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1、数学建模随机模型1第1页，本讲稿共65页确定性因素和随机性因素确定性因素和随机性因素随机因素可以忽略随机因素可以忽略随机因素影响可以简单随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现地以平均值的作用出现随机因素影响必须考虑随机因素影响必须考虑概率模型概率模型统计回归模型统计回归模型马氏链模型马氏链模型随机模型随机模型确定性模型确定性模型随机性模型随机性模型2第2页，本讲稿共65页概率模型概率模型-用随机变量和概率分布描述随机因素的用随机变量和概率分布描述随机因素的 影响，建立随机模型。影响，建立随机模型。统计模型统计模型-由于客观事物内部规律的复杂性及人们由于客观事物内部规律的复杂性及人们 认识程度
2、的限制，无法分析实际对象内认识程度的限制，无法分析实际对象内 在的因果关系，建立合乎机理规律的模在的因果关系，建立合乎机理规律的模 型，通常要搜集大量的数据，基于对数型，通常要搜集大量的数据，基于对数 据的统计分析建立随机模型。据的统计分析建立随机模型。3第3页，本讲稿共65页问题：问题：报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，假设abc。即报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c。报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。1 报童的诀窍报童的诀窍4第4页
3、，本讲稿共65页问问题题报童售报：报童售报：a(零售价零售价)b(购进价购进价)c(退回价退回价)售出一份赚售出一份赚 a-b；退回一份赔；退回一份赔 b-c 每天购进多少份可使收入最大？每天购进多少份可使收入最大？分分析析购进太多购进太多卖不完退回卖不完退回赔钱赔钱购进太少购进太少不够销售不够销售赚钱少赚钱少应根据需求确定购进量应根据需求确定购进量每天需求量是随机的每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天收入是随机的每天收入是随机的存在一个合存在一个合适的购进量适的购进量等于每天收入的期望等于每天收入的期望5第5页，本讲稿共65页建建
4、模模 设每天购进设每天购进 n 份，份，日平均收入为日平均收入为 G(n)调查需求量的随机规律调查需求量的随机规律每天需求每天需求量为量为 r 的概率的概率 f(r),r=0,1,2准准备备求求 n 使使 G(n)最大最大 已知售出一份赚已知售出一份赚 a-b；退回一份赔；退回一份赔 b-c6第6页，本讲稿共65页求解求解将将r视为连续变量视为连续变量7第7页，本讲稿共65页结果解释结果解释nP1P2取取n使使 a-b 售出一份赚的钱售出一份赚的钱 b-c 退回一份赔的钱退回一份赔的钱0rp8第8页，本讲稿共65页背景背景 一个人的出生和死亡是随机事件一个人的出生和死亡是随机事件一个国家或地区
5、一个国家或地区平均生育率平均生育率平均死亡率平均死亡率确定性模型确定性模型一个家族或村落一个家族或村落出生概率出生概率死亡概率死亡概率随机性模型随机性模型对象对象X(t)时刻时刻 t 的人口的人口,随机变量随机变量.Pn(t)概率概率P(X(t)=n),n=0,1,2,研究研究Pn(t)的变化规律；得到的变化规律；得到X(t)的期望和方差的期望和方差2 随机人口模型随机人口模型 9第9页，本讲稿共65页若若X(t)=n,对对t到到t+t的出生和死亡概率作以下假设的出生和死亡概率作以下假设1)出生一人的概率与出生一人的概率与 t成正比，记成正比，记bn t;出生出生二人及二人以上的概率为二人及二
6、人以上的概率为o(t).2)死亡一人的概率与死亡一人的概率与 t成正比，记成正比，记dn t;死亡二死亡二人及二人以上的概率为人及二人以上的概率为o(t).3)出生和死亡是相互独立的随机事件。出生和死亡是相互独立的随机事件。bn与与n成正比，记成正比，记bn=n,出生概率出生概率；dn与与n成正比，记成正比，记dn=n，死亡概率死亡概率。进一步假设进一步假设模型假设模型假设10第10页，本讲稿共65页建模建模为得到为得到Pn(t)=P(X(t)=n),的变化规律，的变化规律，考察考察Pn(t+t)=P(X(t+t)=n).事件事件X(t+t)=n的分解的分解X(t)=n-1,t内出生一人内出生
