程为已知椭圆方程为 ,F1F2CD (4)已知椭圆上一点已知椭圆上一点 P到左焦点到左焦点F1的距离等于的距离等于6，则点则点P到右焦点的距离是到右焦点的距离是 ；(5)若若CD为过左焦点为过左焦点F1的弦，的弦，则则CF1F2的周长为的周长为 ，F2CD的周长为的周长为 。416202、已知椭圆的方程为：、已知椭圆的方程为：，请，请填空：填空：a=，b=，c=，焦点坐标为焦点坐标为 ，焦距等于，焦距等于 .1 1、a=a=5 5，c=c=4
10、4的椭圆标准方程是的椭圆标准方程是的椭圆标准方程是的椭圆标准方程是 。课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习:10 6816(-8,0)、(8,0)或或或或写出适合下列条件的椭圆的标准方程写出适合下列条件的椭圆的标准方程练习练习3例例1 1 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 （-2，0）和（）和（2，0），并且经过），并且经过 ，求出椭圆的标准方程。求出椭圆的标准方程。求椭圆标准方程的解题步骤：求椭圆标准方程的解题步骤：（1）确定焦点的位置；）确定焦点的位置；（2）设出椭圆的标准方程；）设出椭圆的标准方程；（3）用待定系数法确定）用待定系数法确定a、b的值，的值，写出椭圆
11、的标准方程写出椭圆的标准方程.求适合下列条件的椭圆的方程：(1)两个焦点分别是(3,0)、(3,0)且经过点(5,0)；(2)两焦点在坐标轴上，两焦点的中点为坐标原点，焦距为8，椭圆上一点到两焦点的距离之和为12.解：设点解：设点M M的坐标为的坐标为(x,y)(x,y)，点，点P P的坐标为的坐标为则则0 xyPM例例2 在圆在圆 上上任取一点任取一点P P，向，向x x轴作垂线段轴作垂线段PDPD，D D为垂足。当点为垂足。当点P P在圆上运动时，求线段在圆上运动时，求线段PDPD中点中点M M的轨迹方程。的轨迹方程。轨迹是什么图形？轨迹是什么图形？D辅辅助助点点法法 例例3 3 设点设点
12、A A，B B的坐标分别为（的坐标分别为（-5-5，0 0），（），（5 5，0 0）.直线直线AMAM，BMBM相交于点相交于点M M，且它们的斜率之积是，且它们的斜率之积是 ，求，求点点M M的轨迹方程的轨迹方程.xyo练习练习1 平面内有两个定点的距离是平面内有两个定点的距离是8，写出到，写出到这两个定点的距离的和是这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程的点的轨迹方程。（1）判断：）判断：1）和是常数；）和是常数；2)常数大于两个定点之常数大于两个定点之间的距离。故点的轨迹是椭圆。间的距离。故点的轨迹是椭圆。（2）取过两个定点的直线做）取过两个定点的直线做 x 轴，它的线段垂轴，它的线段垂直平分线做直平分线做 y 轴，建立直角坐标系，从而保证轴，建立直角坐标系，从而保证方程是标准方程。方程是标准方程。（3）根据已知求出）根据已知求出a、c，再推出，再推出a、b写出椭圆的标准方程。写出椭圆的标准方程。习题训练答案：D2椭圆3x24y212的两个焦点之间的距离为()A12 B4C3 D2答案：D答案：(3,0)(0,3)