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1、随机过程与数学建模第1页，本讲稿共31页随机过程与数学建模吉林大学 方沛辰第2页，本讲稿共31页随机性和确定性是一对矛盾，它们既对立又统一。一般的问题不是能明确划分的，常常两种性质都有，用不同的假设来处理。1.随机型问题随机型问题的最优化常常是对目标函数的数学期望求最优。因此首先需要知道概率分布，再写出目标函数的数学期望的表达式进而解决问题。这里很可能用到求函数的期望。例题：一个私人牙科诊所很受欢迎，病人络绎不绝。来的有病 名概 率 治疗时间平均 A 1/2 20分钟 10 B 1/3 30分钟 10 C 1/6 90分钟 15三种病，一名医生每天上午和下午分别工作3.5小时，都是早8点挂的号
2、，上午和下午分别挂多少号最适合？第3页，本讲稿共31页平均看一个病人的时间显然是35分钟，3.5小时应该看6人。大家想过没有，这样将会有一半的时间不能正常吃午饭！如果6个人都是C病，全看完要9个小时！那我们应该有什么样的结论呢？好像没什么好做的。真正要解决这个问题就要用到随机过程的理论和方法。再举一例：豹在逐渐靠近羊的时候是匍匐前进，一旦羊发现了豹开始逃走时豹就起身追赶。假设羊不能发现50米之外的豹，到了15米羊就必然发现豹，怎样描述羊和豹在相距x米时的发现概率。这是一个很让人深思的问题。从视觉角度看发现一个物体应该和物体的像的面积成正比，这样概率可看作是x的函数p(x)，并且是在15处取1，
3、50处取0,中间是递减的，进而是x的二次函数。但是注意p(x)不是密度函数，那它是什么呢？第4页，本讲稿共31页2.随机过程初步知识在概率论中学过随机向量(x1,x2,xn)，相关学过联合分布、边缘分布、条件分布等概念，一起研究许多个比单个研究方便。把随机向量的概念推广，一起研究无穷多个随机变量，就是随机过程。注意无穷多有两种：可列多和连续多，对应就有随机序列和随机过程两个概念。有限多和无限多有本质区别。例1 用x(t,)记（0，t)中电话接到的呼叫数。不同的t是不同随机变量,不同的是不同的样本曲线。例2 用x(t,)记微粒在水面布朗运动漂浮时横坐标。例3 用x(n,),n=1,2,记相互独立
4、同分布的伯努利随机变量序列，取值0和1，相应概率q和p，称为伯努利过程。取值为0,1,2,称为二项计数过程，或随机游动。例4 用x(n,)记第n代生物群体的数量。第5页，本讲稿共31页定义 设X(t),t0是一个随机过程，取定t,X(t)是一个随机变量，它的分布函数称为X(t)的一维分布函数，相应也有一维概率密度等概念。定义 设X(t),t0是一个随机过程，取定s,t,X(s),X(t)是一个二维随机变量，它的分布函数称为(X(s),X(t)的二维分布函数。定义 设X(t),t0是一个随机过程，取定t1,t2,tn，X(t1),X(t2),X(tn)是一个n维随机变量，它的分布函数第6页，本讲
5、稿共31页随机过程的数字特征，对于称为均值函数；定义：称为方差函数；称为协方差函数；称为相关函数；介绍一本教材：研究生教学用书“随机过程及应用”电子科技大学应用数学学院 陈良均 朱庆棠 高教出版社第7页，本讲稿共31页定义：如果对任意的正整数n及任意的t1,t2,tnT,随机变量X(t1),X(t2),X(tn)相互独立，称过程是独立过程。3.几种重要的随机过程例 伯努利过程是独立过程。定义：如果对任意的正整数n及任意的t1t20,随机变量X(t+h)-X(s+h)与X(t)-X(s)有相同的概率分布，称过程是平稳的独立增量过程。例 二项计数过程是平稳的独立增量过程性质1 如果X(t),t0是
6、平稳独立增量过程，X(0)=0，则 (1)均值函数 m(t)=mt,m为常数；(2)方差函数 D(t)=2t,为常数；(3)协方差函数 C(s,t)=2mins,t。第8页，本讲稿共31页性质2 独立增量过程的有限维分布由一维分布和增量分布确定。定义：给定随机过程X(t),tT如果对任意的正整数n及任意的t1,t2,tnT,随机变量X(t1),X(t2),X(tn)的联合概率分布为n维正态分布，称过程X(t),tT是正态过程（高斯过程）。定义：如果随机过程W(t),tT满足下列条件：(1)W(0)=0;(2)EW(t)=0;(3)具有独立增量；(4)t0,W(t)N(0,2t),(0)称W(t
7、),tT是参数为2的维纳过程。性质1 维纳过程是平稳独立增量过程。性质2 维纳过程是正态过程。性质3 维纳过程是马尔可夫过程。性质4 维纳过程是均方连续、均方不可导、均方可积二阶矩过程。性质5 维纳过程是非平稳过程，但为平稳独立增量过程。第9页，本讲稿共31页4.泊松过程定义1：如果取非负整数值的计数过程N(t),t0满足：(1)N(0)=0;(2)具有独立增量;(3)对任意的0s0,N(t)P(t)，即 二维分布 对任意的ts0 第11页，本讲稿共31页协方差函数 C(s,t)=min(s,t)相关函数 R(s,t)=min(s,t)+2st泊松过程的性质性质1 泊松过程是平稳独立增量过程；