7、一人X(t)=n+1,t内死亡一人内死亡一人X(t)=n,t内没有出生和死亡内没有出生和死亡其它其它(出生或死亡二人，出出生或死亡二人，出生且死亡一人，生且死亡一人，)概率概率Pn(t+t)Pn-1(t)bn-1 t Pn+1(t)dn+1 t Pn(t)(1-bn t-dn t)o(t)11第11页，本讲稿共65页一组递推微分方程一组递推微分方程求解的困难和不必要求解的困难和不必要(t=0时已知人口为时已知人口为n0)转而考察转而考察X(t)的期望和方差的期望和方差bn=n，dn=n微分方程微分方程建模建模12第12页，本讲稿共65页X(t)的期望的期望求解求解基本方程基本方程n-1=kn+
8、1=k13第13页，本讲稿共65页求解求解比较：确定性指数增长模型比较：确定性指数增长模型X(t)的方差的方差E(t)-(t)-=r D(t)E(t)+(t)Et0n0,D(t)X(t)大致在大致在 E(t)2(t)范围内（范围内（(t)均方差）均方差）r 增长概率增长概率r 平均增长率平均增长率14第14页，本讲稿共65页1.问题建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型;预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量.收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、广告费用，及同期其他厂家同类牙膏的平均售价.9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.80298.51
9、0.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851销售量(百万支)价格差（元）广告费用(百万元)其他厂家价格(元)本公司价格(元)销售周期3 牙膏的销售量模型牙膏的销售量模型 15第15页，本讲稿共65页明确问题一明确问题一 牙膏的销售量牙膏的销售量确定关系：确定关系：牙膏销售量牙膏销售量价格、广告投入价格、广告投入内部规律复杂内部规律复杂数据统计分析数据统计分析常用模型常用模型回归模型回归模型数学原理数学原理软件软件30个销售周期数据：个销售周期数据：销售量、价格、广告费用、同类产品均价销售量、价格、广告费用、同类产品均价销售周期公司价(元)它厂价(元)广告(百万
10、元)价差(元)销售量(百万支)13.853.805.50-0.057.3823.754.006.750.258.51293.803.855.800.057.93303.704.256.800.559.2616第16页，本讲稿共65页2.基本模型x2yx1yy 公司牙膏销售量x1其它厂家与本公司价格差x2公司广告费用解释变量(回归变量,自变量)被解释变量（因变量）多元回归模型多元回归模型17第17页，本讲稿共65页Matlab Matlab 统计分析统计分析统计分析统计分析rcoplot(r,rint)残差及其置信区间作图残差及其置信区间作图MATLAB7.0版本版本 s增加一个统计量增加一个统
11、计量:剩余方差剩余方差s2b,bint,r,rint,stats=regress(y,X,alpha)statistics toolbox解释变量：矩阵显著性水平：0.05 系数 估计值 置信区间 残差向量向量y-xb 置信区间 被解释变量：列检验统计量：R2,F,p 随机误差：正态分布均值为零回归系数x=3.模型求解由数据 y,x1,x2估计x=ones(size(x1),x1,x2,x2.2;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x)程序程序18第18页，本讲稿共65页4.结果分析参数参数估计值置信区间17.32445.7282 28.92061.30700.6829
12、 1.9311-3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p0.0001 s2=0.0490 0123,故故x22项显著项显著 但可将但可将x2保留在模型中保留在模型中 即：即：y的的90.54%可由模型确定、可由模型确定、F远超过远超过F检验的临界值、检验的临界值、p远小于远小于=0.05显著性显著性：整体显著：整体显著x2：2 置信区间包含零点置信区间包含零点,但右端点距零点很近但右端点距零点很近 x2 对因变量对因变量 y 的影响不太显著；的影响不太显著；v 3 显著显著19第19页，本讲稿共65页 控制价格