8、性质2 泊松过程是马尔可夫过程；性质3 泊松过程是生灭过程；性质4 泊松过程是均方连续、均方不可导、均方可积的二阶矩 过程；性质5 泊松过程是非平稳过程，但为平稳增量过程；N(t)表示0,t)内出现的事件次数，用1,2,n分别表示第一、二、n次事件发生的时间，称k为事件第k次出现的时间，又叫事件点；Tk表示从第k-1次事件发生到第k次事件的等待时间，又称为点间间距。Tk=k-k-1,k=1,2,n,0=0k=T1+T2+Tk,k=1,2,n第12页，本讲稿共31页证：T1t表示第一次事件在t之后出现，于是N(t)=0，反之 也是，那么T1t=N(t)=0，进而PT1t=PN(t)=0。性质6
9、设N(t),t0为参数为的泊松过程，Tn,n=1,2,为点 间间距序列，则Tn,n=1,2,.是相互独立的随机变量，且都服 从参数为的指数分布。所以FT1(t)=1-PN(t)=0=1-e-t,t0,又显然有FT1(t)=0,t0,于是T1服从参数为的指数分布。PT2tT1=s1=P在(s1,s1+t)内没有事件出现T1=s1=PN(s1+t)-N(s1)=0=PN(t)=0=e-t同样得到T2服从指数分布，由增量的独立性知T1与T2独立。再从数学归纳法得证。的含义是强度，比如单位时间里进入超市的平均人数，从而1/的含义应该是单位人数的时间，即每人的平均间隔时间。第13页，本讲稿共31页几何分
10、布是离散型的无记忆型分布。伯努利实验场合首次成功出现所在的次数服从几何分布。P=k=qk-1p,k=1,2,无记忆性就是需证:P=m+km=P=k.证：指数分布是连续型的无记忆型分布无记忆性就是需证:Ps+ts=Pt.证：两种无记忆分布常被用来描述无磨损性的寿命。比如酒店使用的玻璃杯，用次数记录的寿命。比如窗户上面安装的玻璃，用时间长度记录的寿命。第14页，本讲稿共31页性质7 设N(t),t0为参数为的泊松过程，n,n=1,2,为事 件点序列，则n(n,),即概率密度为证:从nt=N(t)n知，n的分布函数此性质也可用随机变量的再生性来证明：Tn,n=1,2,.是相互独立且都服从参数为的同指
11、数分布的随机变量，指数分布即是(1,),而分布在相同的情况下具有再生性，所以 n=T1+T2+Tn(n,)。第15页，本讲稿共31页更新计数过程：设N(t),t0是一个计数过程，如果它的点间间距Tn,n=1,2,相互独立同分布，称为更新计数过程。这是泊松过程的一个推广。N(t),t0是泊松过程的充分必要条件是它的点间间距Tn,n=1,2,相互独立同指数分布。定义：如果取非负整数值的计数过程N(t),t0满足：(1)N(0)=0;(2)具有独立增量;(3)PN(t+t)-N(t)=1=(t)t+o(t);(4)PN(h)2=o(t).称N(t),t0是参数为(t)的非齐次泊松过程。复合泊松过程：
12、设N(t),t0是平均率为的齐次泊松过程，Yn,n=1,2,是相互独立同分布的随机变量序列，且二者独立，称为复合泊松过程。第16页，本讲稿共31页性质：EX(t)=tE(Y)=EN(t)E(Y),这是非常直观的式子；DX(t)=tE(Y2)=EN(t)E(Y2)。5.马尔可夫过程定义 对X(t),tT,如果对于任意n个时刻ti0,i=1,2,nT1t2tn 有则称X(t),tT为马尔可夫过程，简称马氏过程，定义中的性质称为马尔可夫性，也是一种无记忆性，称无后效性。定义 对马尔可夫过程X(t),tT,条件概率 p(s,t;x,y)=PX(t)y|X(s)=x 称为马氏过程的转移概率函数。X(t)
13、取值的全体称为状态空间，T称为参数集。根据状态空间和参数集的无穷多性质可以分类。第17页，本讲稿共31页离散参数马氏链是一个重要的基础理论部分，有很多结果。对连续参数马氏链我们比较细致地学习。定义1 X(t),t0,状态空间为E=0,1,2,，如果对于任意n个时刻0T1t2tn0,使得对一切i,jE都有pij(t0)0,则此链为遍历的齐次马氏链。即 存在且与i无关，并且极限分布是唯一的平稳分布。性质5 对固定的i,j,函数pij(t)是t0的一致连续函数。性质6 满足连续性条件的连续参数齐次马氏链，存在下列极限 其中qi表示在时刻t时通过状态i的通过速度；qij表示在时刻t时从状态i转移到状态j的速度。qi，qij统称转移速度。第22页，本讲稿共31页定义第23页，本讲稿共31页定义第24页，本讲稿共31页定义第25页，本讲稿共31页定义第26页，本讲稿共31页定义第27页，本讲稿共31页定义第28页，本讲稿共31页定义第29页，本讲稿共31页定义第30页，本讲稿共31页定义第31页，本讲稿共31页