13、差控制价格差 x1=0.2元，投入广告费元，投入广告费 x2=6.5 百万元百万元销售量预测区间为销售量预测区间为 7.8230，8.7636（置信度（置信度95%）上限用作库存管理的目标值上限用作库存管理的目标值 下限用来把握公司的现金流下限用来把握公司的现金流 若估计若估计 x3=3.9，设定，设定 x4=3.7(百万支)销售量预测价差价差x1=它厂价它厂价x3-公司价公司价x4估计估计x3，调整，调整x4控制控制x1预测预测y 则可以则可以 95%的把握知道销售额在的把握知道销售额在 7.8320 3.7 29（百万（百万 元）元）以上以上20第20页，本讲稿共65页5.模型改进x1和x
14、2对y的影响独立 参数参数估计值置信区间17.32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311-3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p0.0001 s2=0.04260123参数参数估计值置信区间29.113313.7013 44.525211.13421.9778 20.2906-7.6080-12.6932 -2.5228 0.67120.2538 1.0887-1.4777-2.8518 -0.1037 R2=0.9209 F=72.7771 pk,a1(n)=0，a2(n)=
15、0,a3(n)=1从状态从状态3不会转移到其它状态。不会转移到其它状态。n012350a1(n)10.80.7570.72850.12930a2(n)00.180.1890.18350.03260a3(n)00.020.0540.08800.8381150第50页，本讲稿共65页理论理论状态状态基本方程基本方程马氏链的基本方程马氏链的基本方程状态概率状态概率转移概率转移概率51第51页，本讲稿共65页 1 1、正则链、正则链马氏链的两个重要类型马氏链的两个重要类型任一状态出发经有限次转移任一状态出发经有限次转移以正概率到达另外任一状态以正概率到达另外任一状态w 稳态概率稳态概率例例1：特征向量
16、特征向量定义 对于马氏链，若存在一正整 数N，使其转移矩阵 的N次幂MN0（每一分量均大 于0），则称此马尔链为一正则（regular）链。52第52页，本讲稿共65页存在吸收状态存在吸收状态一旦到达就不会离开的状态一旦到达就不会离开的状态且从任一非吸收状态出发经有限次转移能以正概率到达且从任一非吸收状态出发经有限次转移能以正概率到达吸收状态吸收状态 2 2、吸收链、吸收链有非零元素有非零元素yi 从第从第 i 个非吸收状态出发，被某个吸个非吸收状态出发，被某个吸收状态吸收前的平均转移次数收状态吸收前的平均转移次数转移矩阵：转移矩阵：n-r个非吸收状态个非吸收状态有有r个吸收状态个吸收状态53
17、第53页，本讲稿共65页钢琴销售钢琴销售售量很小售量很小商店的库存量不大以免积压资金商店的库存量不大以免积压资金一家商店根据经验估计：平均每周的钢琴需求为一家商店根据经验估计：平均每周的钢琴需求为1架架存贮策略存贮策略每周末检查库存量每周末检查库存量仅当库存量为零时，才订购仅当库存量为零时，才订购3架供下周销售架供下周销售否则，不订购。否则，不订购。问题：问题：估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大，以及每周的估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大，以及每周的平均销售量是多少。平均销售量是多少。背景与问题背景与问题6 钢琴销售的存贮策略模型钢琴销售的存贮策略模型 54第54页，本讲稿共
18、65页分析与假设分析与假设需求：顾客的到达相互独立需求：顾客的到达相互独立需求量近似服从波松分布，其参数由需求均值为每周需求量近似服从波松分布，其参数由需求均值为每周1架确定架确定 计算不同的需求概率计算不同的需求概率失去销售机会：需求超过库存失去销售机会：需求超过库存动态过程动态过程概率概率存贮策略：周末库存量为零时订购存贮策略：周末库存量为零时订购3架架,周初到货；否则，不订周初到货；否则，不订 购购.周末的库存量：周末的库存量：0,1,2,3周初的库存量：周初的库存量：1,2,3共三种状态共三种状态用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化以
19、每周初的库存量作为状态变量以每周初的库存量作为状态变量状态转移具有无后效性状态转移具有无后效性在稳态情况下在稳态情况下时间充分长以后时间充分长以后计算该存贮策略失去销售机会的概率、每周的平均销售量计算该存贮策略失去销售机会的概率、每周的平均销售量动态过程中每周销售量不同，失去销动态过程中每周销售量不同，失去销售机会（需求超过库存）的概率不同售机会（需求超过库存）的概率不同.55第55页，本讲稿共65页状态转移规律状态转移规律模型模型Dn第第n周需求量：泊松分布周需求量：泊松分布 状态变量：状态变量：Sn第第n周初库存量周初库存量均值为均值为1需求量需求量需求量需求量进货量进货量状态转移矩阵状态
20、转移矩阵56第56页，本讲稿共65页则则计算计算Dn第n周需求量，均值为1的泊松分布 Dn 0 1 2 3 3P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019Sn第第n周初库存量周初库存量(状态变量状态变量)状态转状态转移规律移规律 57第57页，本讲稿共65页状态概率状态概率马氏链的基本方程马氏链的基本方程已知初始状态：可预测第已知初始状态：可预测第n周初库存量周初库存量Sn=i 的概率的概率n,状态概率状态概率 已知已知正则链正则链正则链稳态概率分布稳态概率分布 w 满足满足 wP=w模型建立 58第58页，本讲稿共65页估计在这种策略下失去销售机会的可能性估计在这种策略下失
21、去销售机会的可能性第第n周失去销售机会的概率周失去销售机会的概率模型求解模型求解n充分大时充分大时 稳态概率分布需求需求 库存库存从长期看，失去销售机会的可能性大约从长期看，失去销售机会的可能性大约 10%D 0 1 2 3 3P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.01959第59页，本讲稿共65页估计这种策略下每周的平均销售量估计这种策略下每周的平均销售量第第n周平均售量周平均售量n充分大时充分大时 需求不超过存量需求不超过存量,需求被售需求被售需求超过存量需求超过存量,存量被售存量被售需求需求存量存量从长期看，每周的平均销售量为从长期看，每周的平均销售量为 0.857(架
22、架)60第60页，本讲稿共65页平均需求：每周平均需求：每周1(架架)附近波动时，结果有多大变化附近波动时，结果有多大变化设设Dn服从均值为服从均值为 的柏松分布的柏松分布敏感性分析敏感性分析 状态转移阵状态转移阵61第61页，本讲稿共65页第第n周周(n充分大充分大)失去销售机会的概率：失去销售机会的概率：当平均需求(=1.0)增长（或减少）10%时，失去销售机会的概率将增长（或减少）约12%0.80.91.01.11.2P0.0730.0890.1050.1220.139结果62第62页，本讲稿共65页钢琴销售的存贮策略 存贮策略存贮策略(周末库存为周末库存为0则订购则订购3架架,否则不订
23、购否则不订购)已定已定,计算计算两个指标两个指标(失去销售的概率和每周平均销售量失去销售的概率和每周平均销售量).动态随机存贮策略动态随机存贮策略是马氏链的典型应用是马氏链的典型应用.关键是在无后效性的前提下恰当地定义系统的关键是在无后效性的前提下恰当地定义系统的状态状态变量变量(本例是每周初的库存量本例是每周初的库存量).63第63页，本讲稿共65页问题一问题一建立投资额模型，研究建立投资额模型，研究某地区某地区实际投资额与国实际投资额与国民生产总值民生产总值(GNP)及物价指数及物价指数(PI)的关系的关系2.06883073.0424.5201.00001185.9195.0101.95
24、142954.7474.9190.96011077.6166.491.78422631.7401.9180.9145 992.7144.281.63422417.8423.0170.8679 944.0149.371.50422163.9386.6160.8254 873.4133.361.40051918.3324.1150.7906 799.0122.851.32341718.0257.9140.7676 756.0125.741.25791549.2206.1130.7436 691.1113.531.15081434.2228.7120.7277 637.797.421.0575132
25、6.4 229.8110.7167 596.7 90.91物价指数国民生产总值投资额年份序号物价指数国民生产总值投资额年份序号根据对未来根据对未来GNP及及PI的估计，预测未来投资额的估计，预测未来投资额 该地区该地区连续连续20年的统计数据年的统计数据 64第64页，本讲稿共65页 在机械化生产车间里，排列整齐的工作台旁工人们紧张的生产同一种产品，工作台上放一条传送带在运转，带上设置若干钩子，工人将产品挂在经过他上方的钩子上带走，如图。当生产进入稳定状态后，每个工人生产一件产品所需时间是不变的，而他挂产品的时刻是随机的。衡量这种传送系统的效率可以看他能否及时把工人的产品带走。在工人数目不变的情况下传送带速度越快，带上钩子越多，效率越高。要求构造衡量传送系统效率的指标，并在简化假设下建立模型描述这个指标与工人数目、钩子数量等参数的关系。传送带挂钩工作台问题二问题二65第65页，本讲稿共65页